Elliptinen käyrä

Elliptinen käyrä kentän päällä on ei- singulaarinen kuutiokäyrä projektiivisella tasolla ( kentän algebrallinen sulkeminen ), joka saadaan 3. asteen yhtälöllä kertoimilla kentästä ja "pisteestä äärettömässä". Sopivissa affiineissa koordinaateissa sen yhtälö pelkistetään muotoon [1] [2] $K$ ${\hattu {K}}$ $K$ $K$

y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6},

joka käyttää historiallisesti vakiintunutta kertoimen merkintää . ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{6))$

Historia

Vanhin aikaansamme tullut lähde, jossa kuutiokäyriä tarkastellaan, on muinaisen kreikkalaisen matemaatikon Diophantuksen aritmetiikka . Tässä työssä tehtävänä on löytää rationaalisia ja ei-triviaaleja yhtälön ratkaisuja . Diophantus ratkaisee tämän ongelman korvaamisen avulla . $y(6-y)=x^{3}-x$ $x=3v-1$

1670-luvulla Newton analyyttisen geometrian tekniikoita käyttäen yrittää luokitella kuutiokäyriä. Tutkimuksensa aikana Newton huomasi, että diofantiiniratkaisu koostuu pohjimmiltaan yhtälön antaman käyrän leikkauspisteestä tangentin kanssa . Newtonin löytö johti lopulta kaavoihin pisteiden lisäämiseksi elliptiselle käyrälle. 1800-luvulla elliptiset käyrät löytävät sovellusta $y(6-y)=x^{3}-x$ $x=3v-1$ [ selventää ] elliptisten funktioiden teoriassa, jotka puolestaan liittyvät läheisesti elliptisiin integraaleihin . Siten historiallisesti termi "ellipsikäyrä" tulee termistä "elliptinen integraali" [3] .

Kanoninen muoto

Jos kentän ominaisuus ei ole 2 tai 3 (joka sisältää nollaominaisuuden kentät, kuten rationaalilukujen , reaalilukujen ja kompleksilukujen kentät ), yleinen elliptisen käyrän yhtälö pelkistetään kanoniseen muotoon koordinaattien muutoksella $K$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

y^2 = x^3 + ax + b,

kutsutaan Weierstrassin normaalimuodoksi .

Jos kentän ominaisuus on yhtä suuri kuin 3, käyrän yleinen yhtälö voidaan vähentää johonkin seuraavista kahdesta muodosta: $K$

$y^{2}=x^{3}+ax^{2}+b\quad$ ( ei-supersingular-käyrä );
$y^{2}=x^{3}+ax+b\quad$ (yliyksikkökäyrä).

Lopuksi, jos kentän ominaisuus on 2, käyrän yleinen yhtälö voidaan pelkistää johonkin seuraavista kahdesta muodosta [4] [5] : $K$

$y^{2}+xy=x^{3}+ax^{2}+b\quad$ (ei supersingulaarinen käyrä);
$y^{2}+cy=x^{3}+ax+b\quad$ (yliyksikkökäyrä).

Kaikissa näissä tapauksissa kertoimet ja (tai , ja ) ovat kentän elementtejä . $a$ $b$ $a$ $b$ $c$ $K$

Elliptiset käyrät reaalilukujen yli

Elliptisen käyrän muodollinen määritelmä vaatii jonkin verran tietoa algebrallisesta geometriasta , mutta joitain reaalilukujen elliptisten käyrien ominaisuuksia voidaan kuvata käyttämällä vain lukion algebran ja geometrian tietämystä.

Koska reaalilukukentän ominaisuus on 0, ei 2 tai 3, niin elliptinen käyrä on tasokäyrä , joka määritellään muodon yhtälöllä:

y^2 = x^3 + ax + b,

missä ja ovat todellisia lukuja. Tällaisia yhtälöitä kutsutaan Weierstrassin yhtälöiksi . $a$ $b$

Elliptisen käyrän määritelmä edellyttää myös, että käyrällä ei ole yksittäisiä pisteitä . Geometrisesti tämä tarkoittaa, että kaaviossa ei saa olla kärkeä ja itseleikkauksia. Algebrallisesti riittää, kun tarkistetaan, että diskriminantti

\Delta =-16(4a^{3}+27b^{2})

ei ole nolla [6] .

Jos käyrällä ei ole singulaarisia pisteitä, sen kaaviossa on kaksi yhdistettyä komponenttia , jos diskriminantti on positiivinen, ja yksi, jos se on negatiivinen. Esimerkiksi yllä olevissa kaavioissa ensimmäisessä tapauksessa diskriminantti on 64 ja toisessa -368.

Ryhmälaki

Lisäämällä "piste äärettömyyteen" saadaan projektiivinen versio tästä käyrästä [7] . Jos ja ovat kaksi pistettä käyrällä, niin on mahdollista kuvata yksiselitteisesti kolmas piste - tämän käyrän leikkauspiste ja läpi vedetyn viivan . Jos suora on pisteen käyrän tangentti, tämä piste lasketaan kahdesti. Jos suora on yhdensuuntainen y-akselin kanssa, kolmas piste on piste äärettömässä. $P$ $K$ $P$ $K$

Siten on mahdollista ottaa käyttöön ryhmäoperaatio "+" käyrälle, jolla on seuraavat ominaisuudet: piste äärettömässä (merkitty symbolilla ) on ryhmän neutraali elementti, ja jos suora leikkaa annetun käyrän pisteissä , ja , sitten ryhmässä. Pisteiden summaa kutsutaan pisteeksi , joka on symmetrinen akselin ympärillä olevan pisteen kanssa . Voidaan osoittaa, että näin esitetyn operaation suhteen käyrällä olevat pisteet ja piste muodostavat Abelin ryhmän ; erityisesti "+"-operaation assosiatiivisuusominaisuus voidaan todistaa käyttämällä 9 pisteen lausetta kuutiokäyrällä ( kuutiolla) [8] . $O$ $P$ $K$ $R'$ $P+Q+R'=O$ $P$ $K$ $R=P+Q$ $R'$ $Härkä$ $O$

Tämä ryhmä voidaan kuvata myös algebrallisesti. Annetaan käyrä kentän yli (jonka ominaisuus ei ole 2 eikä 3) ja pisteet ja käyrällä; oletetaan että . Anna ; koska se on kenttä, se on tiukasti määritelty. Sitten voimme määritellä seuraavasti: $y^{2}=x^{3}+ax+b$ $K$ $P=(x_{P},y_{P})$ $Q=(x_{Q},y_{Q})$ ${\displaystyle x_{P}\neq x_{Q))$ $s={\tfrac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}$ $K$ $s$ $R=P+Q=(x_{R},y_{R})$

x_R = s^2 - x_P - x_Q,

y_{R}=-y_{P}+s(x_{P}-x_{R}).

Jos , niin vaihtoehtoja on kaksi. Jos , niin summa määritellään 0; siten paluupiste mihin tahansa käyrän pisteeseen voidaan löytää heijastamalla sitä akselin ympäri . Jos , niin määritellään seuraavasti: $x_{P}=x_{Q}$ $y_{P}=-y_{Q}$ $Härkä$ $y_{P}=y_{Q}\neq 0$ $R=P+P=2P=(x_{R},y_{R})$

s={\frac {3x_{P}^{2}+a}{2y_{P}}},

x_R = s^2 - 2x_P,

y_{R}=-y_{P}+s(x_{P}-x_{R}).

Jos , niin . $y_{P}=y_{Q}=0$ $P+P=O$

Käänteinen elementti pisteeseen , joka on merkitty ja siten, että edellä tarkastelussa ryhmässä määritellään seuraavasti [9] : $P$ $-P$ $P+(-P)=0$

Jos pisteen koordinaatti ei ole yhtä suuri kuin , niin . $y_{P}$ $P=(x_{P},y_{P})$ $0$ $-P=(x_{P},-y_{P})$
Jos , niin . $y_{P}=0$ $-P=P=(x_{P},y_{P})$
Jos on piste äärettömässä, niin ja . $P=O$ $-P=O$

Piste , jossa on kokonaisluku, on määritelty (for ) muodossa . Jos , niin on käänteinen elementti . Jos , niin . Esitetään esimerkiksi, kuinka piste löydetään : se esitetään muodossa , ja piste löydetään kaavalla [10] . $Q = nP$ $n$ $n>0$ $Q=\alleviivausmerkki {P+P\pisteet +P} _{n}$ $n<0$ $K$ $|n|P$ $n = 0$ $Q=0\cdot P=O$ $Q = 4P$ $4P=2P+2P$ $2P$ $2P=P+P$

Elliptiset käyrät kompleksilukujen kentän päällä

Kompleksilukujen yli määritetyt elliptiset käyrät vastaavat toruksen upotuksia kompleksiseen projektiivitasoon . Toruksen pisteet muodostavat myös ryhmän, ja elliptisen käyrän pisteiden ja toruksen pisteiden välinen vastaavuus on ryhmäisomorfismi .

