Singulaaripiste (differentiaaliyhtälöt)
Matematiikassa vektorikentän singulaaripiste on piste, jossa vektorikenttä on yhtä suuri kuin nolla. Vektorikentän singulaaripiste on annetun vektorikentän määrittelemä dynaamisen järjestelmän tasapaino- tai lepopiste: vaiherata, jonka origo on singulaaripisteessä, koostuu täsmälleen tästä singulaaripisteestä ja sitä vastaava integraalikäyrä on aika-akselin suuntainen suora viiva.
Missä tahansa pienessä vaiheavaruuden naapurustossa, jossa ei ole singulaaripisteitä, vektorikenttää voidaan oikaista sopivalla koordinaattien muutoksella - näin ollen järjestelmän käyttäytyminen singulaaripisteiden ulkopuolella on samanlaista ja hyvin yksinkertaista. Päinvastoin, yksittäisen pisteen läheisyydessä järjestelmällä voi olla hyvin monimutkainen dynamiikka. Vektorikenttien singulaaripisteiden ominaisuuksista puhuttaessa tarkoitetaan yleensä vastaavan järjestelmän ominaisuuksia singulaaripisteen pienessä ympäristössä.
Vektorikenttien yksittäispisteet tasossa
Yksinkertaisimmat esimerkit singulaaripisteistä ovat tason lineaaristen vektorikenttien singulaaripisteet. Tasossa olevan vektorikentän käsitteeseen voidaan liittää lineaarinen differentiaaliyhtälöjärjestelmä, jonka muoto on:
,
missä on piste tasossa, on matriisi . Ilmeisesti piste ei-singulaarisen matriisin tapauksessa on tällaisen yhtälön ainoa yksittäinen piste.
Matriisin ominaisarvoista riippuen lineaaristen järjestelmien ei-degeneroituneita yksittäispisteitä on neljää tyyppiä: solmu, satula, fokus, keskipiste.
| Ominaisarvon tyyppi | Ominaisarvot kompleksisessa tasossa |
Yksittäinen pistetyyppi | Vaihereittien tyyppi | Vaihereittien tyyppi |
|---|---|---|---|---|
| Puhtaasti kuvitteellista | Keskusta | ympyrät , ellipsit | ||
| Kompleksi negatiivisen reaaliosan kanssa | kestävä keskittyminen | Logaritmiset spiraalit | ||
| Monimutkainen positiivinen reaaliosa | Epävakaa tarkennus | Logaritmiset spiraalit | ||
| Todella negatiivinen | Vakaa solmu | paraabelit | ||
| Todella positiivista | Epävakaa solmu | paraabelit | ||
| Voimassa erilaisia merkkejä | Satula | hyperbolia |