Minkowskin ulottuvuus

Minkowski-ulottuvuus tai rajatun joukon karkea ulottuvuus metriavaruudessa on

\lim \limits _{{\varepsilon \to 0}}{\frac {\ln(N_{\varepsilon })}{-\ln(\varepsilon )))

missä on halkaisijan sarjojen vähimmäismäärä , joka voi kattaa joukkomme. Jos rajaa ei ole olemassa, voimme tarkastella ylä- ja alarajaa ja puhua Minkowskin ylä- ja alamitoista. $N_\varepsilon$ $\varepsilon$

Minkowskin ulottuvuutta lähellä oleva käsite on Hausdorffin ulottuvuus . Monissa tapauksissa nämä mitat ovat samat, vaikka on sarjoja, joissa ne ovat erilaisia.

Esimerkkejä

äärellisen joukon ulottuvuus on yhtä suuri kuin nolla, koska sillä se ei ylitä siinä olevien alkioiden määrää. $\rho (n)$
janan mitta on 1, koska pituussegmenttejä tarvitaan kattamaan pituussegmentti . Tällä tavalla, $\lceil a/\epsilon \rceil$ $\epsilon$ $a$ $\lim \limits _{{\epsilon \to 0}}{\frac {\ln(N_{\epsilon })}{-\ln(\epsilon )))=\lim \limits _{{\epsilon \to 0}}{\frac {\ln a-\ln \epsilon }{-\ln \epsilon }}=1$ ,
neliön ulottuvuus on 2, koska niiden ruutujen määrä, joissa on diagonaali , joka tarvitaan peittämään neliö, jonka sivu on , käyttäytyy suunnilleen kuten . $1/n$ $a$ $a^{2}n^{2}$
fraktaalijoukon ulottuvuus voi olla murtoluku. Joten Koch-käyrän mitta on . $\ln 4/\ln 3$

Yksityiskohdissa

Tämän osoittava epävirallinen keskustelu on seuraava. Segmentti voidaan jakaa kahteen osaan, kuten alkuperäinen segmentti kertoimella 1/2. Peittääksemme segmentin sarjoilla, joiden halkaisija on , meidän on peitettävä jokainen puolikas sellaisilla sarjoilla. Mutta puolet niistä tarvitaan sama määrä kuin koko halkaisijasarjan segmentissä . Siksi segmentille meillä on . Eli jos se kaksinkertaistuu , se myös kaksinkertaistuu. Toisin sanoen se on lineaarinen funktio. $1/n$ $2/n$ $\rho (n)\noin 2\rho (n/2)$ $n$ $\rho (n)$ $\rho (n)$

Neliölle samanlainen argumentti antaa . Eli kaksinkertaisella lisäyksellä se kasvaa 4 kertaa. Toisin sanoen, on neliöfunktio.

\rho (n)\noin 4\rho (n/2)

n

\rho (n)

\rho (n)

Lopuksi Koch-käyrä koostuu 4 osasta, joista jokainen on samanlainen kuin alkuperäinen käyrä kertoimella 1/3. Siksi hänelle . Korvaamalla saamme . Tästä seuraa, että ulottuvuus on .

\rho (n)\noin 4\rho (n/3)

n=3^{k}

\rho (3^{k})\noin 4\rho (3^{{k-1}})\noin 4^{2}\rho (3^{{k-2}})\noin \pistettä \ noin 4^{k}\rho (1)=4^{{\log _{3}n}}\rho (1)=n^{{\ln 4/\ln 3}}\rho (1)

\ln 4/\ln 3

Muodollisesti: olkoon n fraktaalin askel, n:nnessä vaiheessa meillä on yhtä pitkiä segmenttejä . Otetaan ε:lle segmentti, jonka pituus on , ja koko Koch-käyrän kattamiseksi tarvitsemme segmenttejä. Jotta ehto ε→0 täyttyisi, on taipumus olla n→ . Saada $4^{{n}}$ $3^{{-n}}$ $3^{{-n}}$ $4^{{n}}$ $\infty$

\lim \limits _{{\epsilon \to 0}}{\frac {\ln(N_{\epsilon })}{-\ln(\epsilon )))=\lim \limits _{{n\to \ infty }}{\frac {\ln(4^{{n}})}{-\ln(3^{{-n}})))={\frac {\ln 4}{\ln 3}}

Minkowski-sarjan mitta on 1/2. $\{0,1,{\frac 12},{\frac 13},{\frac 14},\dots \}$

Ominaisuudet

Joukkojen äärellisen liiton Minkowski-ulottuvuus on yhtä suuri kuin niiden mittojen maksimi. Toisin kuin Hausdorffin ulottuvuus , tämä ei päde laskettavalle liitolle. Esimerkiksi rationaalisten lukujen joukolla välillä 0 ja 1 on Minkowskin dimensio 1, vaikka se onkin yksialkioisten joukkojen (joiden jokaisen ulottuvuus on 0) laskettava liitto. Yllä on esimerkki suljetusta laskettavasta joukosta, jossa on nollasta poikkeava Minkowski-dimensio.
Minkä tahansa joukon alempi Minkowski-ulottuvuus on suurempi tai yhtä suuri kuin sen Hausdorff-mitta.
Minkä tahansa joukon Minkowski-ulottuvuus on yhtä suuri kuin sen sulkemisen Minkowski-ulottuvuus. Siksi on järkevää puhua vain suljettujen joukkojen Minkowski-mitoista.

Katso myös

Kirjallisuus

Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Johdatus ulottuvuusteoriaan. Moskova: Nauka, 1973
Kronover R. M. Fraktaalit ja kaaos dynaamisissa järjestelmissä M.: POSTMARKET, 2000

fraktaaleja
Ominaisuudet	fraktaali ulottuvuus Hausdorffin ulottuvuus Lebesguen ulottuvuus rekursio itsensä samankaltaisuus
Yksinkertaisimmat fraktaalit	Fern Barnsley Kantorin setti lohikäärmeen käyrä Kochin käyrä Sieni Menger Sierpinski matto Sierpinskin kolmio Tilan täyttökäyrä
outo houkutin	Multifraktaali
L-järjestelmä	Tilan täyttökäyrä
Bifurkaatiofraktaalit	Julia setti Ljapunovin fraktaali Mandelbrot setti Newtonin altaat
Satunnaiset fraktaalit	Brownin liike ruskea puu fraktaalipinta Perkolaatioteoria
Ihmiset	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Aleksanteri Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
liittyvät aiheet	Kuinka pitkä Ison-Britannian rannikko on? » Rannikkoparadoksi

Tilan mitat
Tilat mittojen mukaan	Nollaulotteinen yksiulotteinen 2D 3D neliulotteinen viisiulotteinen Kuusiulotteinen Seitsemänulotteinen oktaali Yhdeksänulotteinen n-ulotteinen Negatiivinen ulottuvuus
Polytoopit ja hahmot	Yksinkertainen hyperkuutio tesserakti Hypersuorakulmio (ortotooppi) Puolihyperkuutio Cross-polytooppi hypersfääri
Tilojen tyypit	äärellisulotteinen avaruus Euklidinen avaruus affinista tilaa projektiivinen tila Ilmainen moduuli Jakotukki Algebrallisen muuttujan ulottuvuus aika-avaruus
Muut ulottuvuuskäsitteet	Krullin ulottuvuus Lebesguen ulottuvuus Induktiivinen ulottuvuus Murtoluku ( Minkowskin ulottuvuus , Hausdorffin ulottuvuus ) fraktaali ulottuvuus Vapauden asteet
Matematiikka