Differentiaaliyhtälöiden normaalimuoto

Differentiaaliyhtälöiden normaalimuoto on alkuperäisten yhtälöiden yksinkertaisin ekvivalenttimuoto. Normaalimuoto saadaan tehtävän riippuvien ja riippumattomien muuttujien erityisten korvausten avulla yhtälöiden rakenteen yksinkertaistamiseksi mahdollisimman paljon. Matematiikassa nämä muuttujien muutokset liittyvät Lie-ryhmien infinitesimaalimuunnoksiin . Fysiikassa normaalimuotoon liittyvät asiat heijastui Emmy Noetherin lauseeseen .

Ensimmäistä kertaa ajatuksen normaalin yhtälöiden muodostamisesta muotoili erinomainen ranskalainen tiedemies Henri Poincaré työssään uusista taivaanmekaniikan menetelmistä. Poincaren esittämä pääidea ei ole yrittää kaikin voimin ratkaista alkuperäisiä yhtälöitä, vaan löytää sellainen muuttujien muutos, joka saattaisi yhtälöt mahdollisimman yksinkertaiseen lineaariseen muotoon. Käyttämällä muuttujien käänteistä muutosta voit palauttaa alkuperäisen ratkaisun. Keskeiseen kysymykseen – onko aina olemassa sellainen yksi-yhteen muuttuva muuttujien muutos, joka johtaa lineaarisiin yhtälöihin – vastataan yleensä kieltävästi. Kävi ilmi, että jos järjestelmällä on resonanssi yksittäisessä pisteessä , tämän pisteen läheisyydessä ei vaadita vaihtoa. Normalisointimuunnosten tuloksena saadut yhtälöt saivat lyhyen nimen "normaalimuoto".

Esimerkkejä normaalimuodoista

1. Autonomisen differentiaaliyhtälöjärjestelmän normaalimuoto "ei-singulaarisen" pisteen läheisyydessä (jossa tämän järjestelmän määrittelemä vektorikenttä vaiheavaruudessa on nollasta poikkeava): $(x_{1},\ldots,x_{n})$

${\frac {dx_{1}}{dt}}=1,\ {\frac {dx_{2}}{dt}}=\cdots ={\frac {dx_{n}}{dt}} =0,$

2. "Räjähtävän epävakauden" rappeutuneiden yhtälöiden normaali muoto

${\frac {dx}{dt}}=x^{2}$

on alkuperäinen muoto. Yhtälöt eivät pelkisty lineaariseksi nollan ominaisarvon takia. Jos ominaisarvo on nolla, on aina resonanssia.

3. Lineaaristen oskillaattoriyhtälöiden normaalimuoto

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x=0$

on esitetty lineaaristen yhtälöiden parilla kompleksisille konjugaattimuuttujille

${\frac {dz}{dt}}+iz=0$

${\frac {dz^{*}}{dt}}-iz^{*}=0,$

missä on normaali koordinaatti. $z=x+i{\frac {dx}{dt))$

4. Logistisen yhtälön normaalimuoto , jossa on neliöllinen epälineaarisuus

${\frac {dx}{dt}}=-x+cx^{2}$

on seuraava lineaarinen muoto

${\frac {dy}{dt}}=-y.$

Se, että on olemassa normaali koordinaatti, voidaan varmistaa suoralla korvauksella $y$

$x=y+{\frac {y}{1+cy)),$

joka saadaan käyttämällä asymptoottista proseduuria normalisoivan muunnoksen muodostamiseksi.

5. Vaimennetun epälineaarisen oskillaattorin yhtälöiden normaalimuoto

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\epsilon {\frac {dx}{dt}}+x+f(x)=0$

on olemassa pari lineaarista kompleksista konjugaattiyhtälöä

${\frac {dz}{dt}}-(i{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}-\epsilon )z=0$

${\frac {dz^{*}}{dt}}+(i{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}+\epsilon )z^{*}=0,$

missä on haluttu normaali koordinaatti. Funktio on mielivaltainen potenssisarja suhteessa argumenttiin , joka alkaa laajennuksen neliöllisistä ehdoista. $z$ $f$ $x$

6. Epälineaaristen liikeyhtälöiden normaalimuoto "satulan" läheisyydessä

${\frac {dx_{1}}{dt}}=-x_{1}+h_{1}(x_{1},x_{2});$

${\frac {dx_{2}}{dt}}=x_{2}+h_{1}(x_{1},x_{2}),$

jossa ja ovat mielivaltaisia potenssisarjoja, jotka alkavat muuttujien neliöllisillä termeillä ja , on olemassa pari epälineaarisia yhtälöitä ${\displaystyle h_{1))$ ${\displaystyle h_{2))$ $x_1$ $x_{2}$

${\frac {dy_{1}}{dt}}=-y_{1}+y_{1}f(y_{1}y_{2});$

${\frac {dy_{2}}{dt}}=y_{2}+y_{2}g(y_{1}y_{2}),$

missä ja ovat mielivaltaisia potenssisarjoja yhden argumentin suhteen . Tässä tapauksessa järjestelmää ei voida pelkistää lineaariseen normaalimuotoon resonanssin läsnäolon vuoksi . $f$ $g$ ${\displaystyle y_{1}y_{2))$

7. Yhtälön normaalimuoto, jota ei ratkaista derivaatan suhteen yksinkertaisimman singulaaripisteen (eli pisteen, jonka lähellä yhtälöä ei voida ratkaista derivaatan suhteen yksiselitteisesti) läheisyydessä - ns. Cibrario normaali muoto

${\Bigl (}{\frac {dy}{dx}}{\Bigr )}^{2}=x,$

Kirjallisuus

Arnold V. I. Tavallisten differentiaaliyhtälöiden teorian lisäluvut, - Mikä tahansa painos.
Arnold V. I. Geometriset menetelmät tavallisten differentiaaliyhtälöiden teoriassa, - Mikä tahansa painos.
Arnol'd V. I., Iljashenko Yu. S. Tavalliset differentiaaliyhtälöt, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderni prob. matto. Fundam. suunta, 1985, osa 1.
Arnold V. I., Afraimovich V. S., Ilyashenko Yu. S., Shilnikov L. P. Bifurkaatioiden teoria, - Itogi Nauki ja Tekhniki. Ser. Moderni prob. matto. Fundam. suunta, 1986, osa 5.
Bruno A. D. Differentiaaliyhtälöiden epälineaarisen analyysin paikallinen menetelmä, Nauka, Moskova, 1979.
Bruno A.D. Tehogeometria algebrallisissa ja differentiaaliyhtälöissä, Fizmatlit, Moskova, 1998.
Hartman F. Tavalliset differentiaaliyhtälöt, - Mir, Moskova, 1970.
Iljašenko Yu.S., Yakovenko S. Yu. Paikallisten diffeomorfismien ja vektorikenttien äärimmäisen sileät normaalimuodot, Uspekhi Mat. Nauk, 1991, 46:1 (277).