Diofantin yhtälö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20. helmikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Diofantiiniyhtälö (myös kokonaislukuina oleva yhtälö ) on yhtälö muotoa

P(x_{1},\pisteet,x_{m})=0,

jossa on kokonaislukufunktio , esimerkiksi polynomi kokonaislukukertoimilla, ja muuttujat saavat kokonaislukuarvot. "Diofantiini"-yhtälö on nimetty antiikin kreikkalaisen matemaatikon Diophantuksen mukaan . $P$ $x_{i}$

Ratkaisevuuskysymystä pohdittaessa muuttujat jaetaan usein parametreihin (jonka arvot oletetaan olevan kiinteitä) ja tuntemattomiin. Siis yhtälö

P(a_{1},\dots ,a_{n},x_{1},\dots ,x_{m})=0,

parametrien ja tuntemattomien kanssa katsotaan ratkaistavana parametrijoukon annetuille arvoille, jos on olemassa joukko lukuja , joille tämä yhtäläisyys toteutuu. $a_{1},\pisteet ,a_{n}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m))$ ${\näyttötyyli (a_{1},\pisteet ,a_{n})}$ ${\näyttötyyli (x_{1},\pisteet ,x_{m})}$

Siten diofantiiniyhtälöitä kutsutaan yhtälöiksi, joissa on kokonaislukukerroin, joille on löydettävä kokonaisluku (tai luonnollinen) ratkaisu. Tässä tapauksessa yhtälön tuntemattomien lukumäärän on oltava vähintään kaksi [1] . Yhtälöt saivat nimensä erinomaisen muinaisen matemaatikon Diophantuksen Aleksandrialaisen kunniaksi , jonka uskotaan ensimmäisenä tutkineen systemaattisesti epämääräisiä yhtälöitä ja kuvailevan menetelmiä niiden ratkaisemiseksi [2] . Kaikki säilyneet tietueet on koottu kirjaan "Aritmetiikka" [3] . Diophantuksen jälkeen hindujen matemaatikot suorittivat samanlaisen tutkimuksen epämääräisistä yhtälöistä noin viidennellä vuosisadalla [4] . Euroopassa käytännössä kaikki aikansa suuret algebrastit ratkaisivat epämääräisiä yhtälöitä: Leonardo Fibonacci (n. 1170-1250), Francois Viet (1540-1603), Simon Stevin (n. 1549-1620) [5] .

Kokonaisluvuilla olevien yhtälöiden ratkaisemisen ongelmaa tarkastellaan loppuun yhtälöille, joissa on yksi tuntematon, sekä ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöille, joissa on kaksi tuntematonta.

Esimerkkejä

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$ :
- Tämän yhtälön ratkaisut ovat Pythagoraan kolmoiskappaleita . $n = 2$
- Fermatin viimeisen lauseen mukaan tällä yhtälöllä ei ole nollasta poikkeavia kokonaislukuratkaisuja . $n>2$
$\sum \limits _{{k=1}}^{{n-1}}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}$ - Eulerin hypoteesi väittää, että mille tahansa luonnolliselle luvulle n > 2 tämä yhtälö on ratkaisematon luonnollisissa luvuissa , eli mikään luonnollisen luvun n:s potenssi ei voi olla muiden luonnollisten lukujen n -1 n:nnen potenssin summa. Hypoteesi on yleistys Fermatin viimeisestä lauseesta, mutta se kumottiin arvoilla n = 4 ja n = 5, minkä jälkeen esitettiin Lander-Parkin-Selfridge-oletus . $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$
$x^{2}-ny^{2}=1$ , jossa parametri n ei ole tarkka neliö - Pellin yhtälö .
$x^{z}-y^{t}=1$ , jossa on katalaani yhtälö , jolla on ainutlaatuinen ratkaisu . $z,t>1$ $3^{2}-2^{3}=1$
$\sum _{{i=0}}^{n}a_{i}x^{i}y^{{ni}}=c$ sillä ja on Thue-yhtälö . $n\geq 3$ $c\neq 0$

Lineaariset diofantiiniyhtälöt

Lineaarisen diofantiiniyhtälön yleinen näkymä :

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{k}x_{k}=d.

