Käyrän yksittäinen piste

Käyrän singulaaripiste on piste, jonka läheisyydessä ei ole tasaista parametrointia. Tarkka määritelmä riippuu tutkittavan käyrän tyypistä.

Algebralliset käyrät tasossa

Algebrallinen käyrä tasossa voidaan määritellä joukoksi pisteitä, jotka täyttävät muotoa olevan yhtälön , jossa on polynomifunktio : $\left(x,y\right)$ $f\left(x,y\right)=0$ $f\left(x,y\right)$ $f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$

f=a+b_{1}x+b_{2}y+c_{1}x^{2}+2c_{2}xy+c_{3}y^{2}+\dots

Jos origo kuuluu käyrään, niin . Jos , niin implisiittisen funktion lause takaa sileän funktion olemassaolon siten, että käyrä saa muodon lähellä origoa. Vastaavasti, jos , niin on olemassa funktio , jolla käyrä täyttää yhtälön alkuperän läheisyydessä. Molemmissa tapauksissa on tasainen kartoitus , joka määrittää käyrän origon ympäristössä. Huomaa, että koordinaattien origon läheisyydessä $\left(0,0\right)$ $a = 0$ $b_{2}\not =0$ $g$ $y=g\left(x\right)$ $b_{1}\not=0$ $h$ $x=h\left(y\right)$ $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

b_{1}={\partial f \over \partial x},\,b_{2}={\osittainen f \over \partial y}.

Käyrän singulaaripisteet ovat niitä käyrän pisteitä, joissa molemmat derivaatat katoavat:

f(x,y)={\osittainen f \over \partial x}={\osittainen f \over \partial y}=0.

Tavalliset pisteet

Anna käyrän kulkea origon läpi. Laittamalla se voidaan esittää muodossa $y=mx$ $f$

f=(b_{1}+b_{2}m)x+(c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2})x^{2}+\dots

Jos , niin yhtälön monikertaisuuden ratkaisu on 1 pisteessä ja origo on käyrän yksikosketuspiste suoran kanssa . Jos , sitten on ratkaisu monikertaisuus 2 tai suurempi pisteessä ja viiva on tangentti käyrälle. Tässä tapauksessa, jos , käyrällä on kaksoiskosketus linjaan . Jos , ja kerroin at ei ole nolla, niin origo on käyrän käännepiste . Tätä päättelyä voidaan soveltaa mihin tahansa käyrän pisteeseen siirtämällä origo tiettyyn pisteeseen. [yksi] $b_{1}+b_{2}m\not =0$ $f = 0$ $x=0$ $y=mx$ $b_{1}+b_{2}m=0$ $f = 0$ $x=0$ $y=mx$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}\not =0$ $y=mx$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $x^{3}$

Kaksoispisteet

Jos yllä olevassa yhtälössä ja , mutta vähintään yksi arvoista tai ei ole yhtä suuri kuin nolla, niin origoa kutsutaan käyrän kaksoispisteeksi. Laita uudelleen , niin se ottaa muodon $b_{1}=0$ $b_{2}=0$ $c_{1}$ $c_{2}$ $c_{3}$ $y=mx$ $f$

f=(c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2})x^{2}+(d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m ^{2}+d_{4}m^{3})x^{3}+\pisteet .

Kaksoispisteet voidaan luokitella yhtälön juurilla . $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$

Itseleikkauspisteet

Jos yhtälössä on kaksi todellista ratkaisua , eli jos , niin origoa kutsutaan itseleikkauspisteeksi . Käyrällä on tässä tapauksessa kaksi erilaista tangenttia, jotka vastaavat yhtälön kahta ratkaisua . Funktiolla on tässä tapauksessa satulapiste origossa. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $m$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}>0$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $f$

Eristetyt pisteet

Jos yhtälöllä ei ole todellisia ratkaisuja kohdassa , eli jos , niin origoa kutsutaan eristetyksi pisteeksi . Reaalitasolla koordinaattien origo eristetään käyrästä, mutta kompleksitasolla koordinaattien origoa ei eristetä ja sillä on kaksi imaginaarista tangenttia, jotka vastaavat yhtälön kahta imaginaarista ratkaisua . Funktiolla on tässä tapauksessa paikallinen ääriarvo origossa. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $m$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}<0$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $f$

Casps

Jos yhtälössä on yksi reaaliratkaisu moninkertaisuudessa 2, eli jos , niin origoa kutsutaan cusp tai cusp . Tässä tapauksessa käyrä muuttaa suuntaa singulaaripisteessä muodostaen kärjen. Origon käyrällä on yksi tangentti, joka voidaan tulkita kahdeksi yhteneväksi tangentiksi. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $m$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}=0$

Lisäluokitus

Termiä solmu ( englanniksi node ) käytetään yleisnimenä yksittäisille piseille ja itseleikkauspisteille. Käyrän solmujen lukumäärä ja kärkien lukumäärä ovat kaksi invarianttia, joita käytetään Plückerin kaavoissa .

Jos yksi yhtälön ratkaisuista on myös yhtälön ratkaisu , käyrän vastaavalla haaralla on käänne origossa. Tässä tapauksessa koordinaattien origoa kutsutaan itsetangenttipisteeksi . Jos molemmilla haaroilla on tämä ominaisuus, niin on jakaja , ja alkuperää kutsutaan biflektoidiseksi pisteeksi (kaksoiskosketuspiste). [2] $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3}=0$ ${\displaystyle c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2))$ ${\displaystyle d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3))$

Useita pisteitä

Yleisessä tapauksessa, kun kaikki termit, joiden aste on pienempi kuin, ovat yhtä suuria kuin nolla, ja edellyttäen, että vähintään yksi asteinen termi ei ole yhtä suuri kuin nolla, sanotaan, että käyrällä on monikertainen järjestyspiste k . Tässä tapauksessa käyrällä on tangentit origossa, mutta jotkut niistä voivat olla kuvitteellisia tai osua yhteen. [3] $k$ $k$ $k$

Parametriset käyrät

Parametrinen käyrä R2 : ssa määritellään funktion g kuvaksi : R → R2 , g ( t ) = ( g1( t ) , g2 ( t ) ) . Tällaisen käyrän singulaaripisteet ovat pisteitä, joissa

{dg_{1} \over dt}={dg_{2} \over dt}=0.

Useita käyriä voidaan määrittää molemmissa näkymissä, mutta nämä kaksi tehtävää eivät aina täsmää. Esimerkiksi kärki löytyy sekä algebrallisesta käyrästä x 3 − y 2 = 0 että parametrisesta käyrästä g ( t ) = ( t 2 , t 3 ). Molemmat käyrän määritelmät antavat origossa yksikön pisteen. Kuitenkin käyrän y 2 − x 3 − x 2 = 0 itseleikkauspiste origossa on singulaarinen algebraiselle käyrälle, mutta kun g ( t ) = ( t 2 −1, t ( t ) 2 −1)) on parametrisesti määritelty, pariderivaatat g ′( t ) eivät koskaan katoa, joten piste ei ole singulaarinen yllä olevassa merkityksessä.

Parametreja valittaessa on oltava varovainen. Esimerkiksi suora y = 0 voidaan määritellä parametrisesti muotoon g ( t ) = ( t 3 , 0) ja sillä on singulaaripiste origossa. Jos se kuitenkin parametroidaan g ( t ) = ( t , 0 ), sillä ei ole yksittäisiä pisteitä. Siten on teknisesti oikeampaa puhua sileän kartoituksen singulaarisista pisteistä kuin käyrän yksittäisistä pisteistä.

Yllä olevat määritelmät voidaan laajentaa implisiittisiin käyriin , jotka voidaan määritellä mielivaltaisen sileän funktion nollien f −1 (0) joukoksi . Määritelmät voidaan laajentaa myös käyriin korkeammissa ulottuvuuksissa.

Hassler Whitneyn lauseen mukaan [4] [5] mikä tahansa suljettu joukko Rn : ssä on joukko ratkaisuja f −1 (0) jollekin sileälle funktiolle f : R n → R . Siksi mikä tahansa parametrinen käyrä voidaan määritellä implisiittiseksi käyräksi.

Yksittäisten pisteiden tyypit

Esimerkkejä erityyppisistä yksittäisistä pisteistä:

Eristetty piste : x 2 + y 2 \u003d 0,
Kahden suoran leikkauspiste : x 2 − y 2 = 0,
Casp ( cusp ): x 3 − y 2 = 0,
Nokan muotoinen kärki: x 5 − y 2 = 0.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Hiltonin luku II § 1
↑ Hiltonin luku II § 2
↑ Hiltonin luku II § 3
↑ Brooker ja Larden. Erilaiset bakteerit ja katastrofit. - London Mathematical Society. Luentomuistiinpanot 17. Cambridge. – 1975.
↑ Bruce ja Giblin, Käyrät ja singulariteetit , (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9 , ISBN 0-521-42999-4 (nidottu)

Kirjallisuus

Harold Hilton. Tasoalgebralliset käyrät . – Oxford, 1920.