Archimedesin härkäongelma

Arkhimedesen ongelma härkeistä on Arkhimedesen (287-212 eKr.) tutkielma . Muinainen tiedemies esittää matemaattisen ongelman, jonka täydellinen ratkaisu löydettiin vasta 1900-luvulla tietotekniikan avulla.

Painos

Gotthold Ephraim Lessing löysi härkäongelman 44-rivisen runon kreikkalaisesta käsikirjoituksesta herttua Augustuksen kirjastossa Wolfenbüttelissä Saksassa . Ongelman teksti julkaistiin julkaisussa "Beiträge zur Geschichte und Litteratur" Braunschweigissa vuonna 1773. Arkhimedesen kirjoittajasta ei ole epäilystäkään antikvaareiden keskuudessa, sillä sekä tyyliltään että luonteeltaan tutkielma vastaa tuon aikakauden matemaattisia epigrammeja. Arkhimedesen härkäongelma mainitaan eräässä muinaisessa scholiassa Platonin dialogissa " Charmides, or On Prudence " [1] [2] .

Ongelman ydin

Archimedes kehottaa lukijaa selvittämään aurinkojumala Helioksen härkien lukumäärän seuraavissa olosuhteissa:

Heliosilla oli neljä laumaa, joista jokainen erosi väriltään [yhteen]
valkoisten härkien määrä oli yhtä suuri kuin tumma + punaiset härät [2:een] $=\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\oikea)$
tummat kirjavat härät + punaiset härät [3] $=\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\oikea)$
kirjava valkoiset härät + punaiset härät [4] $=\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\oikea)$
tumman lauman valkoiset lehmät [5:een] $=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\oikea)$
kirjavan lauman tummat lehmät [6:een] $=\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\oikea)$
punaisen lauman kirjavat lehmät [7] $=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}\right)$
valkoisen lauman punaiset lehmät [kahdeksaan] $=\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\oikea)$

Sen jälkeen Arkhimedes ehdottaa eriväristen härkien ja lehmien lukumäärän selvittämistä, mikä osoittaa, että tässä onnistunut ei ole tietämätön [11] .

Tehtävän toinen osa sisältää lisäehdot:

valkoisten ja tummien härkien lukumäärä - neliönumero
kirjavien ja punaisten härkien lukumäärä on kolmioluku

Jokainen, joka voi näissä olosuhteissa määrittää nautakarjan määrän Helioksen karjoissa Archimedesin mukaan, on viisas [12] .

Ratkaisu

Tehtävän ensimmäisen osan ratkaisu pelkistetään lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmäksi . Jos merkitsemme vastaavan väristen härkien lukumäärää symboleilla B , T , P ja R sekä lehmät - b , t , p ja p , niin ensimmäiset yhtälöt voidaan esittää seuraavasti [1] :

B T + R → 6B = 5T + 6R $=\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\oikea)$
T P + R → 20T = 9P + 20R $=\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\oikea)$
P B + R → 42P = 13B + 42R $=\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\oikea)$

Ratkaisemalla kaikki seitsemän yhtälöä peräkkäin saadaan seuraavat arvot:

B - 10 366 482
T- 7 460 514
P- 7 358 060
R - 4 149 387
b - 7 206 360
t - 4 893 246
n - 3 515 820
p — 5 439 213

Heliosin karjan kokonaismäärä oli siis 50 389 082 [13] .

Ongelman toinen osa eli ensimmäisen ja toisen osan ehdot täyttävän ratkaisun etsiminen pelkistetään Pell-yhtälöön . Hänen ratkaisunsa julkaistiin vuonna 1880 [14] . Härkien kokonaismäärä on suunnilleen yhtä suuri kuin . Kaikkien 206 545 numeron kirjoittamiseen tarvitaan 660 sivua, joissa kussakin on 2500 merkkiä. Härkäongelman ratkaisun tarkka numeerinen arvo tulostettiin ensimmäistä kertaa tietotekniikan avulla vuonna 1965 [15] . $7,76\times 10^{206544}$

Muistiinpanot

Kommentit

↑ Heitä oli kerran monta neljässä laidunnatussa laumassa.
Laumojen väri oli erilainen: toinen loisti maidonvalkoinen,
toisen lauman tumman meriaallon väri oli väri,
kolmas oli punainen. Viimeinen kirjava [3]
↑ Valkoisten härkien lukumäärä oli täsmälleen yhtä suuri kuin
tummien härkien lukumäärä, puoli ja kolmasosa ja täysin punaisia; [neljä]
↑ Neljänneksen tummien härkien määrä oli yhtä suuri
kuin Pied-sonnien lisätty viidesosa ja myös täysin punainen; [5]
↑ Härkien kirjava villa niin ajattele lukua:
kuudennen ja seitsemännen osia hopeahärkien laumasta;
Samoin tasoit kaikkien punapäiden määrän [6]
↑ Samassa laumassa oli niin monta lehmää: valkokarvaisten lehmien määrä oli
täsmälleen yhtä suuri kuin koko
neljännen ja kolmannen osan tumma lauma, jos lasket molemmat yhteen: [7]
↑ Motley-lauman neljännen osan tumma lehmien lukumäärä oli
jälleen yhtä suuri, jos siihen lisätään viides osuus [8]
↑ Niitä, joiden kirjava villa oli yhtä suuri määrä
punaista laumaa kuin osia viidennestä ja sen mukana kuudennesta [9]
↑ Keltaisten lehmien lukumääräksi katsottiin puoli kolmasosaa
valkokarjasta, ja seitsemännestä otettiin osa [10]

Lähteet

↑ 1 2 Veselovsky, 1962 , s. 373.
↑ Shchetnikov Ongelma härästä, 2004 , s. 36-40.
↑ Veselovsky, 1962 , s. 372, rivit 4-7.
↑ Veselovsky, 1962 , s. 372, rivit 9-10.
↑ Veselovsky, 1962 , s. 372, rivit 11-12.
↑ Veselovsky, 1962 , s. 372, rivit 14-16.
↑ Veselovsky, 1962 , s. 372, rivit 17-19.
↑ Veselovsky, 1962 , s. 372, rivit 20-21.
↑ Veselovsky, 1962 , s. 372, rivit 23-24.
↑ Veselovsky, 1962 , s. 372, rivit 25-26.
↑ Veselovsky, 1962 , s. 372, rivit 30.
↑ Veselovsky, 1962 , s. 373, rivit 43-44.
↑ Lenstra, 2002 , s. 187.
↑ Krumbiegel, 1880 .
↑ Harold Alkema ja Kenneth McLaughlin. Tietojenkäsittelyn eriyttäminen Waterloon yliopistossa . Waterloon yliopisto (2007). Haettu 5. huhtikuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 4. huhtikuuta 2011. (määrätön) (sisältää kuvia)

Kirjallisuus

Archimedes. Teokset / I. N. Veselovskin käännös, johdantoartikkeli ja kommentit . B. A. Rosenfeldin arabiankielisten tekstien käännös. - M. : Valtion fyysisen ja matemaattisen kirjallisuuden kustantamo, 1962. - 640 s. - 4000 kappaletta. (Venäjän kieli)
Shchetnikov A.I. Archimedesin Bulls-ongelma, Eukleideen algoritmi ja Pellin yhtälö // Matematiikka korkeakoulussa. - 2004. - Nro 2 . - S. 27-40 .
B. Krumbiegel, A. Amthor. Das Problema Bovinum des Archimedes // Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik. - 1880. - T. 25 . — S. 121–136, 153–171 .
Lenstra HW Jr. Pell-yhtälön ratkaiseminen // Notices of the American Mathematical Society . - 2002. - Voi. 49 , ei. 2 . - s. 182-192 .
Dorrie, Heinrich. Archimedes' Problema Bovinum // 100 alkeismatematiikan suurta ongelmaa (englanniksi) . - Dover Publications , 1965. - S. 3-7.
Williams, H.C.; German, R.A.; Zarnke, CR Arkhimedesen karjaongelman ratkaisu // Laskennan matematiikka : päiväkirja. - American Mathematical Society , 1965. - Voi. 19 , ei. 92 . -P . s . 671-674 . doi : 10.2307 / 2003954 . — .
Vardi, I. Archimedes' Cattle Problem // American Mathematical Monthly : Journal . - Mathematical Association of America, 1998. - Voi. 105 , no. 4 . -P . s . 305-319 . - doi : 10.2307/2589706 .
Benson, G. Archimedes runoilija: Yleinen innovaatio ja matemaattinen fantasia karjaongelmassa // Arethusa: Journal. - Johns Hopkins University Press, 2014. - Voi. 47 , nro. 2 . -P . s . 169-196 . - doi : 10.1353/are.2014.0008 .

Linkit

Bell, A. H. (1895), "Nautakarjaongelma". Kirjailija: Archimedes 251 eKr ., The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America). — V. 2 (5): 140–141 , DOI 10.2307/2968125

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)

Matematiikka antiikin Kreikassa
Matemaatikot	Autolycus Anaxagoras Anfimy Apollonius Aristarch Aristaeus Archimedes arkkitehti bion Boethius Bryson of Heracles Gemin Harmaahaikara Hypatia Hipparkhos hippat Hippias Hippokrates Hypsielinen Demokritos Dicaearchus Dinostrat Diocles Diophantus Domnin Evdem Eudoxus Euclid Evtokii Zenodor Seno Sidonista Zeno Eleasta Isidore Callippus Karppi Cleomedes Conon Xenokrates Ctesibius Matemaatikko Lev Marin Menelaus Menechmus Nicomachus nycomedes Papp Perseus Pythagoras Porfiry Posidonius Proclus Ptolemaios Seesteinen Symplicius Sosigen Aleksandrian Theon Smyrnan Theon Theaetetus Timarid Thales Theano Theodore Theodosius Philolaus Chrysippus enopidinen Eratosthenes
traktaatit	Almagest Johdatus aritmetiikkaan Aritmeettinen Archimedesin härkäongelma Hiekanjyvien laskenta Alkuja Tietoja liikkuvasta pallosta Tietoja pallosta ja sylinteristä Arkhimedesen palimpsest Työskentele kartiomaisilla osilla
Vaikutuksen alaisena	Babylonian matematiikka muinainen egyptilainen matematiikka
Vaikutus	eurooppalainen matematiikka Intialainen matematiikka Keskiaikainen islamilainen matematiikka
taulukoita	Kreikkalaisten matemaatikoiden kronologinen taulukko
Tehtävät	Apolloniuksen ongelma Ympyrän neliöinti Kulman kolmiosa Kuution tuplaaminen