Katastrofi teoria

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 12. heinäkuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 18 muokkausta .

Katastrofiteoria on matematiikan haara , joka sisältää differentiaaliyhtälöiden ( dynaamisten järjestelmien ) bifurkaatioiden teorian ja tasaisten kartoitusten singulaarisuusteorian . Katastrofiteoria on modernin matematiikan haara, joka on jatkokehitys stabiilisuus- ja bifurkaatioteorialle.

Termit "katastrofi" ja "katastrofiteoria" otettiin käyttöön Rene Thom ja Christopher Zieman 1960-luvun lopulla ja 1970-luvun alussa ("katastrofi" tarkoittaa tässä yhteydessä jyrkkää laadullista muutosta esineessä ja tasaista kvantitatiivista muutosta parametreissa, joissa se riippuu) [1] [2] .

Katastrofiteoria on löytänyt lukuisia sovelluksia soveltavan matematiikan, fysiikan sekä taloustieteen ja valtiotieteen eri aloilla .

Teknisissä yliopistoissa opiskellaan vakauden teoriaa, joka on katastrofiteorian perusta. Stabiilisuusteorian menetelmiä käytetään automaattisen ohjauksen teoriassa, dynaamisten järjestelmien mallintamisessa, sähkötekniikassa, biologiassa ja kognitiivisissa tieteissä.

Historia

Ensimmäiset katastrofiteoriaan liittyvät perustulokset dynaamisten järjestelmien alalla ovat Henri Poincaren ( normaalimuotojen menetelmä differentiaaliyhtälöiden teoriassa) ja Alexander Andronov Sr :n (dynaamisten järjestelmien bifurkaatiot). Tasaisten kartoitusten singulariteettiteorian perusta loi ensisijaisesti amerikkalaisen topologin Hassler Whitneyn töissä 1940- ja 1950-luvuilla, joita edelsi Morsen lemma funktion normaalimuodosta ei-degeneroituneen kriittisen pisteen naapurustossa.

1960-luvun lopulla Rene Thom ryhtyi kehittämään tätä suuntaa . Whitneyn ja Thomin ideat saavuttivat kuitenkin suosiota useiden 1970-luvun Ziemanin julkaisujen ansiosta. Zieman edisti aktiivisesti katastrofiteoriaa, vertasi sen merkitystä laskennan keksimiseen ja puhui "matematiikan vallankumouksesta". Katastrofiteorian nopea kehitys 1970-1990- luvuilla liittyy Michael Boardmanin , Egbert Brieskornin , James JW Brucen , John Matherin , Bernard Malgrangen ( MalgrangeBernard.fr ) , Rene Thomasin, Terry Wallin , Christopher Zimanin ja erityisesti Vladimirin toimintaan. Arnold ja hänen oppilaansa ( Ilja Bogajevski , Aleksanteri Vartšenko , Viktor Vasiliev , Aleksandr Givental , Viktor Gorjunov , Sabir Hussein-Zade , Vladimir Zakaljukin , Maksim Kazarjan , Vjatšeslav Sedykh ).

Seven Elementary Disasters by Tom

Katastrofiteoria analysoi potentiaalisen funktion kriittisiä pisteitä (harjoituksia), eli pisteitä, joissa funktion ensimmäinen derivaatta ei ole yhtä suuri kuin nolla, vaan myös korkeamman kertaluvun derivaatat ovat yhtä suuria kuin nolla. Tällaisten pisteiden kehityksen dynamiikkaa voidaan tutkia laajentamalla Taylor-sarjan potentiaalifunktiota pienillä muutoksilla syöttöparametreissa. Jos kasvupisteet eivät muodosta vain satunnaista kuviota, vaan muodostavat rakenteellisen stabiiliuden alueen, nämä pisteet ovat organisoivia keskuksia erityisille geometrisille rakenteille, joilla on alhainen katastrofiaste ja korkea katastrofiaste faasiavaruuden ympäröivillä alueilla. Jos potentiaalinen funktio riippuu kolmesta tai harvemmasta aktiivisesta muuttujasta ja viidestä tai vähemmän aktiivisesta parametrista, niin tässä tapauksessa on vain seitsemän yleistettyä rakennetta kuvatuista bifurkaatiogeometrioista, joille voidaan osoittaa Taylor-sarjan laajennusten vakiomuotoja, joihin harjoitukset voidaan laajentaa käyttämällä diffeomorfismia (sileä muunnos, jonka kääntyminen on myös tasaista). Nykyään nämä seitsemän peruskatastrofityyppiä tunnetaan René Thomin niille antamilla nimillä.

Mahdolliset funktiot yhdellä aktiivisella muuttujalla

Taita katastrofi

Ääripään vakaat ja epävakaat osat katoavat laskostyyppisessä haarautumisessa:

V = x^3 + ax

Parametrin negatiivisille arvoille potentiaalifunktiolla on kaksi ääripäätä - yksi vakaa (stabiili tasapaino) ja yksi epävakaa (epävakaa tasapaino). Jos parametri muuttuu hitaasti, järjestelmä voi olla vakaassa minimipisteessä. Mutta jos , vakaat ja epävakaat ääripäät kohtaavat ja tuhoavat. Tämä on haarautumispiste. Sille ei ole vakaata ratkaisua. $a$ $a$ $a = 0$ $a>0$

Jos fyysinen järjestelmä kulkee laskostyyppisen bifurkaatiopisteen läpi ja siksi parametri kulkee nollan kautta, ratkaisun stabiilius kohdassa menetetään ja järjestelmä voi yhtäkkiä siirtyä uuteen, hyvin erilaiseen tilaan kuin aikaisempi. Tätä bifurkaatioparametrin arvoa kutsutaan joskus "kiinnityspisteeksi". $a$ $a<0$ $a$

Esimerkkikoodi Pythonissa

tuontiaika tuonti matplotlib.pyplot as plt tuonti matplotlib.animation animaationa tuonti numpy as np from matplotlib tuontityyli _ _ _ tyyliin . käytä ( 'ggplot' ) fig = plt . kuva () ax1 = kuva . add_subplot ( 1 , 1 , 1 ) arvot = [ - 6.0 , - 5.0 , - 4.0 , - 3.0 , - 2.0 , - 1.0 , 0.0 , 1.0 ] pistettä = [[ - 6 , - 3 , [ - 5 ] - 2,5 ], [ - 4 , - 2 ], [ - 3 , - 1,5 ], [ - 2 , - 1,0 ], [ - 1 , - 0,5 ], [ 0 , 0 ], [ 1 , 0,5 ], [ 2 ] , 1.0 ], [ 3 , 1.5 ], [ 4 , 2.0 ], [ 5 , 2.5 ], [ 6 , 3 ]] def calc_fold_data ( x , a ): x3 = np . teho ( x , 3 ) tulos = x3 + ( a * x ) paluutulos _ def animoida ( indeksi ): jos indeksi == len ( arvot ): aika . nukkua ( 3 ) poistu ( ) arvo = arvot [ indeksi ] xar = [ ] yar = [] pisteessä : x = laskettu_kertainen_data ( piste [ 0 ], arvo ) y = laskettu_kertainen_data ( piste [ 1 ] , arvo ) print ( " Y: {} X: {} " . muoto ( x , y )) xar . liittää ( x ) v . liitä ( y ) ax1 . selkeä () plt . title ( "Arvo: {} " . muoto ( arvo )) plt . scatter ( 0 , 0 ) ax1 . tontti ( xar , yar ) ani = animaatio . FuncAnimation ( kuva , animoida , intervalli = 1000 ) plt . näytä ()

Assembly katastrofi

$V = x^4 + ax^2 + bx$

Uudelleenkokoonpanon katastrofikaavio, jossa on käyrät (ruskea, punainen) muuttujalle x , jotka täyttävät parametrien ( a , b ) lausekkeen, käyrät esitetään jatkuvasti muuttuville parametrille b parametrin a eri arvoilla . Piikkilokuksen (sininen alue) ulkopuolella jokaiselle vaiheavaruuden pisteelle ( a , b ) on vain yksi x :n ääriarvo . Kuppien sisällä on kaksi erillistä x :n arvoa, jotka antavat funktion V ( x ) paikalliset minimit kullekin parille ( a , b ). Tässä tapauksessa nämä arvot erotetaan paikallisella maksimiarvolla.