Elliptisten käyrien määritelmä toruksen upotuksina kompleksisessa projektitiivisessa tasossa seuraa luonnollisesti yhdestä Weierstrassin elliptisten funktioiden erikoisesta ominaisuudesta , jonka mukaan ne ja niiden ensimmäiset derivaatat liittyvät toisiinsa kaavalla

\wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}.

missä ja ovat vakiot; on Weierstrassin elliptinen funktio ja on sen johdannainen. Weierstrassin funktiot ovat kaksinkertaisesti jaksollisia, eli ne ovat jaksollisia hilan suhteen , ja siksi ne on määritelty toruksessa . Tämä torus voidaan upottaa kompleksiseen projektiotasoon kartoituksella $g_{2}$ $g_{3}$ $\wp (z)$ $\wp '(z)$ $\lambda$ $T=\mathbb {C} /\Lambda$

z\mapsto {\bigl (}1:\wp (z):\wp '(z){\bigr )}.

Tämä kartoitus on Riemannin pintojen isomorfismi , eli topologisesti annettua elliptistä käyrää voidaan pitää toruksena. Jos hila on yhdistetty hilaan kertomalla nollasta poikkeavalla kompleksiluvulla , vastaavat käyrät ovat isomorfisia. Elliptisen käyrän isomorfismiluokka määräytyy yksiselitteisesti sen j-invariantilla . $\lambda$ $c\Lambda$ $c$

Isomorfismiluokkia voidaan tarkastella yksinkertaisemmalla tavalla. Vakiot ja , joita kutsutaan modulaarisiksi invarianteiksi , määrää yksiselitteisesti hila eli toruksen rakenne. Toisaalta elliptisen käyrän yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $g_{2}$ $g_{3}$

y^{2}=x(x-1)(x-\lambda ).

Sen voi osoittaa

g_{2}={\frac {4^{1/3}}{3}}(\lambda ^{2}-\lambda +1)

g_{3}={\frac {1}{27}}(\lambda +1)(2\lambda ^{2}-5\lambda +2),

joten modulaarinen diskriminantti on

\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}.

Sitä kutsutaan joskus tässä modulaariseksi lambda-funktioksi [11] . $\lambda$

Toruksen esittäminen helpottaa myös elliptisen käyrän vääntöpisteiden ymmärtämistä: jos hilan Λ generoivat perusjaksot ja , niin -torsiopisteet ovat pisteiden ekvivalenssiluokkia. $\omega_{1}$ $\omega _{2}$ $n$

{\frac {a}{n}}\omega _{1}+{\frac {b}{n}}\omega _{2},

missä ja ovat kokonaislukuja alkaen - . $a$ $b$ $0$ $n-1$

Jokaisella kompleksilukujen yli olevalla elliptisellä käyrällä on yhdeksän käännepistettä . Jokaisella kahden käännepisteen kautta kulkevalla viivalla on kolmas käännepiste; Näin muodostetut 9 pistettä ja 12 viivaa muodostavat Hessenin konfiguraation .

Elliptiset käyrät rationaalisten lukujen kentän yli

Jos elliptisen käyräyhtälön kertoimet ovat rationaalisia, voimme tarkastella tällaisen käyrän rationaalisten pisteiden joukkoa (mukaan lukien ). Tämä joukko muodostaa aliryhmän käyrän todellisten pisteiden ryhmästä (mukaan lukien ), jolla on sama ryhmälaki pisteiden lisäämiseksi käyrään. Tämä voidaan osoittaa seuraavasti: harkitse algebrallista kaavaa kahden pisteen summan koordinaatin saamiseksi käyrällä . Jos nämä pisteet ja käyrän yhtälön kertoimet ovat rationaalisia, niin pisteen koordinaatit ovat myös rationaalisia, koska ja ovat rationaalisia funktioita pisteiden koordinaattien käyrän kertoimista ja [12] . $E$ $O$ $O$ $E$ $P$ $K$ $E$ $R=P+Q$ $x_{R}$ $y_{Q}$ $E$ $P$ $K$