Erityisesti lineaarisella diofantiiniyhtälöllä, jossa on kaksi tuntematonta , on muoto:

ax+by=c.\qquad (1)

Jos (eli suurin yhteinen jakaja ei jaa ), yhtälö (1) ei ole ratkaistavissa kokonaislukuina. Todellakin, jos , niin vasemmalla oleva numero kohdassa (1) on jaollinen luvulla , mutta oikealla oleva numero ei. Päinvastoin on myös totta: jos yhtälö pätee , niin se on ratkaistavissa kokonaislukuina. $(a,b)\nkeski c$ $(a,\;b)$ $c$ $(a,\;b)\neq 1$ $(a,\;b)$ $ax+by=c$ $(a,b)\mid c$

Antaa olla erityinen ratkaisu yhtälöön . Sitten kaikki sen ratkaisut löydetään kaavoilla: $(x_{0},\;y_{0})$ $ax+by=c$

{\begin{cases}x=x_{0}-n{\frac {b}{(a,\;b)}}\\y=y_{0}+n{\frac {a}{ (a,\;b)}}\end{cases}}\quad n\in \mathbb {Z} .

Erityinen ratkaisu voidaan rakentaa seuraavasti. Jos ja on jaollinen , niin kaikkien kertoimien jakamisen jälkeen yhtälö saa muodon , jossa . Viimeiselle yhtälölle erityinen ratkaisu saadaan Bezout- relaatiosta : $(x_{0},\;y_{0})$ $(a,b)\neq 1$ $c$ $(a, b)$ $(a, b)$ $a_{1}x+b_{1}y=c_{1}$ $(a_{1},b_{1})=1$ ${\näyttötyyli a_{1},b_{1}}$

ua_{1}+vb_{1}=1,

josta voi laittaa $(x_{0},\;y_{0})=(c_{1}\cdot u,\;c_{1}\cdot v).$

Lineaarisen yhtälön [6] ratkaisusarjalle on olemassa eksplisiittinen kaava :

{\begin{cases}x_{t}=ca^{\varphi (b)-1}+bt,\\y_{t}=c{\frac {1-a^{\varphi (b) }}{b}}-at,\end{cases}}

missä on Euler-funktio ja t on mielivaltainen kokonaislukuparametri. $\varphi (\cdot )$

Algebralliset diofantiiniyhtälöt

Kun tarkastellaan kysymystä algebrallisten diofantiiniyhtälöiden ratkaistavuudesta, voidaan käyttää sitä tosiasiaa, että mikä tahansa tällaisten yhtälöiden järjestelmä voidaan muuntaa yhdeksi diofantiiniyhtälöksi, jonka aste on enintään 4 ei-negatiivisilla kokonaisluvuilla, jotka voidaan ratkaista, jos ja vain, jos alkuperäinen järjestelmä on ratkaistavissa (tässä tapauksessa muuttujien joukko ja tämän uuden yhtälön ratkaisut voivat osoittautua täysin erilaisiksi).

Diofantiinisarjat

Diofantiinijoukko on joukko, joka koostuu järjestetyistä n kokonaisluvun joukosta, joille on olemassa algebrallinen diofantiiniyhtälö:

P(a_{1},\dots ,a_{n},x_{1},\dots ,x_{m})=0,

joka on ratkaistavissa silloin ja vain, jos lukujoukko kuuluu tähän joukkoon. Tarkasteltavana olevaa diofantiiniyhtälöä kutsutaan tämän joukon diofantiniseksi esitykseksi . Yu. V. Matiyasevichin saavuttama tärkeä tulos on se, että jokaisella numeroitavalla joukolla on diofantiiniesitys [7] . ${\näyttötyyli (a_{1},\pisteet ,a_{n})}$

Yleinen päättämättömyys

Hilbertin kymmenes tehtävä , joka muotoiltiin vuonna 1900 , on löytää algoritmi mielivaltaisten algebrallisten diofantiiniyhtälöiden ratkaisemiseksi. Vuonna 1970 Yu. V. Matiyasevitš osoitti tämän ongelman algoritmisen ratkaisemattomuuden . [kahdeksan]

Eksponentiaaliset diofantiiniyhtälöt

Jos diofantiiniyhtälön yksi tai useampi muuttuja sisältyy potenssiin nostamisen eksponentin lausekkeeseen , tällaista diofantiiniyhtälöä kutsutaan eksponentiaaliseksi .