Haarukan bifurkaatio kohdassa a = 0 avaruudessa b = 0. Piikkien muoto vaiheavaruudessa ( a , b ) lähellä katastrofipistettä, joka näyttää konvoluutiohaaroittumiskohdan, joka erottaa alueen, jossa on kaksi stabiilia ratkaisua, ja alueen, jossa on yksi päätös . Pistepisteiden geometria on melko yleinen tutkittaessa mitä tapahtuu konvoluutiohaaroittumille, kun ohjausavaruuteen lisätään uusi parametri b. Parametreja muuttamalla voidaan havaita, että avaruudessa ( a , b ) on pisteistä käyrä (sininen), jolla stabiilisuus menetetään, eli tällä käyrällä stabiili ratkaisu voi yhtäkkiä "hyppää" vaihtoehtoon. arvo (myös vakaa).

Mutta kärkipisteiden geometriassa bifurkaatiokäyrä kääntyy takaisin luoden toisen haaran, jolla tämä toinen ratkaisu jo menettää vakauden ja voi siksi tehdä "hypyn" takaisin alkuperäiseen ratkaisusarjaan. Nostamalla toistuvasti parametrin b arvoa ja sitten pienentämällä sitä, voidaan havaita hystereesi silmukoiden käyttäytymisessä, kun järjestelmä seuraa yhtä ratkaisua, "hyppää" toiseen, seuraa sitä ja "hyppyy" takaisin alkuperäiseen.

Tämä on kuitenkin mahdollista vain alueella parametriavaruudessa, jonka arvo on < 0. Jos parametrin a arvo kasvaa, hystereesisilmukat pienenevät ja pienenevät, kunnes a:n arvo saavuttaa 0:n. Tässä vaiheessa silmukat katoavat ( huippukatastrofi) ja vain yksi vakaa ratkaisu.

Voit myös harkita parametrin a vaihtamista ja pitää b :n arvon muuttumattomana . Symmetrisessä tapauksessa, kun b = 0, voidaan havaita "haarukka"-tyyppinen bifurkaatio parametrin a pienenevän arvon kanssa, yksi stabiili ratkaisu yhtäkkiä halkeaa kahdeksi stabiiliksi ratkaisuksi ja yhdeksi epästabiiliksi. Tällä hetkellä fyysinen järjestelmä siirtyy alueelle a < 0 kärjen kautta ( a = 0, b = 0) (tämä on esimerkki spontaanista symmetrian rikkoutumisesta). Kaukana kärjestä, fysikaalisessa järjestelmässä ei ole äkillisiä muutoksia, koska konvoluutiohaaroittumiskäyrää pitkin kulkiessa tapahtuu, että toinen vaihtoehtoinen ratkaisu tulee saataville.

Yksi mielenkiintoisimmista ehdotuksista kärkitörmäyksen käyttöön on, että tämän tyyppistä törmäystä voidaan käyttää mallintamaan koiran käyttäytymistä, joka saattaa pelästyä tai vihastua vastauksena ulkoiseen ärsykkeeseen. Ehdotuksen mukaan kohtalaisessa altistumisessa ( a > 0) koiran vaste muuttuu asteittain pelosta vihaksi riippuen siitä, kuinka altistus annettiin. Mutta korkeampi altistustaso on stressi, joka vastaa siirtymistä alueelle a < 0. Tässä tapauksessa, jos koira alun perin pelotti, se pysyy peloissaan stimulaation tason noustessa, kunnes se lopulta saavuttaa pisteen paluu, jossa tapahtuu spontaani siirtyminen pahaan tilaan. Tähän tilaan siirtyessään koira pysyy katkerana, vaikka altistuminen sille vähenisi vähitellen.

Toinen esimerkki huippukatastrofin sovelletusta sovelluksesta on mallintaa elektronin käyttäytymistä siirtyessään energiatasolta toiselle, mikä havaitaan usein kemiallisissa ja biologisissa järjestelmissä. Tämä osoittaa, että tarkasteltavan tyypin bifurkaatiot ja kärkipisteiden geometria ovat katastrofiteorian tärkein käytännön osa. Nämä ovat malleja, jotka näkyvät yhä uudelleen fysiikassa, tekniikassa ja matemaattisessa mallintamisessa.

Jäljellä olevat yksinkertaiset katastrofigeometriat ovat erikoistuneempia kuin juuri tarkasteltu, ja siksi niitä esiintyy vain joissakin yksittäisissä tapauksissa.

Dovetail-katastrofi

$V = x^5 + ax^3 + bx^2 + cx$

Ohjaustila tämäntyyppisessä katastrofissa on kolmiulotteinen. Bifurkaatioiden kaskadi faasiavaruudessa koostuu kolmesta "taitteen" tyyppisten haarautumien pinnasta, jotka kohtaavat kahdella haaroittumiskäyrällä, joissa on näppylöitä, jotka lopulta kohtaavat yhdessä pisteessä, joka on "loyhenpyrstö"-tyyppinen bifurkaatio.

Kun parametrien arvot kulkevat "taitto"-tyyppisten haaroitusalueiden pintoja pitkin, yksi minimi- ja yksi maksimi potentiaalisesta funktiosta katoaa. Bifurkaatioiden alueella, jossa on kärki, kaksi minimiä ja yksi maksimi korvataan yhdellä minimillä; niiden taakse "taitteen" tyyppiset haarautumiset katoavat. Swallowtail-pisteessä kaksi minimiä ja kaksi maksimia kohtaavat samassa x -muuttujan arvossa . Arvoilla a > 0 on joko yksi pari (minimi, maksimi) pääskyhännän takana tai haarautumia ei ole ollenkaan. Se riippuu parametrien b ja c arvoista . Kaksi "poimutettua" tyyppiä olevaa bifurkaatiopintaa ja kaksi haarautumisviivaa, joissa on kärkipisteet, kohtaavat kohdassa < 0, ja siksi ne katoavat aivan nielupyrstön kohdasta, jolloin ne korvataan yhdellä "taitteen" tyyppisten haaroittumisten pinnalla. Salvador Dalin uusin maalaus Swallow's Tail on saanut inspiraationsa tämäntyyppisestä katastrofista.

Butterfly-katastrofi

$V = x^6 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx$

Parametrien arvoista riippuen potentiaalisella funktiolla voi olla kolme, kaksi tai yksi paikallinen minimi, ja kaikki minimit on erotettu alueilla, joissa on "taitto" bifurkaatioita. Kohdassa, jolla on runollinen nimi "perhonen", on kolme erilaista tilaa (kolmiulotteinen taso) tällaisia "taite"-tyyppisiä haaroittumisia, kaksi haaroittumispintaa kärkipisteineen ja "loyhenpyrstö"-tyyppinen haarautumiskäyrä. Kaikki nämä bifurkaatiot katoavat yhdessä pisteessä ja muuttuvat yksinkertaiseksi rakenteeksi, jossa on kärki, kun parametrin a arvo tulee positiiviseksi.

Mahdolliset funktiot kahdella aktiivisella muuttujalla

Napakatastrofit ovat esimerkkejä toisen asteen katastrofeista. Niitä voidaan havaita esimerkiksi optiikassa, kun valo heijastuu kolmiulotteisilta pinnoilta. Sellaiset katastrofit itsessään liittyvät läheisesti lähes pallomaisten pintojen geometriaan. René Thom ehdotti, että hyperbolista napakatastrofia pidettäisiin aallon tuhoamisena ja elliptistä napakatastrofia prosessina, jossa luodaan hiusrajaa muistuttavia rakenteita.