Käyrän pisteen järjestys on pienin luonnollinen luku siten, että . $P$ $E$ $k$ $kP=O$

Mordellin lause pätee rationaalisten lukujen kentän yläpuolella oleville elliptisille käyrille : elliptisellä käyrällä on niin äärellinen joukko äärettömän järjestyksen rationaalisia pisteitä, että mikä tahansa elliptisen käyrän piste voidaan esittää $E$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots ,P_{n))$

P=a_{1}P_{1}+a_{2}P_{2}+\pisteet +a_{n}P_{n}+Q,

missä ovat pisteelle yksiselitteisesti määritellyt kokonaisluvut ja on vääntöpiste, joka on äärellisen järjestyksen piste [13] . Toisin sanoen lause sanoo, että jos kenttä on rationaalilukujen kenttä , niin ryhmä -rationaalisia pisteitä generoidaan äärellisesti . Tämä tarkoittaa, että ryhmä voidaan esittää vapaan Abelin ryhmän ja äärellisen vääntöalaryhmän suorana summana [14] . ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n))$ $P$ $K$ $K$ $K$

Elliptisen käyrän arvo on Mordellin lauseen äärettömän kertaluvun rationaalisten pisteiden vähimmäismäärä. Ei ole olemassa yleistä algoritmia vapaan alaryhmän arvon ja vastaavasti elliptisen käyrän arvon laskemiseksi . Kaava arvon laskemiseksi on annettu Birch-Swinnerton-Dyer -hypoteesissa . $E$

Vuodelle 2021 elliptistä käyrää, jolla on suurin tarkasti tunnettu arvo, kuvataan seuraavalla yhtälöllä:

y^{2}+xy+y=x^{3}-x^{2}+244\,537\,673\,336\,319\,593\,869\,425\,922 \,560\,705\,080\,346\,187\,029\,821\,884\,727\,296\,x+{}

{}+961\,710\,182\,053\,183\,065\,594\,960\,663\,427\,254\,473\,101\,251\,575\ ,779\,322\,143\,245\,281\,237\,214\,744\,033\,906\,994\,970\,624.

Hänen sijoitusnsa on 20, Noam Elkis ja Zev Clugsburn löysivät hänet vuonna 2020 [15] . Tietoja seuraavasta käyrästä, jonka Elkis löysi vuonna 2006 ja kuvaa yhtälö

y^{2}+xy+y=x^{3}-x^{2}+20\,067\,762\,415\,575\,526\,585\,033\,208 \,209\,338\,542\,750\,930\,230\,312\,178\,956\,502\,x+{}

{}+34\,481\,611\,795\,030\,556\,467\,032\,985\,690\,390\,720\,374\,855\,944\ ,359\,319\,180\,361\,266\,008\,296\,291\,939\,448\,732\,243\,429,

sen arvon tiedetään olevan vähintään 28, mutta tämän käyrän tarkkaa arvoa ei tunneta [16] . Vuonna 2016 julkaistiin todiste siitä, että tämän käyrän sijoitus on tasan 28, jos yleistetty Riemannnin hypoteesi pitää paikkansa [17] .

Elliptiset käyrät äärellisten kenttien yli

Elliptinen käyrä voidaan määrittää äärellisen kentän yli , jossa , a on alkuluku. $E$ $\mathbb {F} _{q}$ $q=p^{r}$ $s$

Elliptisen käyrän pisteiden tarkkaa lukumäärää kentän päällä on vaikea laskea, mutta Hassen elliptisen käyrän lause antaa seuraavan arvion [18] : $E$ $\mathbb {F} _{q}$

{\big |}\#E(\mathbb {F} _{q})-q-1{\big |}\leqslant 2{\sqrt {q)).

Tämä tosiasia voidaan tulkita ja todistaa yleisen teorian avulla; katso Paikallinen zeta-funktio , Etale cohomology .

Tietyn käyrän pisteiden lukumäärä voidaan laskea Schuf-algoritmilla .

Sovellukset

Elliptisiä käyriä äärellisten kenttien yli käytetään joissakin kryptografisissa sovelluksissa tekijöihin jakamiseen ja primaaliteettitestaukseen . Yleensä näiden sovellusten pääajatuksena on, että tietyille äärellisille ryhmille käytetty tunnettu algoritmi kirjoitetaan uudelleen käyttämään elliptisten käyrien rationaalisten pisteiden ryhmiä.

