Galois-ryhmä

Galois-ryhmä on ryhmä, joka liittyy kenttälaajennukseen . Sillä on tärkeä rooli kenttälaajennusten tutkimuksessa , erityisesti Galois'n teoriassa . Evariste Galois otti tämän käsitteen ( polynomin juurten permutaatioryhmän yhteydessä ) matematiikkaan vuonna 1832.

Määritelmä

Olkoon kenttä K kentän P Galois'n laajennus . Kentän K yksi-yhteen-kuvausta itseensä kutsutaan automorfismiksi , jos se kuvaa summan summaan ja tulon tuloon, eli jos jollekin kentän K elementille yhtälöt $f$ $a,b$

f(a+b)=f(a)+f(b),\ f(ab)=f(a)\cdot f(b).

Galois-ryhmä tietylle kenttälaajennukselle on kokoelma kaikista kentän K automorfismista, jotka säilyttävät kentän P : osia . Yleensä merkitään G ( K , P ) tai Gal ( K , P ). $\forall a\in P\;f(a)=a$

Ominaisuudet

Äärillisen laajennuksen Galois-ryhmä on äärellinen . Sen järjestys (alkioiden lukumäärä) on yhtä suuri kuin laajenemisaste [ K : P ].

Esimerkkejä

Jos laajennettu kenttä on sama kuin alkuperäinen, Galois-ryhmä sisältää vain yhden elementin: yksikön (identiteettiautomorfismi).
Reaalilukukentän laajentamiseksi kaikkien kompleksilukujen kenttään Galois -ryhmä sisältää 2 elementtiä: yksikön ja kompleksikonjugoinnin .
Laajennuskenttä koostuu muodoltaan luvuista , joissa a , b ovat rationaalilukuja . Tässä Galois-ryhmässä on 2 elementtiä: yksikkö ja operaatio, joka muuttaa 2. termin etumerkin . ${\mathbb {Q}}[{\sqrt {2}}]$ $a+b{\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$
Olkoon p alkuluku . _ Harkitse rajallisia kenttiä ja , joista ensimmäinen on luonnollisesti upotettu toiseen. Tämän laajennuksen Galois - ryhmä on syklinen , sen generoi Frobenius - automorfismi . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{p))$
Algebrallisen yhtälön Galois'n ryhmä [1] .

Tarkastellaan neljännen asteen algebrallista yhtälöä . Se sallii seuraavat x -muuttujan muunnokset : . Seuraaville se on . Tästä seuraa siis, että . Tämä tarkoittaa, että yhtälö voidaan muuntaa .

P(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0

y=1/x,\ y=x^{2},\ y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

y=1/x

y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)/x ^{4}

{\displaystyle P(y)=P(x)/x^{4))

P(x)=0

P(y)=0

P(x)=0

y=1/x

Sillä se käy ilmi . Tämän yhtälön jakaminen alkuperäisellä antaa . Joten muunnos on myös yhtälön sallima .

y = x^2

P(y)=y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^ {2}+1

P(x)

P(y)=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)P(x)

y = x^2

P(x)

Vastaavasti muunnokselle , voidaan saada seuraava muunnoskaava: .

y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

P(y)=(x^{8}+3x^{7}+6x^{6}+9x^{5}+9x^{4}+7x^{3}+4x^{2} +x+1)P(x)

Osoittakaamme nyt, että yhtälö sallii äärettömän muunnosryhmän , jossa se ottaa kaikki kokonaislukuarvot (positiiviset ja negatiiviset), jotka eivät ole viiden kerrannaisia. Katsotaanpa ensin vaihtoa . Tästä yhtäläisyydestä seuraa, että ..., . Sen todistamiseksi, että yhtälö sallii äärettömän ryhmän muunnoksia varten , riittää osoittamaan, että muunnos on sallittu . Tätä muutosta varten meillä on: . Negatiiviset kokonaislukuarvot saadaan muunnolla . On helppo todistaa, että tuloksena saadut muunnokset muodostavat ryhmän.

P(x)

{\näyttötyyli y=x^{n))

n

x^{4}=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

x^{5}=x\cdot x^{4}=-(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x)=1,\ x^{6}= x\cdot x^{5}=x

{\displaystyle x^{n}=x^{n-5))

P(x)

{\näyttötyyli y=x^{n))

5\!\ \nmid n

y=x^{3}

P(y)=x^{12}+x^{9}+x^{6}+x^{3}+1=x^{2}+x^{4}+x+x^ {3}+1=0

n

y=1/x

Muodostettu muunnosryhmä muuttaa yhtälön jokaisen juuren saman yhtälön juureksi. Jäljitetään nyt kuinka tarkasti kukin yhtälön juuri muuttuu tämän muunnosryhmän vaikutuksesta. Algebran kurssista tiedetään, että yhtälön juuret ovat numeroita . Muunnos kääntää juuren , juuren , juuren , juuren . Tuloksena oleva korvaus on merkitty . Samalla tavalla voidaan osoittaa, että muunnos johtaa substituutioon . Muunnos johtaa substituutioon . Jäljellä olevat muunnokset eivät tuota uusia substituutioita.

