Matematiikan historia

Matematiikan historia
Pääteema matematiikka
Stack Exchange -verkkosivusto hsm.stackexchange.com
 Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa
Tieteen historia
Aiheen mukaan
Matematiikka
Luonnontieteet
Tähtitiede
Biologia
Kasvitiede
Maantiede
Geologia
maaperätiede
Fysiikka
Kemia
Ekologia
Yhteiskuntatieteet
Tarina
Kielitiede
Psykologia
Sosiologia
Filosofia
Talous
Tekniikka
Tietokonetekniikka
Maatalous
Lääke
Navigointi
Luokat

Tämä artikkeli on katsaus matematiikan historian tärkeimpiin tapahtumiin ja suuntauksiin muinaisista ajoista nykypäivään.

Matematiikan historiassa on useita matematiikan historian luokituksia, joista yhden mukaan matemaattisen tiedon kehityksessä erotetaan useita vaiheita:

  1. Geometrisen hahmon ja luvun käsitteen muodostuminen todellisten esineiden ja homogeenisten objektijoukkojen idealisointina . Laskennan ja mittauksen synty, joka mahdollisti eri lukujen, pituuksien, pinta-alojen ja tilavuuksien vertailun.
  2. Aritmeettisten operaatioiden keksintö. Kerää empiirisesti (yrityksen ja erehdyksen avulla) tietoa aritmeettisten operaatioiden ominaisuuksista, yksinkertaisten kuvioiden ja kappaleiden pinta-alojen ja tilavuuksien mittausmenetelmistä. Antiikin sumero-babylonialaiset , kiinalaiset ja intialaiset matemaatikot edistyivät pitkälle tähän suuntaan .
  3. Muinaisessa Kreikassa ilmaantui deduktiivinen matemaattinen järjestelmä, joka osoitti kuinka saada uusia matemaattisia totuuksia olemassa olevien totuuksien perusteella. Eukleideen elementeistä , joka toimi matemaattisen kurinalaisuuden standardina kahden vuosituhannen ajan, tuli antiikin Kreikan matematiikan kruunaus .
  4. Islamilaisten maiden matemaatikot eivät vain säilyttäneet muinaisia ​​saavutuksia, vaan pystyivät myös syntetisoimaan ne intialaisten matemaatikoiden löydöksillä, jotka edistyivät kreikkalaisia ​​pitemmälle lukuteoriassa.
  5. 1500-1700-luvuilla eurooppalainen matematiikka syntyi uudelleen ja kehittyi pitkälle. Sen käsitteellinen perusta tällä ajanjaksolla oli uskomus siitä, että matemaattiset mallit ovat eräänlainen maailmankaikkeuden ihanteellinen luuranko [1] , ja siksi matemaattisten totuuksien löytäminen on samalla todellisen maailman uusien ominaisuuksien löytämistä. Suurin menestys tällä tiellä oli matemaattisten mallien kehittäminen muuttujien riippuvuudesta ( funktio ) ja yleinen liiketeoria ( infinitesimaalien analyysi ). Kaikki luonnontieteet rakennettiin uudelleen vasta löydettyjen matemaattisten mallien pohjalta, ja tämä johti niiden valtavaan edistymiseen .
  6. 1800- ja 1900-luvuilla käy selväksi, että matematiikan ja todellisuuden suhde ei ole läheskään niin yksinkertainen kuin ennen näytti. Ei ole olemassa yleisesti hyväksyttyä vastausta eräänlaiseen " matematiikan filosofian peruskysymykseen " [2] : löytää syy "matematiikan käsittämättömään tehokkuuteen luonnontieteissä" [3] . Tässä, eikä vain tässä suhteessa, matemaatikot ovat jakautuneet moniin väittelykouluihin . Useita vaarallisia suuntauksia on noussut esiin [4] : ​​liian kapea erikoistuminen, eristäytyminen käytännön ongelmista jne. Samaan aikaan matematiikan voima ja sen arvovalta, jota sen soveltamisen tehokkuus tukee, on korkealla kuin koskaan ennen.

