Kochin käyrä

Kochin käyrä on  fraktaalikäyrä , jonka ruotsalainen matemaatikko Helge von Koch kuvasi vuonna 1904 .

Kolme kopiota Koch-käyrästä, jotka on rakennettu (osoittaa ulospäin) tasasivuisen kolmion sivuille , muodostavat äärettömän pituisen suljetun käyrän , jota kutsutaan Kochin lumihiutaleeksi .

Rakennus

Kochin käyrä on tyypillinen geometrinen fraktaali. Sen rakentamisprosessi on seuraava: otamme yhden segmentin, jaamme sen kolmeen yhtä suureen osaan ja korvaamme keskivälin tasasivuisella kolmiolla ilman tätä segmenttiä. Tuloksena muodostuu katkoviiva, joka koostuu neljästä lenkistä, joiden pituus on 1/3. Seuraavassa vaiheessa toistamme toiminnon jokaiselle neljästä tuloksena olevasta linkistä ja niin edelleen... Rajakäyrä on Koch-käyrä.

Komentosarjaesimerkki ( PHP ) <?php $i = 4 ; $image = imagecreatetruecolor ( 600 , 200 ); imagefilledrectangle ( $image , 0 , 0 , imagesx ( $image ) - 1 , imagesy ( $image ) - 1 , imagecolorresolve ( $image , 255 , 255 , 255 )); $väri = imagecolorresolve ( $kuva , 0 , 0 , 0 ); drawKoch ( $image , 0 , imagesy ( $image ) - 1 , imagesx ( $image ), imagesy ( $image ) - 1 , $i , $color ); /** * Piirtää koch-käyrän kahden pisteen väliin. * @return void */ function drawKoch ( $image , $xa , $ya , $xe , $ye , $i , $color ) { if ( $i == 0 ) imageline ( $image , $xa , $ya , $xe , $ye , $väri ); else { // C // / \ // A---B D---E $xb = $xa + ( $ xe - $ xa ) * 1/3 ; $yb = $ya + ( $ ye - $ ya ) * 1/3 ; $xd = $xa + ( $ xe - $ xa ) * 2/3 ; $yd = $ya + ( $ ye - $ ya ) * 2/3 ; 60 dollaria = 0,5 ; $ sin60 = -0,866 ; $xc = $xb + ( $xd - $xb ) * $cos60 - $sin60 * ( $yd - $yb ); $yc = $yb + ( $xd - $xb ) * $sin60 + $cos60 * ( $yd - $yb ); drawKoch ( $kuva , $xa , $ya , $xb , $yb , $i - 1 , $väri ); drawKoch ( $kuva , $xb , $yb , $xc , $yc , $i - 1 , $väri ); drawKoch ( $kuva , $xc , $yc , $xd , $yd , $i - 1 , $väri ); drawKoch ( $kuva , $xd , $yd , $xe , $ye , $i - 1 , $väri ); } } header ( 'Content-type: image/png' ); imagepng ( $image ); imagedestroy ( $image ); ?> Esimerkki suorakaiteen muotoisesta käyrästä ( Pascal ) käyttää GraphABC :tä ; menettely Piirrä ( x , y , l , u : todellinen ; t : kokonaisluku ) ; menettely Draw2 ( muuttuja x , y : todellinen ; l , u : todellinen ; t : kokonaisluku ) ; Aloita Piirrä ( x , y , l , u , t ) ; x := x + l * cos ( u ) ; y := y - l * sin ( u ) ; loppu ; alkaa jos t > 0 sitten alkaa l := l / 3 ; Piirrä2 ( x , y , l , u , t - 1 ) ; Piirrä2 ( x , y , l , u + pi / 3 , t - 1 ) ; Piirrä2 ( x , y , l , u - pi / 3 , t - 1 ) ; Piirrä2 ( x , y , l , u , t - 1 ) ; end else Rivi ( Kierros ( x ) , Kierros ( y ) , Pyöreä ( x + cos ( u ) * l ) , Pyöreä ( y - sin ( u ) * l )) loppu ; aloita SetWindowSize ( 425 , 500 ) ; SetWindowCaption ( 'Fractals: Koch Snowflake' ) ; Piirrä ( 10 , 354 , 400 , pi / 3 , 4 ) ; Piirrä ( 410 , 354 , 400 , pi , 4 ) ; Piirrä ( 210 , 8 , 400 , -pi / 3 , 4 ) ; _ loppua . Esimerkki suorakulmaisesta käyrästä ( Python ) tuontikilpikonna _ kilpikonna . hideturtle () kilpikonna . jäljitin ( 0 ) kilpikonna . penup () kilpikonna . asetus ( -200 , 0 ) kilpikonna . _ kynä () aksiooma = "F" tempAx = "" iteroitava = 4 logiikka = { 'F' : 'F+F-F-F+F' } i :lle alueella ( iteroitava ) : j : lle aksioomassa : jos j logiikassa : tempAx + = logiikka [ j ] else : tempAx += j aksiooma , tempAx = tempAx , '' k :lle aksioomassa : jos k == ' +' : kilpikonna . oikea ( -90 ) elif k == '− ' : kilpikonna . vasen ( - 90 ) muu : kilpikonna . eteenpäin ( 5 ) kilpikonna . päivitä () kilpikonna . pääsilmukka ()


Ominaisuudet

  • Koch-käyrä ei ole missään erotettavissa eikä tasauskelpoinen.
  • Kochin käyrän pituus on ääretön.
  • Kochin käyrällä ei ole itseleikkauksia.
  • Koch-käyrällä on väli (eli ei kokonaisluku ) Hausdorffin ulottuvuus , joka on yhtä suuri kuin , koska se koostuu neljästä yhtä suuresta osasta, joista jokainen on samanlainen kuin koko käyrä samankaltaisuuskertoimella 1/3.
  • Kone mahdollistaa laatoituksen kahden koon Koch-lumihiutaleilla (pienen lumihiutaleen pinta-ala on 3 kertaa pienempi kuin suuremman). Tässä tapauksessa ei ole laatoitusta samankokoisilla lumihiutaleilla. [yksi]