Hyperboliset navat

$V = x^3 + y^3 + axy + bx + cy$

Elliptinen napa

$V = x^3/3 - xy^2 + a(x^2 + y^2) + bx + cy$

Parabolic umbilic

$V = yx^2 + y^4 + ax^2 + by^2 + cx + dy$

Katastrofien kirjaaminen ja luokittelu Arnoldin mukaan

V. I. Arnold ehdotti katastrofien luokittelua " ADE-luokittelu " käyttämällä syviä yhteyksiä Lie-ryhmien teoriaan .

A 0 on ei-singulaarinen piste: . $V=x$
1 - paikallinen ääriarvo : vakaa minimi tai epävakaa maksimi . $V = \pm x^2 + ax$
2 - rypistys
A 3 - kokoonpano
A 4 - lohenpyrstö
5 - perhonen
A k on ääretön muotojono yhdestä muuttujasta $V=x^{k+1}+\cdots$
D 4 + - lompakko = hyperbolinen napa
D 4 - - pyramidi = elliptinen napa
D 5 - parabolinen napa
D k on muiden napojen loputon sarja
E 6 - symbolinen navan $V=x^3+y^4+axy^2+bxy+cx+dy$
E 7
E 8

Singulariteettiteoriassa on objekteja, jotka vastaavat useimpia muita yksinkertaisia valheryhmiä.

Katastrofiteorian sovellukset

Tämän matemaattisen analyysin osan luomiseen ja kehittämiseen liittyi joidenkin monimutkaisten ilmiöiden visuaalisen analyysin laajoihin mahdollisuuksiin, erityisesti niihin, joita esiintyy monenlaisten luonnonilmiöiden kuvauksessa ja joissa otetaan huomioon myös epäjatkuvia toimintoja, joita varten matemaattinen laitteisto. analyysi ei sovellu ( sateenkaari , kaustinen , rakenteiden menetysstabiilisuus , värähtelyt ja tuhoutuminen rakennemekaniikassa , käyttäytyminen etologiassa , astrofysiikka , atomihilan bifurkaatioepävakaus , spontaani järjestys biokemiallisissa reaktioissa , populaatiodynamiikka , hydrodynaaminen epävakaus ja turbulenssin esiintyminen , oudon houkuttimen kaoottinen dynamiikka).

Katso myös

Singulariteettien lehti

Muistiinpanot

↑ Tom otti käyttöön termin katastrofi tarkoittamaan laadullista muutosta objektissa, jossa muuttuu tasaisesti parametrit, joista se riippuu. Tämä termi, joka korvasi aiemmin käytetyt termit bifurkaatio , uudelleenjärjestely , metamorfoosi , sai suuren suosion sen jälkeen, kun Zeeman [121] ehdotti nimen Katastrofiteoria yhdistämään singulaarisuusteoria, bifurkaatioteoria ja niiden sovellukset. V. I. Arnold . Katastrofiteoria .
↑ R. Thomasin aloitteesta haaroittumisten sijaan puhutaan "katastrofeista". Näitä sanoja ei pidä ottaa kirjaimellisesti. Annan esimerkkejä, joita todella vakavasti harkittiin "katastrofiteorian" teoksissa: jos elastisen rakenteen vakautta rikotaan, tämä on todennäköisesti katastrofi, mutta jos auringonsäteet, taittuvat vedessä, muodostavat kirkkaita viivoja virran pohjalla, tämä tuskin on kenenkään huolissaan, paitsi ehkä lapset, jotka näkevät sen ensimmäistä kertaa. <...> Jos katastrofi on synonyymi haarautumiselle, voidaan kysyä, kumpi termi on sopivampi. Kuten sanotusta ilmenee, toista tai toista ei tule ottaa kirjaimellisesti. Mutta "katastrofi" on tavallisessa (kirjallisessa ja puhekielessä) sana, jolla on tietty ja lisäksi hyvin tunnevärinen merkitys ja paljon harvemmat ihmiset tietävät sanan "haaroittuminen" alkuperäisestä merkityksestä, ja heillä tuskin on kaikki siihen liittyvät tunteet. Siksi neutraali sana "haaroittuminen" sopii paremmin tieteeseen ja "katastrofi" joukkojulkaisuihin. [D. V. Anosov. Dynaamisten järjestelmien teorian kehityksestä viimeisen neljännesvuosisadan aikana]. Yksi katastrofiteorian päätehtävistä on saada tutkittavan kohteen ns. normaalimuoto (differentiaaliyhtälö tai kartoitus) ”katastrofipisteen” läheisyydessä ja sen perusteella rakennettujen kohteiden luokittelu.