Suuren historiallisen mielenkiinnon lisäksi matematiikan kehityksen analyysillä on suuri merkitys matematiikan filosofian ja metodologian kehitykselle . Usein historian tuntemus edistää myös tiettyjen matemaattisten tieteenalojen edistymistä; esimerkiksi muinainen kiinalainen ongelma (lause) jäännöksistä muodosti kokonaisen lukuteorian osan - kongruenssiteorian modulo [5] .

Aritmetiikan ja geometrian syntyminen

Matematiikka inhimillisen tiedon järjestelmässä on osio, joka käsittelee sellaisia ​​käsitteitä kuin määrä , rakenne , suhde jne. Matematiikan kehitys alkoi käytännöllisten viivojen , pintojen ja tilavuuksien laskemisen ja mittaamisen taitojen luomisesta .

Luonnollisten lukujen käsite muodostui vähitellen ja monimutkaistui primitiivisen ihmisen kyvyttömyydestä erottaa numeerista abstraktiota sen konkreettisesta esityksestä. Tämän seurauksena tili jäi pitkään vain materiaaliksi - käytettiin sormia, kiviä, jälkiä jne. Arkeologi B. A. Frolov perustelee tilin olemassaolon jo ylemmällä paleoliittilla [6] .

Laskennan leviämisen myötä suurempiin määriin syntyi ajatus laskea yksiköiden lisäksi myös niin sanotusti yksikköpakkauksilla, jotka sisältävät esimerkiksi 10 esinettä. Tämä ajatus heijastui heti kielessä ja sitten kirjallisesti. Numeron nimeämisen tai kuvaamisen (numeroinnin) periaate voi olla [7] :

Tilin tulosten muistamiseksi käytettiin lovia, solmuja jne. Kirjoituksen keksimisen myötä kirjaimia tai erityisiä kuvakkeita alettiin käyttää suurten numeroiden lyhentämiseen. Tällaisella koodauksella toistettiin yleensä sama numerointiperiaate kuin kielellä.

Numeroiden nimet kahdesta (zwei, kaksi, duo, deux, dvi, kaksi ...) kymmeneen, samoin kuin kymmenet ja numero 100 indoeurooppalaisilla kielillä ovat samanlaisia. Tämä viittaa siihen, että abstraktin luvun käsite ilmestyi hyvin kauan sitten, jopa ennen näiden kielten erottamista. Useimpien kansojen numeroiden muodostuksessa numerolla 10 on erityinen asema, joten on selvää, että sormilla laskeminen oli yleistä. Täältä tulee kaikkialla oleva desimaalilukujärjestelmä . Vaikka poikkeuksiakin on: ranskaksi 80 on quatre-vingt (eli 4 kaksikymmentä) ja 90 on quatre-vingt-dix (4 * 20 + 10); tämä käyttö juontaa juurensa sormiin ja varpaisiin laskemiseen. Tanskan, Ossetian ja Abhasian kielten numerot on järjestetty samalla tavalla. Georgian kielellä laskeminen kahdella on vielä selvempi. Sumereja ja atsteekkeja pidettiin kielestä päätellen alun perin viitosina.

On myös eksoottisempia vaihtoehtoja. Babylonialaiset käyttivät seksagesimaalijärjestelmää tieteellisissä laskelmissa . Ja Torresin salmen saarten alkuasukkaat - binääri [7] :

Urapun (1); Okoza (2); Okoza-Urapun (3); Okoza-Okoza (4); Okoza-Okoza-Urapun (5); Okoza-Okoza-Okoza(6)

Kun abstraktin luvun käsite vihdoin luotiin, operaatioista numeroilla tuli seuraava askel. Luonnollinen luku  on homogeenisten, pysyvien ja jakamattomien objektien (ihmiset, lampaat, päivät jne.) rajallisen joukon idealisaatio [8] . Laskemista varten sinulla on oltava matemaattiset mallit sellaisista tärkeistä tapahtumista kuin useiden joukkojen yhdistäminen yhdeksi tai päinvastoin joukon osan erottaminen. Näin ilmestyivät yhteen- ja vähennysoperaatiot [9] . Luonnollisten lukujen kertolasku ilmaantui niin sanotusti erän yhteenlaskuksi [10] . Toiminnan ominaisuudet ja yhteydet selvisivät vähitellen.

