Thor (pinta)
Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. elokuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .Torus (toroidi) on pyörimispinta, joka saadaan kiertämällä generoivaa ympyrää akselin ympäri, joka on tämän ympyrän tasossa eikä leikkaa sitä [1] .
Yleisemmin sanottuna torus on topologinen tila tai sileä monisto , joka vastaa tällaista pintaa.
Joskus ne eivät vaadi, että pyörimisakseli ei leikkaa generoivaa ympyrää. Tässä tapauksessa, jos pyörimisakseli leikkaa generoivan ympyrän (tai koskettaa sitä), niin torusta kutsutaan suljetuksi , muuten avoimeksi [2] .
Toruksen käsite määritellään myös moniulotteisessa tapauksessa. Torus on esimerkki kommutatiivisesta algebrallisesta ryhmästä ja esimerkki Lie - ryhmästä .
Historia
Muinainen kreikkalainen matemaatikko Archytas otti ensimmäisenä huomioon toroidaalisen pinnan ratkaistessaan kuution kaksinkertaistamisongelmaa . Toinen antiikin kreikkalainen matemaatikko, Perseus , kirjoitti kirjan spiraalilinjoista - toruksen leikkauksista sen akselin suuntaisella tasolla.
Toruksen akseli
Pyörimisakseli voi leikata ympyrän, koskettaa sitä ja sijaita ympyrän ulkopuolella. Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa torusta kutsutaan suljetuksi, viimeisessä avoimeksi tai renkaaksi [2] .
- Pyörimisakselin etäisyyden muuttaminen
Ympyrää, joka koostuu muodostavien ympyröiden keskipisteistä, kutsutaan ohjausympyräksi.
Topologiset ominaisuudet
Torus on suvun 1 pinta (pallo, jossa on yksi kahva). Torus on kompakti topologinen avaruus.
Toruksella on Euler-Poincaren ominaisuus χ=0.
Yhtälöt
Parametrinen
Torusyhtälö, jossa on etäisyys generaattorin keskustasta kiertoakseliin R ja generatriisin säde r , voidaan antaa parametrisesti seuraavasti:
Algebrallinen
Ei-parametrisella yhtälöllä samoissa koordinaateissa ja samoilla säteillä on neljäs aste:
Tällaisella pinnalla on neljäs järjestys.
On muita pintoja, jotka ovat diffeomorfisia toruksen kanssa ja joilla on erilainen järjestys.
, jossa x, y ovat kompleksilukuja. Monimutkainen elliptinen käyrä , kuutiopinta. Toruksen upottaminen 4-ulotteiseen tilaan. Tämä on toisen asteen pinta. Tämän pinnan kaarevuus on 0.
Pinnan kaarevuus
Toruksella kolmiulotteisessa avaruudessa on positiivisia ja negatiivisia kaarevuuspisteitä . Gauss-Bonnet-lauseen mukaan toruksen koko pinnan kaarevuusintegraali on nolla.
Ryhmärakenne
Ominaisuudet
- Toruksen pinta-ala ensimmäisen Guldenin lauseen seurauksena : .
- Toruksen ( solid torus ) rajoittaman kappaleen tilavuus toisen Papp-Guldenin lauseen seurauksena : .
- Torus, jossa on leikattu kiekko ("lävistetty"), voidaan kääntää nurinpäin jatkuvalla tavalla ( topologisesti , toisin sanoen sarjalla diffeomorfismia ). Tässä tapauksessa kaksi sen päällä kohtisuorassa leikkaavaa ympyrää ("rinnakkais" ja "meridiaani") vaihtavat paikkoja. [3]
- Kaksi tällaista "vuotavaa" toisiinsa yhdistettyä toria voidaan muuttaa muotoaan siten, että toinen tori "nielee" toisen. [neljä]
- Vähimmäisvärien määrä, joka tarvitaan toruksen osien värjäämiseen niin, että viereiset alueet ovat erivärisiä, on 7. Katso myös Neljän värin ongelma .
Osat
- Kun torusta leikataan tangenttitasolla , tuloksena oleva neljännen kertaluvun käyrä osoittautuu degeneroituneeksi: leikkauspiste on kahden ympyrän, joita kutsutaan Villarceau-ympyröiksi , liitto .
- Erityisesti avoin toru voidaan esittää pyörimisakseliin kytketyn ympyrän pyörimispinnana
- Yksi avoimen toruksen osista on Bernoulli-lemniskaatti , muut kaarevat viivat ovat graafisia viivoja ja niitä kutsutaan Perseus-käyriksi [5] (spiraaliviivat, toruksen osuudet sen akselin suuntaisen tason mukaan)
- Jotkut toruksen pinnan ja tason leikkauspisteet näyttävät ellipsiltä (2. asteen käyrä). Näin saatu käyrä ilmaistaan 4. asteen algebrallisella yhtälöllä [6] .
Yleistykset
Moniulotteinen torus
2-ulotteisen toruksen yleistys on moniulotteinen torus (myös n - torus tai hypertorus ):
Vallankumouksen pinta
Torus on pyörimispinnan erikoistapaus .
Katso myös
Muistiinpanot
- ↑ Mathematical Encyclopedia, 1985, v.5, s. 405
- ↑ 1 2 Korolev Juri Ivanovitš. Kuvaava geometria: Oppikirja lukioille. 2. painos . - Kustantaja "Peter", 2008. - S. 172. - 256 s. — ISBN 9785388003669 . Arkistoitu 17. helmikuuta 2017 Wayback Machineen
- ↑ Toruksen kääntämisen vaiheet esittivät Albert Tuckerin ja Herbert Baileyn "Topologia" julkaisussa Scientific American tammikuussa 1950.
- ↑ Katso lisätietoja M. Gardnerin artikkelista Scientific Americanissa , maaliskuussa 1977. Muita toriin liittyviä paradokseja löytyy M. Gardnerin artikkeleista, jotka on julkaistu Scientific American -lehdessä joulukuussa 1972 ja joulukuussa 1979.
- ↑ Teoreettiset perusteet deskriptiivisen geometrian tehtävien ratkaisemiseksi: Harjoitusohjelma
- ↑ Pallon ja toruksen leikkauspiste tason kanssa. Esimerkki "leikkausviivan" rakentamisesta yhdistetyn pyörimiskappaleen pinnalle . Haettu 4. marraskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 4. maaliskuuta 2016.
Kirjallisuus
- Savelov A. A. Tasokäyrät: Systematiikka, ominaisuudet, sovellukset. M.: Fizmatgiz, 1960. 293 s. Julkaistu uudelleen 2002, ISBN 5-93972-125-7
| Kompaktit pinnat ja niiden upotus kolmiulotteiseen tilaan | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Kompaktin kolmiopinnan homeoformiteettiluokka määräytyy suuntautuvuuden, rajakomponenttien lukumäärän ja Eulerin ominaisuuden perusteella. | |||||||
| ei rajaa |
| ||||||
| reunalla |
| ||||||
| Liittyvät käsitteet |
| ||||||