Kuutio

Kuutio tai kuutio  on 3. asteen tasoalgebrallinen käyrä , eli joukko pisteitä tasossa ( projektiivinen tai affiininen ), joka on annettu kuutioyhtälöllä

joka koskee homogeenisia koordinaatteja projektitiivisella tasolla. Affiiniseen versioon siirtymiseksi riittää, että z = 1 .

Joskus kuutiota kutsutaan myös 3. kertaluvun hyperpinnaksi mielivaltaisen ulottuvuuden avaruudessa [1] .

Aksentti

Matemaattisessa tietosanakirjassa painotus "kuutio" on annettu [1] . Toisessa sanakirjassa - "kuutio" [2] . Puhekielessä käytetään ääntämistä, jossa on korostus ensimmäisessä tavussa: "kuutio" [3] [4] [5] [6] [7] .

Luokitus

Ensimmäisen kuution luokituksen antoi Newton vuonna 1704 [8] .

Newton osoitti, että mille tahansa kuutiolle voit valita koordinaattijärjestelmän, jossa sillä on jokin seuraavista muodoista:

• ;
• ;
• ;
• .

Seuraavaksi Newton jakoi kaikki käyrät luokkiin, suvuihin ja tyyppeihin, mutta ohitti kuitenkin 6 tyyppiä . Täydellisen luokituksen antoi Plücker [9] .

Vuodesta 2008 lähtien vastaavaa luokitusta ei ole löydetty n: nnen kertaluvun käyrille, tämä ongelma muodostaa Hilbertin 16. tehtävän .

Ominaisuudet

• Lause yhdeksästä kuution pisteestä (Chalin lause): annetaan kaksi kuutiota A ja B , joilla on 9 yhteistä pistettä. Jos kolmas noppa C käy niistä 8 läpi, niin se menee yhdeksännen läpi.
• He ottivat kuution pisteen A ja vetivät siitä 2 tangenttia kuutioon - yksi koskettaa kuutiota pisteessä A , toinen pisteessä B. Olkoon näiden tangenttien leikkaamien segmenttien pinta-alat kuution kuvaajasta yhtä suuret kuin X ja Y . Sitten X = 16 Y [10] .
• Tiedetään, että jotkut kuutiot ovat kolmisektoria, eli jos tällaisen kuution kuvaaja piirretään tasolle ja annetaan kulma, se voidaan jakaa kompassilla ja viivaimella 3 yhtä suureen osaan. Avoin ongelma: onko jokin kuutio kolmisektori?
• Suurin mahdollinen yhdistettyjen komponenttien lukumäärä kuutiokuvaajalle yksiköissä ℝ² on 4. Esimerkiksi: kuutiolle f  ( x , y ) = 3 x  3 − 5 y  2 x − 4 x  2 − 10 yx + 10 y  2 − 6 x + 20 y + 12 kuvaaja koostuu kolmesta äärettömyyteen väistyvästä käyrästä ja yhdestä eristetystä pisteestä.
• Jos viiva kulkee kuution kahden käännepisteen läpi, se kulkee myös kolmannen.
• Kuutioissa voit lisätä pisteiden yhteenlaskua ja kertoa niiden luvulla, jolloin saadaan algebrallinen rakenne, jota kutsutaan elliptiseksi käyräksi [11] [12] .
• Suora leikkaa kuution pisteissä A , B , C . Kuutioon palautetut tangentit pisteissä A , B , C leikkaavat kuution toisen kerran pisteissä P , Q , R . Tällöin myös pisteet P , Q , R ovat samalla suoralla [13] [14] .

Sovellukset

• Kuutiokäyriä käytetään PostScript-kielessä , mukaan lukien Type 1 -fontit ( TrueType käyttää vain neliöllisiä käyriä).
• Kuution tutkimista on pitkään pidetty esimerkkinä puhtaasta matematiikasta (jolla ei ole sellaista sovellusta ja tulevaisuudennäkymiä). Kuitenkin 1900-luvun 20 viime vuoden aikana keksittiin salausalgoritmeja, jotka käyttävät kuution syviä ominaisuuksia, joita käytetään nykyään (erityisesti) pankkisalauksessa, mikä antoi sysäyksen kuution ominaisuuksien tutkimukselle, katso elliptinen kryptografia .
• Suuri määrä kolmion merkittäviä pisteitä muodostaa useita kuutioita [15] .
• Frank Morley todisti hänen mukaansa nimetyn kuuluisan lauseen tutkimalla kuution ominaisuuksia [16] .