Kirjallisuus

venäjäksi

Arnold V. I. Katastrofiteoria / Rec.: A. V. Chernavsky . - 3. painos, lisäys. — M .: Nauka . Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1990. - 128 s. - 84 000 kappaletta. — ISBN 5-02-014271-9 .
V. I. Arnold . Katastrofien teoria.
V. I. Arnold . Singulariteetit variaatiolaskelmassa.
V. I. Arnold, V. S. Afraimovitš, Yu. S. Iljashenko, L. P. Šilnikov Bifurkaatioiden teoria.
V. I. Arnold, V. A. Vasiliev, V. V. Gorjunov, O. V. Lyashko Erikoisuudet. I. Paikallinen ja globaali teoria.
V. I. Arnold, V. A. Vasiliev, V. V. Gorjunov, O. V. Lyashko Erikoisuudet. II. Luokittelu ja sovellukset.
A. B. Givental . Yksittäiset Lagrangin monistoputket ja niiden Lagrange-kuvaukset.
V. M. Zakalyukin . Etujen uudelleenjärjestelyt, kaustiset parametrit riippuen, kartoitusten monipuolisuus.
Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Differentioituvien kartoitusten singularities - Mikä tahansa painos.
Arnold V. I. Kaustiikan ja aaltorintaman ominaisuudet, - M .: Fazis, 1996.
Brecker T., Lander L. Erilaiset bakteerit ja katastrofit, - Mikä tahansa painos.
Golubitsky M., Guillemin V. Vakaat kartoitukset ja niiden singulariteetit, - M.: Mir, 1977.
Poston T., Stuart I. Katastrofiteoria ja sen sovellukset, - M .: Mir, 1980.
Tom R. Rakennestabiilius ja morfogeneesi, - M .: Logos, 2002.
Brus J., Jiblin P. Käyrät ja singulaariteetit: Geometrinen johdatus singulaarisuuksien teoriaan, - M .: Mir, 1988.
Pavlova N.G., Remizov A.O. Johdatus singulaarisuusteoriaan . - M. : MIPT, 2022. - 181 s. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .

Englanniksi

Arnold, Vladimir Igorevitš. Katastrofiteoria, 3. painos. Berliini: Springer-Verlag, 1992.
Gilmore, Robert. Katastrofiteoria tutkijoille ja insinööreille. New York: Dover, 1993.
Postle, Denis. Katastrofiteoria - Ennusta ja vältä henkilökohtaisia katastrofeja. Fontana Paperbacks 1980. ISBN 0-00-635559-5
Poston, Tim ja Stewart, Ian. Katastrofiteoria ja sen sovellukset. Lontoo, San Francisco, Melbourne: Pitman, 1978
Poston, T. ja Stewart, Ian. Katastrofi: teoria ja sen sovellukset. New York: Dover, 1998. ISBN 0-486-69271-X .
Sanns, Werner. Katastrofiteoria Mathematican kanssa: Geometrinen lähestymistapa. Saksa: DAV, 2000.
Saunders, Peter Timothy. Johdatus katastrofiteoriaan. Cambridge, Englanti: Cambridge University Press, 1980.
Thom, Rene. Rakenteellinen stabiilius ja morfogeneesi: Yleisen malliteorian pääpiirteet. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989. ISBN 0-201-09419-3 .
Thompson, J. Michael T. Epävakautta ja katastrofeja tieteessä ja tekniikassa. New York: Wiley, 1982.
Woodcock, Alexander Edward Richard ja Davis, Monte. katastrofi teoria. New York: E. P. Dutton, 1978.
Zeeman, EC Catastrophe Theory-Selected Papers 1972-1977. Reading, MA: Addison-Wesley, 1977.

Linkit

venäjäksi

D. V. ANOSOV Dynaamisten järjestelmien teorian kehityksestä viimeisen neljännesvuosisadan aikana.

Englanniksi

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Iso venäläinen Britannica (verkossa) Britannica (verkossa) Universalis
Bibliografisissa luetteloissa	NDL : 00576387 NKC : ph195834