Indusoitu topologia

Indusoitu topologia on luonnollinen tapa määritellä topologia topologisen avaruuden osajoukolle.

Määritelmä

Olkoon topologinen avaruus annettu , jossa on mielivaltainen joukko ja on topologia , joka on määritelty kohdassa . Anna myös . Määrittelemme alajoukkojen perheen seuraavasti: $(X,\;\mathcal{T})$ $X$ $\mathcal{T}$ $X$ $Y\alajoukko X$ ${\mathcal {T}}_{Y}$ $Y$

{\mathcal {T}}_{Y}=\{U\cap Y\mid U\in {\mathcal {T}}\}.

On helppo tarkistaa, mikä on topologia . Tätä topologiaa kutsutaan indusoiduksi topologiaksi . Topologista avaruutta kutsutaan aliavaruudeksi . ${\mathcal {T}}_{Y}$ $Y$ $\mathcal{T}$ $(Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})$ $(X,\;\mathcal{T})$

Tätä rakennetta voi yleistää. Antaa olla mielivaltainen joukko, olla topologinen avaruus ja olla mielivaltainen kartoitus . Sitten otetaan mahdollisimman kaikki muodon ( ) mahdolliset joukot, joissa on avoimia joukkoja . Topologiaa kutsutaan kartoitus-indusoiduksi topologiaksi. Se on hyvä, koska tämän topologian näyttö muuttuu automaattisesti jatkuvaksi. Se on heikoin (se sisältää vähiten joukkoja) kaikista mahdollisista avaruustopologioista , joiden kartoitus on jatkuvaa. $X$ $(Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})$ $f:X\Y:ksi$ $X$ $Y$ ${\mathcal {T}}_{X}$ $f^{-1}$ $V$ $V$ $Y$ ${\mathcal {T}}_{X}$ $f$ $f$ $X$ $f$

Esimerkki

Olkoon reaaliviiva vakiotopologialla annettu . Tällöin kaikkien luonnollisten lukujen joukossa viimeisenä indusoitu topologia on diskreetti . $\mathbb {R}$ $\mathbb {N} \subset \mathbb {R}$