Poincarén vektorikenttälause

Poincarén vektorikenttälause (tunnetaan myös nimellä Poincarén-Hopf- lause ja indeksilause ) on klassinen lause differentiaalitopologiassa ja dynaamisten järjestelmien teoriassa ; siilin kampauslauseen yleistäminen ja tarkentaminen .

Siitä seuraa erityisesti, että tasaista vektorikenttää ilman singulaaripisteitä ei ole olemassa kaksiulotteisella pallolla, mutta se voi olla olemassa kaksiulotteisella toruksella .

Sanamuoto

Määritetään tasainen vektorikenttä sileälle suljetulle monistolle , jossa on äärellinen määrä eristettyjä singulaaripisteitä . Sitten $M$ $V$ $A_{1},A_{2},\pisteet ,A_{n}$

\sum _{{i=1}}^{{n}}J_{{A_{i}}}(V)=\chi (M),

tässä on pisteen indeksi kenttään nähden ja luku on monisarjan Euler-ominaisuus . $J_{{A_{i}}}(V)$ $A_{i}$ $V$ $\chi (M)$ $M$

Historia

Kaksiulotteisten monistojen tapauksessa lauseen osoitti Poincaré vuonna 1885. Mielivaltaisen mittakaavan monisarjoille tuloksen sai Hopf vuonna 1926 [1] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Samanlaisia lauseita on todistettu vektorikentille, joissa on eristämättömiä singulaaripisteitä, ja monille, joilla on singulaarisuus [2] [3] .

Muistiinpanot

↑ Poincaré todisti tämän lauseen kaksiulotteisen version vuonna 1885. Hopf osoitti täydellisen lauseen vuonna 1926 Brouwerin ja Hadamardin osittaisten tulosten jälkeen . // Milnor J., Wallace A. Differentiaalitopologia. Alkukurssi. M: Mir, 1972 (s. 223).
↑ Jean-Paul Brasselet, José Seade, Tatsuo Suwa . Singular Varietiesin vektorikentät arkistoitu 12. kesäkuuta 2018 Wayback Machinessa . Springer, 2009.
↑ Pavao Mardesic . Singulaaristen hyperpintojen reaalivektorikenttien singulaarisuuksien indeksi Arkistoitu 18. kesäkuuta 2022 Wayback Machinessa . Journal of the Singularities , osa 9 (2014), 111-121.

Kirjallisuus

Milnor J., Wallace A. , Differentiaalinen topologia. Alkukurssi. M: Mir, 1972.
Arnold V.I. , Tavalliset differentiaaliyhtälöt . Mikä tahansa painos.