Lukuteoriassa elliptisiä käyriä käytti erityisesti Andrew John Wiles ( Richard Taylorin kanssa ) todistaessaan Fermatin viimeisen lauseen .

Salaustekniikassa ne muodostavat itsenäisen elliptisen kryptografian osan , joka on omistettu elliptisiin käyriin perustuvien kryptojärjestelmien tutkimiseen. Erityisesti venäläiset standardit GOST R 34.10-2001 ja sen seuraaja GOST R 34.10-2012 perustuvat elliptisiin käyriin, jotka kuvaavat algoritmeja sähköisen digitaalisen allekirjoituksen luomiseksi ja tarkistamiseksi .

Muistiinpanot

↑ Silverman, 2009 , s. 59.
↑ Koblitz, 2001 , s. 188.
↑ Adrian Rice, Ezra Brown. Miksi ellipsit eivät ole elliptisiä käyriä // Mathematics Magazine . - 2012. - Vol. 85, nro. 3 . - s. 163-176.
↑ Silverman, 2009 , s. 42-43,409-410.
↑ P. P. Urbanovich. Tietojen suojaaminen kryptografialla, steganografialla ja hämärtymismenetelmillä . - Minsk: BSTU, 2016. - S. 81. - 220 s. - ISBN 978-985-530-562-1 .
↑ Silverman, 2009 , s. 42-43.
↑ Koblitz, 2001 , s. 192.
↑ Ostryk, 2001 , s. 21-24.
↑ Koblitz, 2001 , s. 188-200.
↑ Ostryk, 2001 , s. 24.
↑ Koblitz, 2000 , s. 33-37.
↑ Silverman, 2009 , s. kaksikymmentä.
↑ Ostryk, 2001 , s. 26.
↑ Koblitz, 2001 , s. 195.
↑ Dujella, Andrew. Elliptisten käyrien historia ennätyksiä . Andrej Dujellan kotisivu. Haettu: 1. joulukuuta 2021.
↑ Dujella, Andrew. Korkealuokkaisten elliptisten käyrien rakentaminen ja niihin liittyvät diofantiiniongelmat . 7th Symposium on Algebra and Computation (AC 2007). 2007.
↑ Klagsbrun, Zev, Travis Sherman ja James Weigandt. Elkies-käyrä on sijalla 28 vain GRH:n mukaan . arXiv preprint arXiv:1606.07178 (2016).
↑ Silverman, 2009 , s. 137-138.

Kirjallisuus

Clemens, G. Mosaiikki kompleksisten käyrien teoriasta. - M.: Mir, 1984.
Koblitz N. Numeroteorian ja kryptografian kurssi = A Course in Number Theory and Cryptography. - M . : Tieteellinen kustantaja "TVP", 2001. - S. 188-200. — 254 s. — ISBN 5-85484-014-6 .
Ostrik VV, Tsfasman MA Algebrallinen geometria ja lukuteoria: Rational and Elliptic Curves . - M .: MTsNMO , 2001. - S. 48. - ( Kirjasto "Mathematical Education" ). — ISBN 5-900916-71-5 .
Koblitz N. Johdatus elliptisiin käyriin ja modulaarisiin muotoihin. - Novokuznetsk: IO NFMI, 2000. - S. 33-37. - 312 s. - ISBN 5-8032-3325-0 .
Pituus S. Elliptiset funktiot = Elliptiset funktiot. - Novokuznetsk: IO NFMI, 2000. - S. 312. - ISBN 5-8032-3326-9 .
Joseph H. Silverman. Elliptisten käyrien aritmetiikka . - N. Y .: Springer, 2009. - P. 42 -43,59,137-138. — 408 s. — ISBN 978-0-387-09493-9 .
Urbanovich, P. P. Tietosuojaus kryptografialla, steganografialla ja hämärtymismenetelmillä . - Minsk: BSTU, 2016. - S. 81. - 220 s. - ISBN 978-985-530-562-1 .

Linkit

14H52 elliptiset käyrät . Matemaattinen atlas. Käyttöpäivä: 2. tammikuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 23. helmikuuta 2003.
Weisstein, Eric W. Elliptiset käyrät (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Nikolenko S. Elliptinen kryptografia // Computerra . - 1. syyskuuta 2006.
Solovjov Yu. P. Elliptisten käyrien rationaaliset pisteet // Soros Educational Journal . - 1997. - Nro 10 . - S. 138-143 .

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
muu	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

muu

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
muu	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto