Kuution tuplaaminen

Kuution tuplaaminen on klassinen muinainen ongelma kuution reunan rakentamisessa kompassin ja viivaimen avulla, jonka tilavuus on kaksi kertaa tietyn kuution tilavuus [1] .

Kulman kolmileikkauksen ja ympyrän neliöinnin ohella se on yksi tunnetuimmista ratkaisemattomista kompassin ja suoraviivan rakentamisongelmista. Näillä ongelmilla on ollut tärkeä rooli matematiikan historiassa.

Historia

Muinaisen legendan mukaan Deloksen saarella puhkesi eräänä päivänä rutto . Saaren asukkaat kääntyivät Delphin oraakkelin puoleen , ja hän sanoi, että oli tarpeen kaksinkertaistaa pyhäkön alttari, joka oli kuution muotoinen. Deloksen asukkaat rakensivat toisen kuution ja asettivat sen ensimmäisen päälle, mutta epidemia ei pysähtynyt. Toisen vetoomuksen jälkeen oraakkeli selvensi, että kaksinkertaisen alttarin on oltava yksi kuutio.

Sen jälkeen Delhin ongelmaa ovat käsitelleet antiikin maailman parhaat matemaatikot, useita ratkaisuja on ehdotettu, mutta kukaan ei ole kyennyt saamaan päätökseen tällaista rakennetta käyttämällä vain kompasseja ja viivainta, joten yleinen uskomus on vähitellen kehittynyt. että tällainen ongelma on ratkaisematon. Jopa Aristoteles IV vuosisadalla eKr. e. kirjoitti: "Geometrian avulla on mahdotonta todistaa, että ... kahdesta kuutiosta tulee yksi kuutio" [2] .

Ratkaisuyritykset

• Hippokrates Khios (5. vuosisadan loppu eKr.) osoitti, että ongelma tiivistyy siihen, että löydetään kaksi keskimääräistä suhteellista segmenttiä, kaksi kertaa sitä suurempi. Nykyaikaisessa merkinnässä - sellaisen löytämiseen . Täältä .

• Tarentumin Archytas (4. vuosisadan alku eKr.) ehdotti ratkaisua, joka perustui toruksen , kartion ja pyöreän sylinterin leikkauspisteeseen .

• Platon (4. vuosisadan ensimmäinen puolisko eKr.) ehdotti mekaanista ratkaisua, joka perustui kolmen suorakulmaisen kolmion rakentamiseen halutulla kuvasuhteella.

• Menechmus (4. vuosisadan puoliväli eKr.) löysi kaksi ratkaisua tähän ongelmaan perustuen kartioleikkausten käyttöön. Ensimmäisessä ratkaisussa löydetään kahden paraabelin leikkauspiste ja toisessa paraabelit ja hyperbolit.

• Eratosthenes (III vuosisata eKr.) ehdotti toista ratkaisua, joka käyttää erityistä mekaanista työkalua - mesolabiumia , ja kuvasi myös edeltäjiensä ratkaisuja.

• Nikomedes (II vuosisata eKr.) käytti tämän ongelman ratkaisemiseen lisäysmenetelmää, joka suoritettiin käyttämällä erityistä käyrää - conchoids .

• Joukko Apolloniuksen , Philon of Bysantiumin ja Heronin samankaltaisia ​​ratkaisuja käyttää myös lisäysmenetelmää.

• Toisessa toistensa kaltaisessa ratkaisuryhmässä, joka kuuluu Dioklesiin , Pappussiin ja Sporeihin , käytetään samaa ideaa kuin Platonin ratkaisussa , kun taas Diokles käyttää erityistä käyrää rakentaakseen cissoidia .

Myös Viète , Descartes , Grégoire de Saint-Vincent , Huygens , Newton tarjosivat ratkaisujaan .

Päättämättömyys

Nykyaikaisessa merkinnässä ongelma on pelkistetty yhtälön ratkaisemiseen . Ratkaisu näyttää tältä . Kaikki johtuu pituuden segmentin muodostamisen ongelmasta . Vuonna 1837 Pierre Wantzel osoitti, että tätä ongelmaa ei voitu ratkaista kompassilla ja suoraviivalla .

Ratkaisu lisätyökaluilla

Kuution tuplaamista ei voi ratkaista kompassilla ja suoraviivalla, mutta se voidaan tehdä muutamilla lisätyökaluilla.

• Kuution tuplaaminen voidaan tehdä rakentamalla litteän origamin avulla [3] .

• Kuution tuplaaminen voidaan tehdä käyttämällä nevsis . Otetaan tasasivuinen kolmio MPN , jonka sivu on a , jatketaan sivua PN ja muodostetaan piste R etäisyydelle a pisteestä N (kuva 1). Jatketaan segmenttejä NM ja RM vasemmalle . Otetaan nevsis-viivain, jossa on diasteema a , ja muodostetaan suorana NM viivana piste P napana ja suorana RM kohdesuorana jana AB . Janan BP pituus vastaa kuution sivua, jonka tilavuus on kaksi kertaa suurempi kuin kuution, jonka sivu on a .

Kirjallisuus

• Belozerov S.E. Viisi kuuluisaa antiikin ongelmaa. Historia ja moderni teoria. - Rostov: Rostovin yliopiston kustantamo, 1975. - 320 s.
• Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa . - M . : Koulutus, 1964. - S. 324-325.
• Prasolov VV Kolme klassista rakennustehtävää. Kuution tuplaus, kulman kolminleikkaus, ympyrän neliöinti . - M .: Nauka, 1992. - 80 s. - ( Suosittuja matematiikan luentoja , numero 62).
• Chistyakov V.D. Kolme kuuluisaa antiikin ongelmaa. - M . : Valtio. äh.-ped. RSFSR:n opetusministeriön kustantamo, 1963. - S. 8-28. - 96 s. .
• Shchetnikov A. I. Kuinka ratkaisut kolmeen antiikin klassiseen ongelmaan löydettiin? // Matemaattinen koulutus. - 2008. - Nro 4 (48) . - s. 3-15 .
• Shchetnikov A. I. Kuinka joitakin ratkaisuja kuution tuplausongelmaan löydettiin? Historiallinen ja matemaattinen tutkimus , nro 15 (50), 2014, s. 65-78.

Muistiinpanot

1. ↑ Kuution tuplaaminen // Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja / V. A. Vvedensky. – 2. painos. - Suuri Neuvostoliiton Encyclopedia, 1956. - T. 43. - S. 648. - 300 000 kappaletta.
2. ↑ Aristoteles . Toinen analyysi, osa I, Ch. 7. M.: Gospolitizdat, 1952.
3. ↑ Petrunin A. Tasainen origami ja rakentaminen  // Kvant . - 2008. - Nro 1 . - S. 38-40 . (Venäjän kieli)