Ryhmäobjekti

Ryhmäobjekti on ryhmän käsitteen yleistys mielivaltaisen luokan objektiksi , monissa tapauksissa ryhmäobjekti voidaan ymmärtää ryhmänä, jolla on lisärakenne. Tyypillinen esimerkki on topologinen ryhmä , jonka topologinen avaruusrakenne on yhteneväinen ryhmärakenteen kanssa siinä mielessä, että ryhmätoiminta on jatkuvaa .

Määritelmä

Olkoon C luokka, jossa on pääteobjekti 1, jossa mille tahansa kahdelle oliolle on olemassa heidän tulonsa . Ryhmäkohde C :ssä on C - luokan objekti G yhdessä morfismien kolminkertaisena :

m : G × G → G ("ryhmätoimintoa" vastaava morfismi)
e : 1 → G ("identiteettielementin upottaminen")
inv : G → G ("käänteisen elementin ottaminen"),

joille seuraavien ominaisuuksien on oltava voimassa (vastaavat ryhmän aksioomia):

m on assosiatiivinen, eli ja on sama morfismi (tässä tunnistamme kanonisesti ja ); $m\circ (m\times\mathrm{id}_G)$ $m\circ (\mathrm{id}_G \times m)$ $G\kertaa G\kertaa G\-G$ $(G\ kertaa G)\ kertaa G$ $G\kertaa (G\kertaa G)$
e on kahdenvälisesti neutraali elementti , eli missä on luonnollinen projektio toiselle tekijälle ja missä on luonnollinen projektio ensimmäiselle tekijälle; $m\circ (e\times \mathrm{id}_G) = p_2,$ $p_2: 1\kertaa G\-G$ $m\circ (\mathrm{id}_G\times e) = p_1,$ $p_1: G\ kertaa 1 \ja G$
käänteisalkio on todellakin käänteinen, eli jos d : G → G × G on diagonaalinen kuvaus ja e G : G → G on yksilöllisen morfismin G → 1 ja morfismin e koostumus , niin $m\circ (\mathrm{id}_G\times \mathrm{inv})\circ d=m\circ (\mathrm{inv}\times \mathrm{id}_G)\circ d=e_G.$

Esimerkkejä

Ryhmät ovat täsmälleen ryhmäobjekteja joukkojen luokassa . Tässä m on binäärinen kertolaskuoperaatio, e on funktio , joka lähettää singleton -joukon ryhmän identiteettielementille, inv kartoittaa käänteisen elementin ryhmäelementille ja e G lähettää kaikki ryhmän elementit identiteettiin.
Topologinen ryhmä on ryhmäobjekti topologisten avaruuksien ja jatkuvien kuvausten luokassa .
Lie -ryhmä on ryhmäkohde sileiden jakoputkien ja tasaisten kartoitusten luokassa .
Algebrallinen ryhmä on ryhmäobjekti algebrallisten lajikkeiden ja säännöllisten kuvausten luokassa . Nykyaikaisessa algebrallisessa geometriassa tarkastellaan myös yleisempää ryhmäkaavion käsitettä - ryhmäobjekti kaavioiden luokassa .
Ryhmät -kategorian ryhmäobjektit ovat täsmälleen Abelin ryhmiä . Todellakin, jos G on Abelin ryhmä, niin m , e ja inv tavanomaisella tavalla määriteltyinä täyttävät ryhmäobjektin ominaisuudet (erityisesti, koska ryhmä G on Abelin ryhmä , inv on homomorfismi ). Käänteisesti, jos ( G , m , e , inv ) on ryhmäolio ryhmien luokassa, voidaan osoittaa, että operaatio m on sama kuin alkuperäinen operaatio ryhmälle G , mikä tarkoittaa, että e ja inv ovat myös määritellään tavalliseen tapaan. Katso myös Eckmann-Hiltonin argumentti.
Jos C on luokka, jolla on äärelliset yhteistulot (erityisesti, kun alkuobjekti 0 on tyhjän oliojoukon yhteistulo), luokan C yhteisryhmäolio on G : n objekti yhdessä seuraavien morfismien kanssa: "monistaminen" m : G → G G, "yksikkö" e : G → 0 ja "koinversio" inv : G → G , jotka täyttävät aksioomit, jotka ovat duaalisia yllä lueteltujen ryhmäobjektin aksioomien kanssa. Cogroup -objektit syntyvät luonnollisesti algebrallisessa topologiassa . $\oplus$

Katso myös

Hopf-algebrat voidaan nähdä ryhmäobjektien yleistyksenä mielivaltaiseen monoidaaliluokkaan .

Linkit

Bucur I., Deleanu A. Johdatus kategorioiden ja funktionaalisten tekijöiden teoriaan. - M.: Mir, 1972. - 259 s.
Lang, Serge (2002), Algebra. - Graduate Texts in Mathematics 211 (tarkistettu kolmas painos), New York: Springer-Verlag - ISBN 978-0-387-95385-4 .