Toinen tärkeä käytännön toiminta - osiin jakaminen - päätyi lopulta neljänteen aritmeettiseen operaatioon - jakoon [11] . Jakaminen 10 osaan on vaikeaa, joten monimutkaisissa laskelmissa kätevät desimaalimurtoluvut ilmestyivät suhteellisen myöhään. Ensimmäisten murtolukujen nimittäjä oli yleensä 2, 3, 4, 8 tai 12. Esimerkiksi roomalaisten keskuudessa standardimurtoluku oli unssi (1/12). Keskiaikaisissa raha- ja mittausjärjestelmissä on selkeä jälki muinaisista ei-desimaalijärjestelmistä: 1 Englannin penni \u003d 1/12 shillinkiä , 1 tuuma \u003d 1/12 jalkaa , 1 jalka \u003d 1/3 jaardia jne.

Noin samaan aikaan kuin numerot, ihminen abstrahoi litteitä ja tilallisia muotoja. He saivat yleensä heidän kaltaistensa todellisten esineiden nimet: esimerkiksi kreikkalaisten keskuudessa " rombos " tarkoittaa yläosaa, "trapedsion" - pöytä ( trapetsi ), " pallo " - pallo [12] .

Mittausteoria ilmestyi paljon myöhemmin, ja se sisälsi usein virheitä: tyypillinen esimerkki on väärä oppi kuvioiden pinta-alojen ja niiden ympärysmittojen yhtäläisyydestä ja päinvastoin. Tämä ei ole yllättävää: mittausköysi, jossa oli solmuja tai merkkejä, toimi mittausvälineenä, joten ympärysmitta oli mahdollista mitata vaivattomasti, eikä yleensä ollut työkaluja tai matemaattisia menetelmiä alueen määrittämiseen. Mittaukset toimivat murtolukujen tärkeimpänä sovelluksena ja niiden teorian kehittämisen lähteenä.

Muinainen itä

Egypti

Vanhimmat egyptiläiset matemaattiset tekstit ovat peräisin 2. vuosituhannen alusta eKr. e. Matematiikkaa käytettiin sitten tähtitiedessä, navigoinnissa, maanmittauksessa, talojen, patojen, kanavien ja sotilaslinnoitusten rakentamisessa. Egyptissä ei ollut rahallisia ratkaisuja, kuten raha itse. Egyptiläiset kirjoittivat papyrukselle, joka on huonosti säilynyt, ja siksi Egyptin matematiikasta on tällä hetkellä paljon vähemmän tietoa kuin Babylonin tai Kreikan matematiikasta. Se oli luultavasti paremmin kehitetty kuin meille tulleista asiakirjoista voidaan kuvitella, minkä vahvistaa se tosiasia, että kreikkalaiset matemaatikot opiskelivat egyptiläisten kanssa [C 1] .

Tärkeimmät säilyneet lähteet ovat Ahmesin papyrus , eli Rinda-papyrus (84 matemaattista tehtävää) ja Moskovan Golenishchev-papyrus (25 tehtävää), molemmat muinaisen egyptiläisen kulttuurin kukoistuskaudesta, Keski-valtakunnasta . Tekstin kirjoittajat ovat meille tuntemattomia.

Kaikki tehtävät Ahmesin papyruksesta (kirjoitettu noin 1650 eKr.) ovat luonnossa sovellettavia ja liittyvät rakentamiseen, tonttien rajaamiseen jne. Tehtävät ei ole ryhmitelty menetelmien, vaan aiheen mukaan. Nämä ovat suurimmaksi osaksi tehtäviä kolmion, nelikulmion ja ympyrän pinta-alojen etsimiseen, erilaiset operaatiot kokonaislukujen ja osamurtolukujen kanssa , suhteellinen jako, suhteiden löytäminen, eri potenssien korottaminen, aritmeettisen keskiarvon määrittäminen , aritmeettiset progressiot , yhtälöiden ratkaiseminen ensimmäisen ja toisen asteen yksi tuntematon [13] .

Ei ole minkäänlaista selitystä tai todistetta. Haluttu tulos annetaan joko suoraan tai annetaan lyhyt algoritmi sen laskentaa varten.

Tämä muinaisen idän maiden tieteelle tyypillinen esitystapa viittaa siihen, että siellä matematiikka kehittyi induktiivisten yleistysten ja olettamusten avulla, jotka eivät muodostaneet mitään yleistä teoriaa. Siitä huolimatta papyruksessa on useita todisteita siitä, että noiden vuosien muinaisen Egyptin matematiikalla oli tai ainakin alkoi saada teoreettista luonnetta. Joten egyptiläiset matemaatikot osasivat erottaa juuria ja nostaa potenssiin, ratkaista yhtälöitä, tunsivat aritmeettisen ja geometrisen progression ja jopa omistivat algebran alkeet : yhtälöitä ratkaistaessa erityinen hieroglyfi "kasa" merkitsi tuntematonta.

Geometrian alalla egyptiläiset tiesivät tarkat kaavat suorakulmion , kolmion ja puolisuunnikkaan pinta-alalle . Mielivaltaisen nelikulmion, jonka sivut ovat a, b, c, d, pinta-ala laskettiin noin

Tämä karkea kaava antaa hyväksyttävän tarkkuuden, jos kuva on lähellä suorakulmiota. Ympyrän pinta-ala laskettiin oletuksen perusteella

= 3,1605 (virhe alle 1 %) [14] .

Egyptiläiset tiesivät tarkat kaavat suuntaissärmiön ja erilaisten lieriömäisten kappaleiden tilavuudelle sekä pyramidille ja katkaistulle pyramidille. Olkoon säännöllinen katkaistu pyramidi, jonka alemman kannan sivu on a , ylempi b ja korkeus h ; sitten tilavuus laskettiin alkuperäisen, mutta tarkan kaavan mukaan:

.

Egyptin matematiikan aikaisemmasta kehityksestä ei ole tietoa. Suunnilleen myöhemmin, hellenismin aikakauteen asti  - myös. Ptolemaiosten liittymisen jälkeen Egyptin ja Kreikan kulttuurien erittäin hedelmällinen synteesi alkaa.

Babylon

Babylonialaiset kirjoittivat nuolenkirjoituksella savitauluihin, joita on säilynyt huomattavia määriä tähän päivään asti (yli 500 tuhatta, joista noin 400 liittyy matematiikkaan). Siksi meillä on melko täydellinen kuva Babylonian valtion tiedemiesten matemaattisista saavutuksista . Huomaa, että babylonialaisen kulttuurin juuret periytyivät suurelta osin sumerilta  - nuolenkirjoitus, laskentatekniikat jne.

Babylonian laskentatekniikka oli paljon täydellisempi kuin egyptiläinen , ja ratkaistavien tehtävien kirjo oli paljon laajempi. On tehtäviä toisen asteen yhtälöiden, geometristen progressioiden ratkaisemiseksi . Ratkaisussa käytettiin suhteita , aritmeettisia keskiarvoja ja prosentteja. Menetelmät työskennellä etenemisen kanssa olivat syvempiä kuin egyptiläisten . Lineaariset ja toisen asteen yhtälöt ratkaistiin jo Hammurabin aikakaudella ; samalla kun käytettiin geometrista terminologiaa ( tuloa ab kutsuttiin alueeksi, abc :tä  tilavuudeksi jne.). Monet monomialeihin tarkoitetuista kuvakkeista olivat sumerilaisia, mistä voidaan päätellä näiden algoritmien antiikki ; näitä merkkejä käytettiin algebrassamme tuntemattomien kirjainmerkinnöinä. On myös kuutioyhtälöitä ja lineaarisia yhtälöjärjestelmiä . Planimetrian kruunu oli Pythagoraan lause , joka tunnettiin jo Hammurabin aikakaudella.

