Lissajous-hahmot

Lissajous-figuurit  ovat lentoratoja, jotka piirtää piste, joka suorittaa samanaikaisesti kaksi harmonista värähtelyä kahdessa keskenään kohtisuorassa suunnassa.

Ensin tutkittiin ranskalainen tiedemies Jules Antoine Lissajous .

Kuvaus

Kuvien muoto riippuu molempien värähtelyjen jaksojen ( taajuuksien ), vaiheiden ja amplitudien välisestä suhteesta. Molempien jaksojen yhtäläisyyden yksinkertaisimmassa tapauksessa luvut ovat ellipsejä, jotka vaihe-erolla 0 tai rappeutuvat viivasegmenteiksi ja vaihe-erolla ja amplitudien yhtäläisyydellä muuttuvat ympyräksi.

Jos molempien värähtelyjen jaksot ovat lähellä, niin vaihe-ero muuttuu lineaarisesti, minkä seurauksena havaittu ellipsi muuttuu koko ajan. Tätä ilmiötä käytetään elektroniikassa taajuuksien vertailuun ja yhden taajuuden säätämiseen toiseen - referenssitaajuuteen.

Kun värähtelyjaksot vaihtelevat moninkertaisesti, Lissajous-luvut ovat hämmentävä kuva, eikä niitä havaita esimerkiksi oskilloskoopin näytöllä - tässä tapauksessa havaitaan valoisa suorakulmio.

Jos jaksojen suhde on rationaalinen luku , niin ajanjakson jälkeen, joka on yhtä suuri kuin molempien jaksojen pienin kerrannainen, liikkuva piste palaa takaisin alkuperäiseen paikkaansa ja pisteen nopeusvektorin osuessa yhteen alkuperäisen kanssa , jolloin suljetut lentoradat. Jos jaksojen suhde on irrationaalinen luku , syntyy ei-suljettuja lentoratoja.

Lissajous-luvut on merkitty suorakulmioon, jonka keskipiste on sama kuin origon ja sivut ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakselien kanssa ja sijaitsevat niiden molemmilla puolilla värähtelyjen amplitudien etäisyyksillä.

Lissajous-käyrän matemaattinen lauseke

Järjestelmä kuvaa x- ja y -koordinaattien riippuvuutta ajasta t

missä A , B  ovat värähtelyamplitudeja, a , b  ovat taajuuksia, δ  on vaihesiirto.

Käyrän muoto riippuu voimakkaasti suhteesta a / b . Kun suhde on 1, Lissajous-kuvio näyttää ellipsiltä, ​​tietyissä olosuhteissa se näyttää ympyrältä ( A = B , δ = π /2 radiaania ) ja suoralta janalta ( δ = 0).

Toinen esimerkki Lissajous-hahmosta on paraabeli ( b / a = 2, δ = π/4). Muilla suhteilla Lissajous-luvut ovat monimutkaisempia lukuja, jotka ovat suljettuja, jos a / b  on rationaalinen luku .

Lissajous-luvut, joissa a = 1, b = N ( N  on luonnollinen luku ) ja

ovat N -asteen ensimmäisen tyypin Chebyshev-polynomeja (katso niiden trigonometrinen määritelmä ).

Esimerkkejä

Animaatio näyttää käyrien muutoksen arvolla δ = 0 ja jatkuvasti kasvavan a / b -suhteen 0:sta 1:een portaissa 0,01:

Esimerkkejä Lissajous-kuvioista, joissa δ = π /2, pariton luonnollinen luku a ja myös luonnollinen luku b , ja | a − b | = 1:

Suunnittelusovellukset - taajuusvertailut

Jos läheisten taajuuksien signaaleja syötetään oskilloskoopin tuloihin "X" ja "Y" , Lissajous-luvut näkyvät näytöllä. Tätä menetelmää käytetään laajalti kahden signaalilähteen taajuuksien vertaamiseen ja yhden lähteen virittämiseen toisen taajuudelle. Kun taajuudet ovat lähellä toisiaan, mutta eivät yhtä suuret, näytöllä oleva luku pyörii ja kiertojaksojakso on taajuuseron käänteisluku, esimerkiksi 2 sekunnin kiertojaksolla taajuuksien ero signaali on 0,5 Hz. Jos taajuudet ovat yhtä suuret, hahmo jäätyy liikkumattomaksi missä tahansa vaiheessa, mutta käytännössä lyhytaikaisten signaalin epävakauksien vuoksi kuva oskilloskoopin näytöllä yleensä tärisee hieman. Voit käyttää vertailuun paitsi samoja taajuuksia, myös niitä moninkertaisessa suhteessa, esimerkiksi jos esimerkillinen lähde pystyy tuottamaan vain 5 MHz taajuuden ja viritettävä lähde - 2,5 MHz.

Katso myös

Kirjallisuus

Linkit

  Siirry Wikidata-kohteeseen  Sanakirjat ja tietosanakirjat
Bibliografisissa luetteloissa