{\näyttötyyli y=x^{n))

P(x)

P(x)

P(x)

x_{1}=z,\ x_{2}=z^{2},\ x_{3}=z^{3},\ x_{4}=z^{4},\ z=e ^{2\pi i/5}

y = x^2

x_{1}

x_{2}

x_{2}

x_{4}

x_{3}

x_{1}

x_{4}

x_{3}

(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3})

y=x^{3}

(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2})

y=x^{-1}

{\näyttötyyli (x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})}

Siten yhtälön juurien muunnosryhmä indusoi neljänkertaisen äärellisen ryhmän, joka koostuu seuraavista elementeistä: . Tätä äärellistä ryhmää kutsutaan yhtälön Galois-ryhmäksi .

{\näyttötyyli y=x^{n))

P(x)

{\näyttötyyli 1,(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3}),(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2}),( x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})}

P(x)

Olkoon n asteen ympyränjakokenttä . _ Pyöreän jatkeen Galois-ryhmä on isomorfinen jäännösrenkaan modulo n multiplikatiivisen ryhmän kanssa . $K_n$ $K_{n}/Q$ $Z_{n}^{*}$

Sovellus

Kenttäpäätteet

Tarkastellaan peräkkäisten kenttälaajennusten ketjua: Muodosta Galois-ryhmä kentille, jotka ovat ketjussa äärimmäisiä: Galois'n teorian päälauseen mukaan jokainen laajennusketjun välikenttä vastaa ryhmän G alaryhmää , eli kenttälaajennusten ketju voidaan liittää sisäkkäisten alaryhmien ketjuun, joka kapenee G :stä triviaaleihin alaryhmiin . Jos tarkastellaan kaikkia välikenttiä kerralla (eli muodon kenttiä ), tämä vastaavuus on bijektio välikenttien joukosta Galois-ryhmän aliryhmien joukkoon. Lisäksi normaalilaajennuksia vastaavat alaryhmät ovat G : n normaaleja alaryhmiä ja päinvastoin. $L_{1}\subset L_{2}\subset \cdots \subset L_{n}.$ $G=\operaattorin nimi {Gal} (L_{n}, L_{1}).$ $L_{k}$ $G_{k}$ $L_{1}\osajoukko X\osajoukko L_{n}$

Tämän vastaavuuden avulla voimme tutkia kenttien äärellisiä laajennuksia ryhmäteorian avulla. Tästä seuraa esimerkiksi välittömästi, että tietyn normaalilaajennuksen välikenttien määrä on aina äärellinen (kuten äärellisen ryhmän aliryhmien määrä).

Algebralliset yhtälöt

Algebrallisen yhtälön pääkenttä on joukko lukuja, jotka voidaan saada tämän yhtälön kertoimista käyttämällä yhteen- , vähennys- , kerto- ja jakolaskuoperaatioita . Jaottelukenttä on joukko lukuja, jotka voidaan saada käyttämällä äärellistä määrää samoja operaatioita, jotka perustuvat yhtälön kertoimiin ja juuriin. Pääkenttä yleisessä tapauksessa on vain hajoamiskentän alikenttä .

Hajoamiskentän automorfismien muodostamaa Galois-ryhmää on tapana kutsua tämän yhtälön Galois-ryhmäksi . Mikä tahansa automorfismi Galois'n ryhmästä G ( K , P ) kuvaa mielivaltaisen polynomin jokaisen juuren kentän P yli takaisin saman polynomin juureen. Siten minkä tahansa algebrallisen yhtälön Galois-ryhmää, jolla ei ole useita juuria , voidaan pitää permutaatioryhmänä (näin Evarist Galois itse piti sitä ).

Muistiinpanot

↑ N. Kh. Ibragimov. Lyhyt poikkeama Galois-ryhmästä // Ryhmäanalyysin ABC. - M . : Knowledge, 1989. - S. 42.

Kirjallisuus

Artin E. Galois'n teoria. - M. : MTSNMO, 2008. - ISBN 978-5-94057-062-2 .
Postnikov M. M. Galois'n teoria. - M .: Nauka, 1963. - 220 s.