Kleinin neljän hengen ryhmä

Kleinin nelinkertainen ryhmä on neljännen kertaluvun ei- syklinen äärellinen kommutatiivinen ryhmä , jolla on tärkeä rooli yleisalgebrassa, kombinatoriikassa ja geometriassa. Yleensä merkitään tai ( sitä. Vierergruppe - quad ryhmä). Felix Klein kuvasi ja tutki ensimmäisen kerran vuonna 1884 . $V$ $V_{4}$

Kleinin nelinkertaisen ryhmän syklikaavio
Kleinin nelinkertaisen ryhmän Cayley-graafi

Elementtien välinen binäärioperaatio (yksikkö on ryhmän neutraali elementti ) saadaan seuraavasta Cayley-taulukosta [1] : ${\näyttötyyli \{1,a,b,ab\}}$

{\begin{array}{c||rrrr|}\cdot &1&a&b&ab\\\hline 1&1&a&b&ab\\a&a&1&ab&b\\b&b&ab&1&a\\ab&ab&b&a&1\\\end{array))

Kunkin ei-yhden elementin järjestys on 2, joten ryhmä ei ole syklinen . On toisen asteen syklisten ryhmien suora tulos ; pienin ei-syklinen ryhmä järjestyksessä. $C_{2}\times C_{2}$

Se on yksinkertaisin dihedraaliryhmä [2] . Mikä tahansa neljännen kertaluvun ryhmä on isomorfinen joko sykliselle ryhmälle tai nelinkertaiselle Klein-ryhmälle. Symmetrisellä ryhmällä on itsensä ja yksikköalaryhmän lisäksi vain kaksi normaalia alaryhmää - vuorotteleva ryhmä ja Kleinin neljä ryhmä , joka koostuu permutaatioista [2] . $D_{2}$ $S_{4}$ $A_{4}$ $V_{4}$ ${\näyttötyyli (),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}$

Se esiintyy monissa matematiikan osissa, esimerkkejä sille isomorfisista ryhmistä :

asetettu bittikohtaisella poissulkevalla TAI -operaatiolla ; ${\näyttötyyli \{0,1,2,3\}}$
jäämien pelkistetty järjestelmä modulo 8, joka koostuu luokista 1, 3, 5, 7 ja modulo 12, joka koostuu luokista 1, 5, 7, 11;
rombin symmetriaryhmä kolmiulotteisessa avaruudessa, joka koostuu 4 muunnoksesta: identiteetistä, pyörityksestä ja kahdesta heijastuksesta diagonaalien ympäri [3] . $180^{\circ }$
tetraedrin pyörimisryhmä kaikkien kolmen reunamediaanin ympärillä olevan kulman läpi (yhdessä identtisen kierron kanssa) [4] . $\pi$

Muistiinpanot

↑ Aleksandrov, 1980 , ch. 1 "Ryhmän käsite", kohta 2 "Aloitusesimerkit", kohta 4 "Neljännen luokan Klein-ryhmä", s. 23.
↑ 1 2 V. F. Zaitsev. s. 2, Diskreetit muunnosryhmät // Johdatus nykyaikaiseen ryhmäanalyysiin. - Pietari. , 1996. - S. 10.
↑ Aleksandrov, 1980 , ch. 5 "Yksinkertaisimmat itsesattumaryhmät", s. 3 "Säännöllisen pyramidin ja kaksoispyramidin käännösryhmät", s. 3 "Degeneraation tapaus: segmentin ja rombin kiertoryhmät", s. 71.
↑ Aleksandrov, 1980 , ch. 5 "Yksinkertaiset itsesattumaryhmät", kohta 3 "Säännöllisen pyramidin ja kaksoispyramidin käännösryhmät", kohta 4 "Säännöllinen tetraedrin kiertoryhmä", s. 75.

Kirjallisuus

P.S. Aleksandrov . Johdatus ryhmäteoriaan. - M .: Nauka, 1980. - 144 s. Kanssa. — (Kirjasto Kvant, numero 7).
F. Klein . Luentoja ikosaedrista ja viidennen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta. — M .: Nauka , 1989. — 336 s.