Galois'n teoria

Galois'n teoria on algebran haara , jonka avulla voit muotoilla tiettyjä kenttäteorian kysymyksiä uudelleen ryhmäteorian kielellä , mikä tekee niistä jossain mielessä yksinkertaisempia.

Évariste Galois muotoili tämän teorian päälausekkeet tietyn polynomin juurien permutaatioina ( rationaalisilla kertoimilla); hän oli ensimmäinen, joka käytti termiä " ryhmä " kuvaamaan joukkoa permutaatioita, jotka ovat suljetut koostumuksen suhteen ja sisältävät identiteettipermutaation.

Modernimpi lähestymistapa Galois'n teoriaan on tutkia mielivaltaisen kentän laajennuksen automorfismeja käyttämällä annettua laajennusta vastaavaa Galois'n ryhmää .

Sovellukset

Galois'n teoria tarjoaa yhden tyylikkään lähestymistavan tällaisten klassisten ongelmien ratkaisemiseen

Mitä hahmoja voidaan rakentaa kompassilla ja viivaimella ?
Mitä algebrallisia yhtälöitä voidaan ratkaista käyttämällä tavallisia algebrallisia operaatioita ( yhteen- , vähennys- , kerto- , jakolasku- ja juurenpoisto )?

Juurisymmetriat

Juurisymmetriat ovat sellaisia permutaatioita polynomin juurijoukossa, joille mikä tahansa algebrallinen yhtälö , jossa on rationaalisia kertoimia (useita muuttujia), jonka juuret tyydyttävät, täyttyvät myös permutoiduilla juurilla.

Esimerkki: toisen asteen yhtälö

Toisen asteen polynomilla on kaksi juuria ja symmetrinen pisteen suhteen . Vaihtoehtoja on kaksi: $ax^{2}+bx+c$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x=-b/(2a)$

Jos nämä juuret ovat rationaalisia, niin vain yksi juuri täyttää yhtälön, ja yhtälön ryhmä on triviaali. $x-x_{1}=0$
Jos juuret ovat irrationaalisia, ryhmä sisältää yhden ei-triviaalin elementin ja on isomorfinen . ${\displaystyle x_{1}\Leftrightarrow x_{2))$ ${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$

Monimutkaisempi esimerkki

Harkitse nyt polynomia . $(x^{2}-5)^{2}-24$

Sen juuret : $a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\ b={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\ c=-{\sqrt {2} }+{\sqrt {3)),\ d=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$

Tämän yhtälön juurilla on useita permutaatioita, mutta kaikki eivät ole symmetrioita. Galois-ryhmän elementtien on säilytettävä kaikki algebralliset yhtälöt rationaalisilla kertoimilla. $4!=24$

Yksi näistä yhtälöistä on . Koska , permutaatio ei ole Galois-ryhmässä. $a+d=0$ $a+c\neq 0$ $a\to a,\ b\to b,\ c\to d,\ d\to c$

Lisäksi voidaan nähdä, että , mutta . Siksi permutaatio ei sisälly ryhmään. ${\näyttötyyli (a+b)^{2}=8}$ ${\näyttötyyli (a+c)^{2}=12}$ $a\to a,\ b\to c,\ c\to b,\ d\to d$

Lopuksi saadaan, että polynomin Galois-ryhmä koostuu neljästä permutaatiosta:

{\näyttötyyli (a,b,c,d)\to (a,b,c,d),}

{\näyttötyyli (a,b,c,d)\to (c,d,a,b),}

{\näyttötyyli (a,b,c,d)\to (b,a,d,c),}

{\näyttötyyli (a,b,c,d)\to (d,c,b,a)}

ja on nelinkertainen Klein-ryhmä , isomorfinen . $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

Muotoilu kenttäteorian kannalta

Kenttäteoria antaa yleisemmän määritelmän Galois'n ryhmälle mielivaltaisen Galois'n laajennuksen automorfismien ryhmänä .

Tällä kielellä voidaan muotoilla kaikki väittämät, jotka koskevat polynomin juurien "symmetriaa". Eli kuulukoot annetun polynomin kertoimet kenttään K . Tarkastellaan kentän K algebrallista laajennusta L polynomin juurilla. Tällöin polynomin Galois-ryhmä on kentän L automorfismien ryhmä, joka jättää kentän K alkiot paikoilleen, eli laajennuksen Galois'n ryhmä . Esimerkiksi edellisessä esimerkissä tarkasteltiin laajennuksen Galois-ryhmää . $järkyttynyt K$ ${\mathbb Q}({\sqrt 2},{\sqrt 3})\supset {\mathbb Q}$

Ratkaistavat ryhmät ja yhtälöiden ratkaisu radikaaleissa

Polynomiyhtälön ratkaisut ilmaistaan radikaaleina silloin ja vain, jos annetun yhtälön Galois'n ryhmä on yleisesti ratkaistavissa . $P(x) = 0$

Jokaiselle on olemassa asteen yhtälö, jonka Galois-ryhmä on isomorfinen symmetrisen ryhmän kanssa, eli se koostuu kaikista mahdollisista permutaatioista . Koska ryhmät pisteessä eivät ole ratkaistavissa, on olemassa astepolynomeja, joiden juuria ei voida esittää radikaaleilla , mikä on Abel-Ruffinin lauseen väite . $n$ $n$ $S_{n}$ $S_{n}$ $n>4$ $n$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Abstraktimman lähestymistavan Galois'n teoriaan kehitti Alexander Grothendieck vuonna 1960. Tämä lähestymistapa mahdollistaa Galois'n teorian päätulosten soveltamisen mihin tahansa kategoriaan , joka on antanut ominaisuuksia (esimerkiksi yhteistulojen ja karteesisten neliöiden olemassaolo ).
- Erityisesti tämä mahdollistaa Galois'n teorian tulosten siirtämisen päällysteteoriaan . Tämän teorian soveltamiseksi kenttälaajennusten kategoriaan on tutkittava kenttien tensoritulojen ominaisuuksia .

Kirjallisuus

Kolmogorov A. N. , Yushkevich A. P. (toim.) 1800-luvun matematiikka. - M.: Nauka.

Osa 1 Matemaattinen logiikka. Algebra. Numeroteoria. Todennäköisyysteoria. 1978. (linkki, jota ei voi käyttää)

Postnikov M. M. Galois'n teoria. Arkistokopio päivätty 2. huhtikuuta 2014 Wayback Machinessa - M .: Fizmatgiz , 1963.
Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Pariisi) [Mathematical Documents (Pariisi)] 3, Paris: Société mathématique de France , arXiv: math / 03-706B2N39-8 2-85629-141-2
Skopenkov A. B. Muutamia muita todisteita kirjasta: yhtälöiden ratkaistavuus ja ratkaisemattomuus radikaaleissa.
Lerner L. Galois'n teoria ilman abstraktia algebraa.
Emil Artin . Galois'n teoria. / Per. englannista. A. V. Samokhina. - 2. painos stereotyyppinen. — M.: MTsNMO, 2008. — 66 s. — (Klassiset monografiat: matematiikka). - ISBN 978-5-94057-062-2 .

Linkit

R. Borcherds , Playlist "Galois theory " YouTubessa

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 119587869 J9U : 987007558074605171 LCCN : sh85052872 NDL : 00562218 NKC : ph135380