Yhdistetty tila

Yhdistetty avaruus on ei-tyhjä topologinen avaruus , jota ei voida jakaa kahteen ei-tyhjään ei-leikkaavaan avoimeen osajoukkoon.

Määritelmä

Tyhjä tila katsotaan kytkemättömäksi.

Ei- tyhjää topologista avaruutta kutsutaan katkaistuksi , jos se voidaan esittää kahden ei-tyhjän ei-leikkaavan avoimen osajoukon liittona .

Ei-tyhjää topologista avaruutta, jota ei ole irrotettu , kutsutaan yhdistetyksi .

Topologisen avaruuden osajoukkoa kutsutaan yhdistetyksi , jos se yhdessä indusoidun topologiansa kanssa muodostaa yhdistetyn avaruuden.

Vastaavat määritelmät

Olkoon X topologinen avaruus. Sitten seuraavat ehdot ovat vastaavat:

X on yhdistetty.
X :ää ei voida jakaa kahteen ei-tyhjään ei-leikkaavaan suljettuun osajoukkoon.
Ainoat X:n osajoukot, jotka ovat sekä avoimia että suljettuja, ovat tyhjä joukko ja X :n koko avaruus . $\varno mitään$
Ainoat osajoukot, joilla on tyhjä raja , ovat tyhjä joukko ja koko avaruus X . $\varno mitään$
X ei voi olla kahden ei-tyhjän joukon liitto, joista kumpikaan ei leikkaa toisen sulkeutumista.
Ainoat jatkuvat funktiot X :stä kaksipistejoukkoon (diskreetillä topologialla) ovat vakioita.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Jokainen yhdistetty avaruuden osajoukko sisältyy johonkin maksimaaliseen yhdistettyyn osajoukkoon. Tällaisia maksimaalisia yhdistettyjä osajoukkoja kutsutaan tilan kytketyiksi komponenteiksi ( yhdistetyiksi komponenteiksi , komponenteiksi ) . $X$ $X$
- Avaruutta, jossa jokainen yhdistetty komponentti koostuu yhdestä pisteestä, kutsutaan täysin irti . Esimerkkejä ovat mitkä tahansa välit, joilla on diskreetti topologia, rationaalilukujen avaruus reaaliviivalla ja
Cantor-joukko . $\mathbb {Q}$

Jos avaruuden topologialla on kanta , joka koostuu yhdistetyistä avoimista joukoista, niin avaruuden topologian ja itse avaruuden (tässä topologiassa) sanotaan olevan paikallisesti yhteydessä .

X

X

X

Yhdistettyä kompaktia Hausdorff-avaruutta kutsutaan jatkumoksi .

Avaruutta kahdelle eri pisteelle ja jolle on olemassa avoimia disjunktijoukkoja ja sellaisia, joita kutsutaan täysin erillisiksi .

X

x

y

U\ni x

V\ni y

X=U\cup V

Ilmeisesti mikä tahansa täysin erillinen tila on täysin irti, mutta päinvastoin ei pidä paikkaansa. Tarkastellaan sarjaa, joka koostuu kahdesta sarjan kopiosta . Esittelemme säännön avulla ekvivalenssirelaation ja rakennamme osamääräavaruuden osamäärätopologialla tämän suhteen suhteen. Tämä tila on täysin irti, mutta kahdelle (määritelmän mukaan topologisesti erilliselle) nollakopiolle ei ole kahta avointa joukkoa, jotka täyttäisivät täysin erillisen avaruuden määritelmän.

\mathbb {Q}

q\sim p\Leftrightarrow q=p,\;q\neq 0,\;p\neq 0

Ominaisuudet

Missä tahansa topologisessa avaruudessa tyhjä joukko ja yksipistejoukot yhdistetään. Jotkut kirjoittajat eivät kuitenkaan pidä tyhjää joukkoa yhdistettynä. (Jotkut kirjoittajat eivät kuitenkaan pidä sitäkään sarjana.)
Yhdistetyssä avaruudessa jokaisella osajoukolla (paitsi tyhjä osajoukko ja koko avaruus) on ei-tyhjä raja .
- Osajoukot, joissa on tyhjä raja, ovat sekä avoimia että suljettuja osajoukkoja, ja niitä kutsutaan avoimeksi suljetuiksi osajoukoiksi . Yhdistetyssä avaruudessa kaikki clopen-alajoukot ovat triviaaleja, joko tyhjiä tai yhteneviä koko tilan kanssa.
Jatkuvan kartoituksen alla olevan yhdistetyn joukon kuva on yhdistetty.
Avaruuden liitettävyys on topologinen ominaisuus, eli ominaisuus, joka on invariantti homeomorfismissa .
Kytketyn osajoukon sulkeminen on yhdistetty. $A$
- Lisäksi mikä tahansa "väli" osajoukko ( ) on myös yhdistetty. Toisin sanoen, jos yhdistetty osajoukko on tiheä , silloin joukko on myös yhdistetty. $B$ $A\osajoukko B \osajoukko \bar{A}$ $A$ $B$ $B$
Antaa olla perhe yhdistettyjä joukkoja, joista jokaisella on ei-tyhjä leikkauspiste yhdistettyyn joukkoon . Sitten setti $\{A_{\alpha}\}$ $A$ $A\cup \left(\bigcup _{\alpha }A_{\alpha }\right)$

myös kytketty. (Toisin sanoen, jos mielivaltainen yhdistettyjen joukkojen perhe liimataan yhdistettyyn joukkoon, liitto pysyy aina kytkettynä.)

Yhdistettyjen tilojen tulo on yhdistetty. Jos ainakin yksi tekijöistä katkeaa, tuote irrotetaan.
Jokainen tilan komponentti on suljettu joukko. Avaruuden eri komponenteilla ei ole yhteisiä pisteitä. Avaruusosajoukon yhdistetyt komponentit ovat joukon suurimmat liitetyt osajoukot . $X$ $X$ $A$ $X$ $A$
Jatkuva kartoitus yhdistetystä tilasta täysin irralliseen tilaan pelkistyy kartoitukseksi yhteen pisteeseen.
Paikallisesti yhdistettyjä tiloja ei tarvitse yhdistää, eikä yhdistettyjä tiloja tarvitse olla paikallisesti yhdistettyjä.
Paikallisesti yhdistetyssä tilassa liitetyt komponentit ovat avoimia.
Mikä tahansa polkuun yhdistetty tila on yhdistetty.
- Päinvastoin ei ole totta; esimerkiksi funktion graafin sulkeminen on kytketty, mutta ei lineaarisesti kytketty (tämä joukko sisältää segmentin y-akselilla). $\sin\tfrac1x$ $[-1,1]$

Esimerkkejä

Pseudoarc on esimerkki täysin lineaarisesti katkenneesta jatkumosta.
Knaster-Kuratovsky-tuuletin on esimerkki sellaisesta yhdistetystä tason osajoukosta, että yhden pisteen poistaminen siitä irrottaa sen kokonaan .
Mandelbrot-joukko on esimerkki yhdistetystä joukosta, jonka suhteen ei tiedetä, onko se polkuyhteys.

Muunnelmia ja yleistyksiä

polkuun yhdistetty tila