Codecartes-neliö

Codecartes-neliö (myös universaali neliö ) on kategoriateoreettinen käsite , joka on kaksinkertainen karteesisen neliön käsitteen kanssa . Codecartes-neliö on koliliitin erikoistapaus .

Yleinen ominaisuus

Olkoot f : Z → X , g : Z → Y luokan C morfismeja . Morfismiparin ( f , g ) Codecartes-neliö on seuraavan muotoinen kommutatiivinen neliö:

Lisäksi koodikärryruutu on universaali objektien joukossa, joilla on tämä ominaisuus. Nimittäin mille tahansa objektille Q , jonka morfismit j 1 , j 2 täydentävät f , g :n kommutatiivista neliötä, on olemassa ainutlaatuinen morfismi u : P → Q , joka tekee seuraavasta kaaviosta kommutatiivisen:

Esinettä , jolla on morfismit i 1 , i 2 , kutsutaan kuitutuotteeksi ( foliated summa , amalgam , amalgamated sum , englanniksi pushout ). $P=X\amalg _{Z}Y$

Kuten mitä tahansa universaalia konstruktiota, Codecartes-neliötä ei välttämättä ole olemassa, mutta jos on, se määritellään isomorfismiin asti.

Esimerkkejä

Joukkojen luokassa tämä on X :n ja Y :n disjunktoitu liitto , jossa tunnistetaan Z :ssa yhteisen esikuvan omaavat elementit . Tarkemmin sanottuna missä ~ on pienin ekvivalenssirelaatio siten, että i 1 ∘ f ( z ) ~ i 2 ∘ g ( z ) . $X\amalg _{Z}Y$ $X\amalg _{Z}Y=X\amalg Y{\big /}\sim ,$

Tilaliimausrakenne on esimerkki kuitujen sivutuotteiden rakentamisesta topologisten tilojen kategoriassa . Tarkemmin sanottuna, jos Z on Y :n aliavaruus ja g : Z → Y on vastaava inkluusiokuvaus , niin Y voidaan "liimata" X :stä Z :hen käyttämällä "sovituskartoitusta" f : Z → X . Tuloksena oleva liimatila on X :n ja Y :n kuitutuote . $X\cup _{f}Y$

Abelilaisten ryhmien luokassa voidaan puhua Codecartesian neliöstä Abelin ryhmien suorana summana "liimauksella". Nimittäin, jos f ja g ovat homomorfismeja, joilla on yhteinen lähde Z , niin Codecartes-neliö on suora summatekijäryhmä muodon ( f ( z ), −g ( z ))) muodostaman aliryhmän yli . Suunnilleen sama voidaan tehdä moduuliluokassa .

Kirjallisuus

Goldblatt R. Topoi. Kategorinen logiikan analyysi = Topoi. Kategoriaalinen logiikan analyysi / Per. englannista. V. N. Grishin ja V. V. Shokurov, toim. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 s.
McLane S. Luku 3. Universaalit rakenteet ja rajat // Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .