Lebesguen ulottuvuus

Lebesguen ulottuvuus eli topologinen ulottuvuus on päällysteiden avulla määritelty ulottuvuus , topologisen avaruuden tärkein invariantti . Avaruuden Lebesgue-ulottuvuus on yleensä merkitty . $X$ $\dim X$

Määritelmä

Metriavaruuksia varten

Kompaktissa metriavaruudessa Lebesgue- ulottuvuus määritellään pienimmäksi kokonaisluvuksi , jolla on ominaisuus, että mille tahansa :lle on olemassa äärellinen avoin peitto - jolla on monikertaisuus ; $X$ $n$ $\varepsilon > 0$ $\varepsilon$ $X$ $\leqslant n+1$

Jossa

$\varepsilon$ -metrisen avaruuden kansi on kansi, jonka kaikkien elementtien halkaisija on , ja $<\varepsilon$
avaruuden äärellisen kannen monikerta on suurin kokonaisluku siten , että tämän peitteen elementtien sisältämässä avaruudessa on piste . $X$ $k$ $X$ $k$

Topologisille avaruuksille

Mielivaltaiselle normaalille (erityisesti metrisoitavalle ) avaruudelle Lebesguen ulottuvuus on pienin kokonaisluku siten, että jokaiselle avaruuden äärelliselle avoimelle kateelle on olemassa (äärellinen avoin) moninkertaisuuden kansi kirjoitettuna . $X$ $n$ $X$ $n+1$

Kannen sanotaan olevan kirjoitettu kanteen, jos kukin kannen elementti on osajoukko ainakin yhdestä kannen elementistä . ${\mathcal P}$ $\mathcal Q$ ${\mathcal P}$ $\mathcal Q$

Esimerkkejä

Nollaulotteiset avaruudet: yhden pisteen tila, diskreetti avaruus , Cantor-joukko .
- Katso myös nollaulotteinen avaruus .
Yksiulotteiset tilat: ympyrä , Sierpinskin kolmio , Sierpinski- matto , Menger-sieni
- Katso myös Urysohnin käyrä

Ominaisuudet

Epätasa-arvo $\dim(X\times Y)\leqslant \dim X+\dim Y.$

täyttyy jonkin seuraavista topologisia avaruksia koskevista vaatimuksista ja :

X

Y

mitattavuus,
tiiviys,
paikallinen tiiviys ja parakompaktisuus.

On esimerkkejä avaruuspareista, joissa tätä epätasa-arvoa rikotaan; [1] tämä epäyhtälö voi myös osoittautua tiukaksi esimerkiksi joillekin Pontryagin-pintapareille .

Mitta-avaruuden Lebesgue-ulottuvuus ei ylitä sen Hausdorff-ulottuvuutta .
- Lisäksi mitattavan erotettavan avaruuden Lebesgue-ulottuvuus osuu yhteen Hausdorffin mittojen infimumin kanssa suhteessa kaikkiin mittauksiin . $X$ $X$
Ostrandin värillinen ulottuvuuslause: Normaaliavaruudella on ulottuvuus , jos ja vain jos mille tahansa avaruuden paikallisesti äärelliselle avoimelle kannelle on olemassa piirretty kansi , joka koostuu alaperheistä siten, että jokainen alaperhe koostuu hajaantuneista joukoista. $X$ $\dim X\leqslant n$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A))))$ $X$ ${\mathcal V}$ $n+1$ ${\mathcal {V}}_{1},{\mathcal {V}}_{2},\dots ,{\mathcal {V}}_{n+1}$ ${\mathcal {V}}_{i}$

Historia

Ensimmäisen esittelijä Henri Lebesgue . Hän arveli, että -ulotteisen kuution ulottuvuus on . Leutzen Brouwer todisti tämän ensimmäistä kertaa. Tarkan määritelmän invariantille (metristen kompaktien joukkojen luokalle) antoi Pavel Samuilovich Uryson . $n$ $n$ $\dim X$

Muistiinpanot

↑ Wage, Michael L. Tuotetilojen ulottuvuus // Proc. Nat. Acad. sci. USA. - 1978. - T. 75 , nro 10 . — S. 4671–4672 . - doi : 10.1073/pnas.75.10.4671 .

Kirjallisuus

Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Johdatus ulottuvuusteoriaan. Moskova: Nauka, 1973

fraktaaleja
Ominaisuudet	fraktaali ulottuvuus Hausdorffin ulottuvuus Lebesguen ulottuvuus rekursio itsensä samankaltaisuus
Yksinkertaisimmat fraktaalit	Fern Barnsley Kantorin setti lohikäärmeen käyrä Kochin käyrä Sieni Menger Sierpinski matto Sierpinskin kolmio Tilan täyttökäyrä
outo houkutin	Multifraktaali
L-järjestelmä	Tilan täyttökäyrä
Bifurkaatiofraktaalit	Julia setti Ljapunovin fraktaali Mandelbrot setti Newtonin altaat
Satunnaiset fraktaalit	Brownin liike ruskea puu fraktaalipinta Perkolaatioteoria
Ihmiset	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Aleksanteri Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
liittyvät aiheet	Kuinka pitkä Ison-Britannian rannikko on? » Rannikkoparadoksi

Tilan mitat
Tilat mittojen mukaan	Nollaulotteinen yksiulotteinen 2D 3D neliulotteinen viisiulotteinen Kuusiulotteinen Seitsemänulotteinen oktaali Yhdeksänulotteinen n-ulotteinen Negatiivinen ulottuvuus
Polytoopit ja hahmot	Yksinkertainen hyperkuutio tesserakti Hypersuorakulmio (ortotooppi) Puolihyperkuutio Cross-polytooppi hypersfääri
Tilojen tyypit	äärellisulotteinen avaruus Euklidinen avaruus affinista tilaa projektiivinen tila Ilmainen moduuli Jakotukki Algebrallisen muuttujan ulottuvuus aika-avaruus
Muut ulottuvuuskäsitteet	Krullin ulottuvuus Lebesguen ulottuvuus Induktiivinen ulottuvuus Murtoluku ( Minkowskin ulottuvuus , Hausdorffin ulottuvuus ) fraktaali ulottuvuus Vapauden asteet
Matematiikka