Muunnelmia ja yleistyksiä

Koch-käyrän yleistykset ovat mahdollisia, joissa käytetään myös katkoviivan korvaamista neljästä yhtä suuresta, mutta eri geometriasta segmentistä rakennettaessa. Niiden Hausdorff-mitta on 1:stä 2:een. Erityisesti, jos segmentin 1:1:1 jakamisen sijaan käytämme kultaista suhdetta (φ:1:φ), tuloksena oleva käyrä liittyy Penrose-laatoituksiin .

Voit myös rakentaa Koch-lumihiutaleen tasasivuisen kolmion sivuille.

Kochin lähestymistapaa noudattaen kehitettiin muunnelmia, joissa on suorat kulmat (neliö), muut kulmat ( Cesaro

Vaihtoehto Kuva Kuitti
1D, 85°, kulma Cesaro-fraktaali on muunnelma Kochin käyrästä, jonka kulma on 60° ja 90° välillä (tässä 85°)
1D, 90°, kulma
1D, 90°, kulma
2D, kolmiot
2D, 90°, kulma Tyypin 1 neliökäyrän jatke, joka vastaa "käänteistä Menger-sientä" [2] . Vasemmalla olevassa kuvassa näkyy fraktaali toisen iteraation jälkeen:
2D, 90°, kulma Type 2 Quadratic Curve Extension. Vasemmalla olevassa kuvassa näkyy fraktaali ensimmäisen iteraation jälkeen.
2D, pallot Eric Haynes suunnitteli "pallomaisen lumihiutaleen" fraktaalin, joka on 3D-versio Kochin lumihiutaleesta (käyttämällä palloja)

Lumihiutale Koch

Ruotsalainen matemaatikko Helge von Koch kuvasi ensimmäisen kerran tasasivuiseen kolmioon perustuvan suljetun käyrän Kochin lumihiutaleen vuonna 1904 [3] . Joissakin teoksissa sitä kutsuttiin nimellä "Koch Island" [4] .

Tällä fraktaalikäyrällä on osoitettu olevan useita outoja ominaisuuksia. Esimerkiksi sen kehän pituus on yhtä suuri kuin ääretön, mikä ei kuitenkaan estä sitä peittämästä äärellistä aluetta , jonka arvo on 8/5 peruskolmion pinta-alasta [5] . Tästä johtuen eräät sovelletut litteiden kuvioiden tekniikat ja parametrit, kuten esimerkiksi reunaindeksi (kehän suhde alueen juureen), eivät sovellu Koch-lumihiutaleen kanssa [4] .

Kochin lumihiutaleen fraktaalimitan laskeminen antaa arvon, joka on suunnilleen 1,2619 [3] [4] .

On myös mahdollista rakentaa ns. Koch anti-lumihiutale, jonka generointialgoritmi koostuu siitä, että jokaisessa vaiheessa leikataan yhä useampia uusia kolmioita alkuperäisestä. Toisin sanoen pohjamuodon reunoja muutetaan sisäänpäin, ei ulospäin. Tuloksena oleva luku kattaa äärettömän joukon toisiinsa liittymättömiä alueita, joiden kokonaispinta-ala on 2/5 nollaiteraatiokolmion pinta-alasta [5] .

Muistiinpanot

  1. ↑ Burns, Aidan. Fractal  tilings (neopr.)  // Mathematical Gazette. - 1994. - T. 78 , nro 482 . - S. 193-196 . — . .
  2. ↑ Baird, Eric. Alt.Fractals: Visuaalinen opas fraktaaligeometriaan ja -suunnitteluun . Chocolate Tree Books (2011) ISBN 0-9557068-3-1  - Luku 3 "Ei Kochin lumihiutale", erityisesti sivut 23-24.
  3. ↑ 1 2 E. Seligman. Dimensions välillä (Math Mutation podcastista 22) // Math Mutation Classics. Tutki matematiikan mielenkiintoisia, hauskoja ja outoja kulmia. - Hillsboro, Oregon, USA: APRESS, 2016. - S. 53. - ISBN 978-1-4842-1891-4 . - doi : 10.1007/978-1-4842-1892-1 .
  4. ↑ 1 2 3 Gelashvili D. B., Iudin D. I., Rozenberg G. S., Yakimov V. N., Solntsev L. A. 2.3. Tavalliset fraktaalit // Fraktaalit ja multifraktaalit bioekologiassa. - Nizhny Novgorod: Nizhny Novgorod State University, 2013. - S. 49. - 370 s. - ISBN 978-5-91326-246-2 .
  5. ↑ 1 2 A. A. Potapov, Yu. V. Guljaev, S. A. Nikitov, A. A. Pakhomov, V. A. saksa. Klassiset fraktaalikäyrät ja -joukot // Uusimmat kuvankäsittelymenetelmät / A. A. Potapov. - M . : "Fizmatlit", 2008. - S. 82. - 496 s. - ISBN 978-5-9221-0841-6 .

Linkit

  Siirry Wikidata-kohteeseen  Sanakirjat ja tietosanakirjat
 fraktaaleja
Ominaisuudet
Yksinkertaisimmat fraktaalit
outo houkutinMultifraktaali
L-järjestelmäTilan täyttökäyrä
Bifurkaatiofraktaalit
Satunnaiset fraktaalit
Ihmiset
liittyvät aiheet