Algebrallinen ryhmä on ryhmä , joka on samanaikaisesti algebrallinen muunnelma , ja ryhmäoperaatio ja käänteiselementin ottooperaatio ovat säännöllisiä variaatioiden kartoituksia.
Kategoriateorian kannalta algebrallinen ryhmä on ryhmäobjekti algebrallisten lajikkeiden luokassa.
Useita tärkeitä ryhmäluokkia voidaan varustaa algebrallisen ryhmän rakenteella:
Sitä vastoin elliptiset käyrät ovat esimerkki algebrallisista lajikkeista, jotka voidaan varustaa algebrallisen ryhmän rakenteella.
Algebrallisia ryhmiä on kaksi luokkaa, joiden ominaisuudet ymmärretään niin hyvin, että niitä käsitellään yleensä erikseen: Abelin variaatiot ja lineaariset algebralliset ryhmät . On myös algebrallisia ryhmiä, jotka eivät kuulu mihinkään näistä luokista - esimerkiksi sellaisia ryhmiä esiintyy luonnollisesti yleistettyjen jakobilaisten teoriassa . Kuitenkin Chevalleyn rakennelauseen mukaan mikä tahansa täydellisen kentän yhteydessä oleva algebrallinen ryhmä sisältää normaalin lineaarisen algebrallisen aliryhmän , jonka osamäärä on Abelin variaatio.
Toisen peruslauseen mukaan mikä tahansa ryhmä, joka on affiininen algebrallinen muunnelma , sallii todenmukaisen äärellisulotteisen esityksen , eli se on matriisiryhmä , jonka elementit ovat kentässä k ja jotka on annettu polynomiyhtälöillä, joiden kertoimet ovat k :ssä . Tämä tarkoittaa, että affiinin algebrallisen ryhmän määritelmä on redundantti: sen tarkempaa määritelmää voidaan aina käyttää matriisiryhmänä.
Yllä annettu määritelmä sopii vain algebrallisesti suljetun kentän ryhmille. On myös olemassa "algebrallisia ryhmiä renkaan yli", jotka on määritelty skeemojen kielellä : ryhmäkaavio kommutatiivisen renkaan R päällä on ryhmäobjekti kaavioiden luokassa R :n päällä.
Algebrallisen ryhmän algebrallinen alaryhmä on Zariski-topologiassa suljettu alaryhmä . Algebrallisten ryhmien homomorfismi on vastaavien muunnelmien säännöllinen kartoitus, joka on samalla ryhmähomomorfismi ; algebrallinen alaryhmä voidaan määritellä vastaavasti injektiohomomorfismin kuvaksi .