Kompakti tila

Kompakti avaruus on tietyntyyppinen topologinen avaruus, joka yleistää euklidisten avaruuksien rajallisuuden ja sulkeutumisen ominaisuudet mielivaltaisiksi topologisiin avaruuksiin.

Yleisessä topologiassa kompaktit avaruudet muistuttavat joukkoteoriassa ominaisuuksiltaan äärellisiä joukkoja .

Määritelmä

Kompakti avaruus on topologinen avaruus , jonka missä tahansa avoimien joukkojen peitossa on äärellinen alikansi [1] .

Aluksi tätä ominaisuutta kutsuttiin bikompaktiksi (tämän termin otettiin käyttöön P. S. Aleksandrov ja P. S. Uryson ), ja laskettavia avoimia kansia käytettiin tiiviyden määrittelyssä . Myöhemmin yleisempi bikompaktiuden ominaisuus osoittautui suositummaksi ja sitä alettiin vähitellen kutsua yksinkertaisesti kompaktiksi. Nyt termiä "kaksikompaktisuus" käyttävät pääasiassa vain P. S. Aleksandrovin koulun topologit. Tiloissa, jotka täyttävät toisen laskettavuuden aksiooman , alkuperäinen kompaktiuden määritelmä vastaa nykyaikaista [2] .

Bourbaki ja hänen seuraajansa sisällyttävät kompaktisuuden määritelmään Hausdorffin avaruusomaisuuden [2] .

Esimerkkejä kompakteista sarjoista

Suljetut rajatut joukot . $\mathbb {R} ^{n}$
Topologisten avaruuksien äärelliset osajoukot.
Ascoli-Arzela-lause antaa karakterisoinnin kompakteille joukoille todellisten funktioiden avaruudessa metrisessä kompaktissa avaruudessa normin kanssa : funktiojoukon sulkeutuminen on kompakti silloin ja vain, jos se on tasaisesti rajattu ja tasaisesti jatkuva . $C(X)$ $X$ $\|f\|=\sup _{x}|f(x)|$ $F$ $C(X)$ $F$
Boolen algebroiden kiviavaruus .
Topologisen avaruuden tiivistäminen .

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Topologisen avaruuden T osajoukkoa, joka on kompakti avaruus T :n indusoimassa topologiassa, kutsutaan kompaktiksi joukoksi .
Joukon sanotaan olevan esitiivis (tai kompakti suhteessa T ), jos sen sulkeutuminen T :ssä on kompakti [3] .
Avaruutta kutsutaan sekventiaalisesti kompaktiksi , jos jollakin sen sekvenssillä on konvergentti osajono.
Paikallisesti kompakti tila on topologinen avaruus, jossa millä tahansa pisteellä on naapuri , jonka sulkeutuminen on kompakti.
Rajallisen kompakti tila on metrinen tila , jossa kaikki suljetut pallot ovat kompakteja.
Pseudokompakti avaruus on Tihonov -avaruus, jossa jokainen jatkuva reaalifunktio on rajoitettu.
Laskettavan kompakti avaruus on topologinen avaruus, jossa mikä tahansa avoimien joukkojen laskettava kansi sisältää äärellisen alikannen.
Heikosti laskettava kompakti avaruus on topologinen avaruus, jossa millä tahansa äärettömällä joukolla on rajapiste.
H-suljettu tila on Hausdorff-avaruus, joka on suljettu missä tahansa ympäröivässä Hausdorff-avaruudessa [4] .

Termiä " kompakti " käytetään joskus mittaavissa olevasta kompaktista tilasta, mutta joskus yksinkertaisesti synonyyminä termille "tiivis tila". Myös " kompaktia " käytetään joskus Hausdorffin kompaktissa tilassa [5] . Lisäksi käytämme termiä " kompakti " synonyymina termille "tiivis tila".

Ominaisuudet

Kompaktia vastaavat ominaisuudet:
- Topologinen avaruus on kompakti silloin ja vain, jos jokaisella keskitetyllä suljettujen joukkojen perheellä, eli perheellä, jossa äärellisten alaperheiden leikkauspisteet ovat ei-tyhjiä, on ei-tyhjä leikkauspiste [6] .
- Topologinen avaruus on kompakti silloin ja vain, jos jokaisella sen suunnalla on rajapiste.
- Topologinen avaruus on kompakti silloin ja vain, jos jokaisella sen suodattimella on rajapiste.
- Topologinen avaruus on kompakti silloin ja vain, jos jokainen ultrasuodatin konvergoi vähintään yhteen pisteeseen.
- Topologinen avaruus on kompakti silloin ja vain, jos jokaisella sen äärettömällä osajoukolla on vähintään yksi täydellinen kertymispiste . $X$ $X$
Muut yleiset ominaisuudet:
- Kaikessa jatkuvassa kartoituksessa kompaktin joukon kuva on kompakti joukko.
- Weierstrassin lause . Mikä tahansa jatkuva reaalifunktio kompaktissa tilassa on rajoitettu ja saavuttaa maksimi- ja minimiarvonsa.
- Kompaktijoukon suljettu osajoukko on kompakti.
- Kompakti Hausdorffin avaruuden osajoukko on suljettu .
- Kompakti Hausdorff-tila on normaalia .
- Hausdorff-avaruus on kompakti silloin ja vain, jos se on säännöllinen ja H-suljettu [4] .
- Hausdorffin avaruus on kompakti silloin ja vain, jos jokainen sen suljettu osajoukko on H-suljettu [4] .
- Tihonovin lause: Satunnaisen (ei välttämättä äärellisen) kompaktien joukkojen ( tulotopologialla ) tulo on kompakti.
- Mikä tahansa jatkuva yksittäinen kartoitus kompaktista joukosta Hausdorffin avaruuteen on homeomorfia .
- Kompaktijoukot "käyttäytyvät kuin pisteet" [7] . Esimerkiksi: Hausdorff-avaruudessa millä tahansa kahdella ei-leikkautuvalla kompaktilla joukolla on ei-leikkautuvat lähialueet, säännöllisessä avaruudessa kaikilla ei-leikkautuvilla tiiviillä ja suljetuilla joukoilla on ei-leikkaavia lähialueita, Tihonov-avaruudessa kaikilla ei-leikkautuvalla kompaktilla ja suljetulla joukolla ovat toiminnallisesti erotettavissa .
- Jokainen äärellinen topologinen avaruus on kompakti.

Kompaktien metristen tilojen ominaisuudet:
- Metrinen avaruus on kompakti, jos ja vain jos mikä tahansa pistejono sisältää konvergentin osajonon.
- Hausdorffin kompaktisuuslause antaa tarpeelliset ja riittävät ehdot joukon tiiviydelle metrisessä avaruudessa.
- Äärillisulotteisissa euklidisissa avaruksissa aliavaruus on kompakti, jos ja vain jos se on rajoitettu ja suljettu . Tällä ominaisuudella varustettujen tilojen sanotaan täyttävän Heine-Borel-ominaisuuden [8] .
- Lebesguen lemma : Jokaiselle kompaktille metriselle avaruudelle ja avoimelle kannelle on olemassa positiivinen luku siten, että mikä tahansa osajoukko, jonka halkaisija on pienempi kuin , sisältyy johonkin joukosta . Tällaista numeroa kutsutaan Lebesguen numeroksi. $\{V_{\alpha }\},\ \alpha \in A$ $r$ $r$ $V_{\alpha }$ $r$

Katso myös

Tiivistäminen

Muistiinpanot

↑ Viro et ai., 2012 , s. 97.
↑ 1 2 Viro et al., 2012 , s. 98.
↑ Kolmogorov, Fomin, 1976 , s. 105.
↑ 1 2 3 Kelly, 1968 , s. 209.
↑ Engelking, 1986 , s. 208.
↑ Katso myös Lemma sisäkkäisistä segmenteistä
↑ Engelking, 1986 , s. 210.
↑ Katso myös Bolzano-Weierstrass-lause #Bolzano-Weierstrass-lause ja kompaktiuden käsite

Kirjallisuus

Kolmogorov, A. N. , Fomin, S. V. Funktioteorian elementit ja funktionaalinen analyysi. - 4. painos -M.:Nauka, 1976. (Venäjän kieli)
Viro, O. Ya. , Ivanov, O. A. , Netsvetaev, N. Yu. , Kharlamov, V. M. Elementary topology. - 2. painos, korjattu .. -M .: MTSNMO, 2012. -ISBN 978-5-94057-894-9. (Venäjän kieli)
Protasov, V. Yu. Maxima and Minima in Geometry. -M.: MTSNMO, 2005. - 56 s. - (Kirjasto "Mathematical Education", numero 31). (Venäjän kieli)
Schwartz, L. Analysis. -M .:Mir, 1972. - T. I. (Venäjän kieli)
Kelly, J. L. Yleinen topologia. - M .: Nauka , 1968. (Venäjän kieli)
Engelking, R. Yleinen topologia. — M .: Mir , 1986. — 752 s. (Venäjän kieli)
Arkangelski, A.V. Kaksikokoinen avaruus //Mathematical Encyclopedia. -M.: Neuvostoliiton tietosanakirja, 1977-1985. (Venäjän kieli)
Voitsekhovsky, M. I. Kompakti avaruus // Mathematical Encyclopedia . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja, 1977-1985. (Venäjän kieli)

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Universalis