Täydellinen kenttä

Yleisalgebrassa kentän k sanotaan olevan täydellinen , jos jokin seuraavista ekvivalenteista ehdoista toteutuu :

1) Jokaisella k :n yläpuolella olevalla redusoitumattomalla polynomilla on selkeät juuret k :n algebrallisessa sulkeutumisessa . 2) Jokainen äärellinen laajennus k on erotettavissa . 3) Jokainen algebrallinen laajennus k on erotettavissa . 4) k :llä on ominaisuus 0 tai k :llä on ominaisuus p > 0 ja jokainen k :n alkio on p :s potenssi. 5) k :lla on ominaisarvo 0 tai k :lla on ominaisuus p > 0 ja Frobeniuksen endomorfismi on arvon automorfismi . 6) k osuu yhteen algebrallisen sulkeutumisen k k -automorfismien kiintopisteiden joukon kanssa .

Muuten kentän sanotaan olevan epätäydellinen .

Täydelliset kentät ovat hyödyllisiä, koska niitä koskeva Galois'n teoria yksinkertaistuu huomattavasti, koska kenttälaajennusten erotettavuusehto täyttyy automaattisesti.

Yleisemmin tunnusomaisen p :n renkaan sanotaan olevan täydellinen, jos sen Frobenius-endomorfismi on automorfismi. [1] ( Integraalirenkaiden tapauksessa tämä vastaa ehtoa "jokainen elementti on p :s potenssi)."

Esimerkkejä

Kaikki ominaisnollan kentät ovat täydellisiä, kuten rationaalilukujen kenttä .
Kaikki päätekentät .
Kaikki algebrallisesti suljetut kentät .
Täydellisen kentän algebralliset laajennukset ovat myös täydellisiä.

Useimmat käytännössä näkyvät kentät ovat täydellisiä. Esimerkkejä epätäydellisistä kentistä tarjoaa algebrallinen geometria ominaisuudessa p > 0. Esimerkiksi yhden muuttujan rationaalisten funktioiden kenttä ominaisuuden p kentässä on epätäydellinen, koska tältä kentältä puuttuu x :n p :n juuri .

Täydellinen sulkeminen

Ominaisessa p > 0 kentässä k voidaan "tehdä" täydellinen lisäämällä siihen r: nnen asteen juuret p ( r ≥1) kaikista alkioista. Tuloksena olevaa kenttää kutsutaan k :n täydelliseksi sulkemiseksi ja sitä merkitään yleensä . $k^{p^{-\infty ))$

Universaalin ominaisuuden kannalta ominaisen renkaan täydellinen sulkeutuminen on täydellinen ominaisuusrengas yhdessä rengashomomorfismin kanssa siten, että mille tahansa täydelliselle ominaisuuden renkaalle, jolla on homomorfismi , on ainutlaatuinen homomorfismi , joka on sellainen, että . Täydellinen sulkeminen on olemassa mille tahansa renkaalle [2] , joten täydellinen sulkemisfunktio on olemassa ja se on unohtavan funktorin vasen liitäntä täydellisten renkaiden kategoriasta renkaiden kategoriaan. $A$ $s$ $A_{p}$ $s$ ${\näyttötyyli u:A\to A_{p))$ $B$ $s$ $v:A\to B$ $f:A_{p}\to B$ $v=f\circ u$

Muistiinpanot

↑ Serre, 1979 , jakso II.4
↑ Bourbaki, 2003 , jakso V.5.1.4, sivu 111

Kirjallisuus

Bourbaki N. Algebra. Osa 2. Polynomit ja kentät. Tilatut ryhmät - M .: Nauka, 1965
Bourbaki, Nicolas (2003), Algebra II , Springer, ISBN 978-3-540-00706-7
Brinon, Olivier & Conrad, Brian (2009), CMI Summer Schoolin muistiinpanot p-adic Hodge -teoriasta , < http://math.stanford.edu/~conrad/papers/notes.pdf > . Haettu 5. helmikuuta 2010.
Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields , voi. 67 (2 painos), Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5
Cohn, P. M. (2003), Perusalgebra: ryhmät, renkaat ja kentät
Matsumura, H (2003), Commutative ring theory , voi. 8 (2. painos), japanista kääntänyt M. Reid. Cambridgen matematiikan opinnot