Esimerkkejä:

Ei ole olemassa yleistä teoriaa tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi; erikoistapauksia, kuten katalaanihypoteesia , on tutkittu. Suurin osa näistä yhtälöistä onnistuu kuitenkin ratkaisemaan erityismenetelmin, kuten Sturmer-lauseen tai jopa yrityksen ja erehdyksen avulla .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ . Abakumova SI, Guseva AN Diofantiiniyhtälöt Perus- ja soveltavaa tutkimusta nykymaailmassa. - 2014. - V. 1, nro 6. - S. 133-137.
↑ Bashmakova I. G. Diofantiini- ja diofantiiniyhtälöt - Moskova: Nauka, 1972. - 68 s.
↑ Zhmurova, I. Yu. Diofantiiniyhtälöt: antiikista nykypäivään. Nuori tiedemies. - 2014. - Nro 9. -S. 1-5
↑ Kozhaev, Yu. P. Kreikkalainen matemaatikko Diophantus ja Diofantin yhtälöt. IV koko venäläisen tieteellisen ja käytännön konferenssin "Kulttuuri ja yhteiskunta: historia ja nykyaika" materiaalit - Stavropol: AGRUS. - 2015. - S. 150-154.
↑ Melnikov R. A. Lyhyt katsaus diofantiiniyhtälöiden kehitysvaiheisiin. Kansainvälisen tieteellis-käytännöllisen konferenssin "Matematiikka: perus- ja soveltava tutkimus ja koulutus" aineisto - Ryazan: Venäjän valtionyliopiston kustantamo. S. A. Yesenina, 2016. - S. 429-435.
↑ Vorobjov N. N. Jakautuvuuden merkit . - M .: Nauka, 1988. - S. 60. - 96 s. - ( Suosittuja matematiikan luentoja ).
↑ Diofantiinisarja - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista . Yu. V. Matiyasevitš
↑ Matiyasevitš Yu. V. Hilbertin kymmenes tehtävä . - M .: Nauka, 1993.

Linkit

Bashmakova, Isabella G. Diofantiini- ja diofantiiniyhtälöt. M.: Nauka, 1972. Saksankielinen käännös: Diophant und diophantische Gleichungen . Birkhauser, Basel/Stuttgart, 1974. Englanninkielinen käännös: Diophantus and Diophantine Equations . Kääntäjä Abe Shenitzer Hardy Grantin toimituksellisella avustuksella ja päivittänyt Joseph Silverman. Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
Bashmakova, Isabella G., Slavutin E.I. Diofantiinianalyysin historia Diophantuksesta Fermatiin . Moskova: Nauka, 1984.
Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat", Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), s. 289-306
Bashmakova, Izabella G. "Algebrallisten käyrien aritmetiikka Diophantuksesta Poincareen", Historia Mathematica 8 (1981), 393-416.
Gelfond AO Yhtälöiden ratkaisu kokonaislukuina . - M . : Nauka, 1978. - ( Suosittuja matematiikan luentoja ).
Mikhailov, I. Diofantiinianalyysistä , Kvant . - 1980. - Nro 6 . - S. 16-17.35 .
Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. Les Arithmétiques de Diophante: Lecture Historique et mathématique , Berliini, New York: Walter de Gruyter, 2013.
Rashed, Roshdi, Histoire de l'analyse diophantienne classique: D'Abū Kāmil à Fermat , Berliini, New York: Walter de Gruyter.
Serpinsky VN Yhtälöiden ratkaisusta kokonaislukuina . - M .: Fizmatlit, 1961. - 88 s.
Stepanov S. A. Diofantiiniyhtälöt // Tr. MIAN Neuvostoliitto. - 1984. - T. 168 . — s. 31–45 .
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .