Pellin yhtälö

Matematiikassa Pellin yhtälö on muodon diofantiiniyhtälö

x^{2}-ny^{2}=1,

missä on luonnollinen luku, joka ei ole neliö. $n$

Yksinkertaisimmat ominaisuudet

Parit ovat aina ratkaisuja, joita kutsutaan triviaaleiksi . $(\pm 1,\,0)$
Symmetrian kannalta riittää, että kaikki ratkaisut löytyvät positiivisilla ja . $x$ $y$
Jos on täydellinen neliö , niin yhtälöllä ei ole ei-triviaaleja ratkaisuja, koska vasemmalla puolella on kahden täydellisen neliön erotus, mikä selittää parametrin rajoituksen . $n$ $n$

Vastaavat formulaatiot ja yhteys kenttäteoriaan

Pari on ratkaisu Pellin yhtälöön silloin ja vain, jos kentän laajennuksen luvun normi on yhtä suuri kuin yksi: $(x, y)$ $x+y{\sqrt {n}}$ $\mathbb{Q} ({\sqrt {n}})$ $\mathbb {Q}$

N(x+y{\sqrt {n}})=(x+y{\sqrt {n}})(xy{\sqrt {n}})=x^{2}-ny^{2 }.

Erityisesti renkaan identiteetti vastaa ratkaisua . Siksi ja myös normin moninkertaisuudesta johtuen ratkaisut voivat olla sekä "kertojaa" että "jaettu": ratkaisuja ja ne voidaan yhdistää ratkaisuihin ${\mathbb {Z}}[{\sqrt {n}}]$ $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$

(x_{1}x_{2}+ny_{1}y_{2},\;x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}),\quad (x_{1} x_{2}-ny_{1}y_{2},\;-x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}).

Lisäksi ei-triviaalien ratkaisujen olemassaolo voidaan siten päätellä Dirichlet'n yksikkölauseesta (joka tässä tapauksessa todetaan, että laajennuksen kokonaislukurenkaan yksikköryhmän arvo on 1). $\mathbb{Q} ({\sqrt {n}})$

Yhteys jatkuviin murtolukuihin

On helppo nähdä, että suurille ja , jotka ovat Pell-yhtälön ratkaisuja, suhteen tulisi olla lähellä . Osoittautuu, että vahvempi väite on myös totta: tällaisen murtoluvun on oltava konvergentti kohteelle , ja seuraava kriteeri pätee : $x$ $y$ $x/y$ ${\sqrt {n}}$ ${\sqrt {n}}$

For konvergentin osoittaja ja nimittäjä ovat ratkaisu Pellin yhtälöön silloin ja vain, jos tämän konvergentin luku on pariton ja sitä voidaan verrata moduloon , jossa on jatkuvan murto-osan jakso for . ${\sqrt {n}}$ $-yksi$ $P$ $P$ ${\sqrt {n}}$

Historia

Ensimmäinen maininta tällaisesta yhtälöstä löydettiin muinaisen Kreikan ja muinaisen Intian matemaatikoiden teoksista. Yleinen menetelmä yhtälön ratkaisemiseksi - niin kutsuttu "syklinen menetelmä" - on kuitenkin olemassa 7. vuosisadan intialaisen matemaatikon Brahmaguptan teoksissa ilman todisteita siitä, että tämä menetelmä johtaa aina ratkaisuun. Yleisesti ottaen ongelman muotoili ranskalainen matemaatikko Pierre Fermat , joten Ranskassa tätä yhtälöä kutsutaan " Fermat'n yhtälöksi ". Yhtälön moderni nimi syntyi Leonard Eulerin ansiosta , joka vahingossa katsoi kirjoittajan John Pellin .

Katso myös

Matiyasevichin lause
Hilbertin kymmenes ongelma
Chakravala- menetelmä on menetelmä pienimmän ei-triviaalin ratkaisun löytämiseen.
ketju laukaus

Kirjallisuus

Bugaenko V. O. Pellin yhtälöt . - M .: MTSNMO , 2001. - ISBN 5-900916-96-0 .
Bukhshtab A.A. Numeroteoria . - M .: Uchpedgiz , 1960.
Van der Waerden . Pellin yhtälö kreikkalaisten ja intiaanien matematiikassa // Uspekhi Mat. - 1976. - T. 31 , no. 5(191) . - S. 57-70 .
Senderov V., Spivak A. Pellin yhtälöt (osa I) // Kvant . - 2002. - Nro 3 . - S. 2-9 .
Spivak A. Pellin yhtälöt (osa II) // Kvant . - 2002. - Nro 4 . - S. 5-11 .
Spivak A. Pellin yhtälöt (osa III) // Kvant . - 2002. - Nro 6 . - S. 10-15 .