Kerrostettu tuote

Kuitutuote ( kerrostuote , koamalgaami , karteesinen neliö , englanniksi pullback ) on kategoriateoreettinen käsite, joka määritellään kahdesta morfismista koostuvan diagrammin rajana : Kuitutuotetta kutsutaan usein nimellä $X\to Z\leftarrow Y.$ $X\times _{Z}Y.$

Kaksikonsepti on codecartes square .

Yleinen ominaisuus

Olkoon kategorialle annettu pari morfismia ja kuitutuote ja yli objekti yhdessä morfismien kanssa, joille seuraava kaavio on kommutatiivinen: $C$ $f:X\to Z$ $g:Y\to Z.$ $X$ $Y$ $Z$ $P=X\times _{Z}Y$ $p_{1},p_{2},$

Lisäksi kuitutuotteen on oltava universaali objekti, jolla on seuraava ominaisuus: jokaiselle esineelle , jolla on morfismipari , joka täydentää parin kommutatiiviseksi neliöksi, on ainutlaatuinen morfismi siten, että alla oleva kaavio on kommutatiivinen: $Q,$ $q_{1}:Q\to X,\,q_{2}:Q\to Y,$ ${\näyttötyyli (f,g)}$ $u\colon Q\to P,$

Tämän kaavion morfismien muodostamaa sisäneliötä kutsutaan karteesiseksi (tai kouniversaaliksi) neliöksi morfismiparille ja ${\displaystyle f,g,p_{1},p_{2))$ $f$ $g.$

Kuten muutkin yleisominaisuuden määrittelemät objektit , kuitutuotetta ei välttämättä ole olemassa, mutta jos on, se määritellään isomorfismiin asti.

Esimerkkejä

Sarjat -luokassa sarjojen kuitutuote ja kartoituksella ja on joukko $X$ $Y$ $f:X\to Z$ $g:Y\to Z$

{\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\))

sekä luonnollisia heijastuksia komponentteihin.

Kommutatiivisten renkaiden kategoriassa oleva kuitutuote määritellään samalla tavalla .

Kuitutuotetta voidaan myös kuvata kahdella epäsymmetrisellä tavalla: ${\mathbf {Set}}$

X\times _{Z}Y

\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]

\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}],

missä on joukkojen hajaliitto . $\coprod$

Katso myös

Indusoitu nippu

Kirjallisuus

Goldblatt R. Topoi. Kategorinen logiikan analyysi = Topoi. Kategoriaalinen logiikan analyysi / Per. englannista. V. N. Grishin ja V. V. Shokurov, toim. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 s.
Gorodentsev A. L. Algebra matematiikan opiskelijoille. Osa II . - M. , 2015. - S. 160.
McLane S. Luku 3. Universaalit rakenteet ja rajat // Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Face K. Algebra - renkaat, moduulit ja luokat, osa 1. - M . : Mir - Springer-Verlag-sarjan osa 190 - Grundlehren der mathematischen wissenschaften - 1977 [1973].
Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker. Abstrakti ja konkreettiset luokat. Kissojen ilo . - Willey & Sons , 1990. - s. 524. - ISBN 0-471-60922-6 .