Katso myös

• Lause noin yhdeksän pistettä kuutiossa
• Kolmiolla yhdistetyt kuutiot
• Elliptinen käyrä
• Newtonin kuution luokitus
• Kuution affiiniluokitus
• Isometrinen ekvivalenssi
• Affiini vastaavuus

Muistiinpanot

1. ↑ 1 2 Matemaattinen tietosanakirja / Ch. toim. Yu. V. Prokhorov. - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja, 1988. - S.  304,55 . — 845 s.
2. ↑ Venäjä-portugali ja portugali-venäläinen fysiikan ja matematiikan sanakirja / V.V. Logvinov. M.: Rus.yaz., 1989, s. 131
3. ↑ A. N. Parshin. Ryhmäesitysteoria ja algebrallinen geometria YouTubessa , alkaen 1:04:26
4. ↑ S. S. Galkin. Algebralliset pinnat. Luento 3. YouTubessa , alkaen 1:13:16
5. ↑ G. B. Shabat. Ponceletin ympärillä. Luento 4 Arkistoitu 6. huhtikuuta 2016 Wayback Machinessa . Koko Venäjän matemaattisen portaalin videokirjasto (20 min 18 s)
6. ↑ S. M. Lvovsky Kaksikymmentäseitsemän riviä. Istunto 3 Arkistoitu 6. huhtikuuta 2016 Wayback Machinessa . Kokovenäläisen matemaattisen portaalin videokirjasto (36 min 15 s)
7. ↑ S. A. Loktev. Ryhmäesitysteoria ja algebrallinen geometria YouTubessa , alkaen 54:24
8. ↑ "Enumeratio linearum tertii ordinis" (on venäjänkielinen käännös sanasta "Kolmannen asteen käyrien luettelointi" D. D. Mordukhai-Boltovskyn kirjassa "Isaac Newton. Mathematical Works", s. 194-209, saatavana on-line-sivulla sivun mukaan osoitteessaアーカイブされたコピーHaettu 8. helmikuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2008 (määrätön) .
9. ↑ Smogorzhevsky A.S., Stolova E.S. Käsikirja kolmannen asteen tasokäyrien teoriasta. - M .: Fizmatgiz , 1961.
10. ↑ Honsberger R. Lisää matemaattisia paloja // Math. Assoc. amer. - Washington, DC, 1991. - s. 114-118.
11. ↑ Ostrik V. V., Tsfasman M. A. Algebrallinen geometria ja lukuteoria: rationaaliset ja elliptiset käyrät . — M. : MTsNMO , 2010. — 48 s. - (Kirjasto "Matemaattinen koulutus"). — ISBN 5-900916-71-5 .
12. ↑ Solovjov Yu. P. Elliptisten käyrien rationaaliset pisteet  // Soros Educational Journal . - 1997. - Nro 10 . - S. 138-143 .
13. ↑ The Cubic Curve and an Associated Structure, kirjoittanut D.S. Macnab, The Mathematical Gazette, Voi. 50, ei. 372 (toukokuu, 1966), ss. 105-110 Julkaisija: Mathematical Association DOI: 10.2307/3611930 Sivumäärä: 6 Arkistoitu 7. helmikuuta 2016 Wayback Machinessa .
14. ↑ Katso myös Weisstein, Eric W. Cubic [4],3][,(downlink)[2],downlink)([1].,MathWorldat WolframCurve  Wayback Machine , [5] , [6] , [ 7] (linkki ei saatavilla) , [8] , [9] .    
15. ↑ Katso [10] arkistoitu 5. syyskuuta 2008 Wayback Machinessa ja [11] .
16. ↑ Katso hänen työnsä [12] Arkistoitu 25. marraskuuta 2008 Wayback Machinessa .

Linkit

• Kirjastot kuution interaktiiviseen piirtämiseen (ilman eristettyjä pisteitä) Flashissa ja Javassa .