Sumerit ja babylonialaiset käyttivät 60 paikannuslukujärjestelmää , joka on ikuistettu jakamalla ympyrän 360°, tunti 60 minuuttiin ja minuutti 60 sekuntiin. Kertomiseen käytettiin isoa taulukkojoukkoa. Neliöjuurien laskemiseksi babylonialaiset keksivät iteratiivisen prosessin: aiemmasta saatiin uusi likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmän kaavaa :

Geometriassa tarkasteltiin samoja kuvioita kuin Egyptissä , plus ympyrän segmentti ja katkaistu kartio . Varhaiset asiakirjat ehdottavat ; myöhemmin kohdataan likiarvo 25/8 = 3,125. Babylonialaiset osasivat laskea säännöllisten polygonien pinta-alat ; Ilmeisesti he tunsivat samankaltaisuuden periaatteen. Epäsäännöllisten nelikulmioiden alueella käytettiin samaa likimääräistä kaavaa kuin Egyptissä :

.

Siitä huolimatta Babylonian matematiikan rikkaalla teoreettisella perustalla ei ollut kokonaisvaltaista luonnetta, ja se pelkistettiin joukoksi erilaisia ​​tekniikoita, joilla ei ollut todisteita. Järjestelmällinen demonstratiivinen lähestymistapa matematiikkaan ilmestyi vain kreikkalaisten keskuudessa .

Kiina

Muinaisessa Kiinassa numeroita merkittiin erityisillä hieroglyfeillä , jotka ilmestyivät 2. vuosituhannella eKr. e., ja heidän merkkinsä vahvistettiin lopulta III vuosisadalla eKr. e. Nämä hieroglyfit ovat edelleen käytössä. Kiinalainen tapa kirjoittaa numeroita oli alun perin kertova. Esimerkiksi numeron 1946 syöttäminen, jossa käytetään roomalaisia ​​numeroita hieroglyfien sijaan, voidaan esittää ehdollisesti muodossa 1M9S4X6. Käytännössä laskelmat tehtiin kuitenkin laskentalaudalla, jossa numeroiden merkintä oli erilainen - paikkakunnallinen, kuten Intiassa, ja toisin kuin babylonialaiset, desimaali [15] .

Laskelmat tehtiin erityisellä suanpan- laskentataululla (katso kuva), käyttöperiaatteen mukaisesti, venäläisten tilien tapaan . Nollaa osoitti ensin tyhjä tila, erityinen hieroglyfi ilmestyi noin 1100-luvulla jKr. e. Kertotaulukon muistamiseksi oli erityinen kappale, jonka oppilaat opettelivat ulkoa.

Muinaisen Kiinan merkityksellisin matemaattinen teos on Mathematics in Nine Books .

Kiinalaiset tiesivät paljon, mukaan lukien: kaikki perusaritmetiikka (mukaan lukien suurimman yhteisen jakajan ja pienimmän yhteiskerran löytäminen ), operaatiot murtoluvuilla, suhteet, negatiiviset luvut, peruskuvioiden ja kappaleiden pinta-alat ja tilavuudet, Pythagoraan lause ja valintaalgoritmi Pythagoraan kolmoiskappaleet , ratkaisevat toisen asteen yhtälöitä . Fan-cheng- menetelmä kehitettiin jopa mielivaltaisen määrän lineaaristen yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseksi - klassisen eurooppalaisen Gaussin menetelmän analogi . Minkä tahansa asteen yhtälöt ratkaistiin numeerisesti - tian-yuan -menetelmällä, joka muistuttaa Ruffini-Hornerin menetelmää polynomin juurien löytämiseksi.

Muinainen Kreikka

Matematiikka sanan nykyisessä merkityksessä syntyi Kreikassa. Nykyaikaisissa Hellas-maissa matematiikkaa käytettiin joko jokapäiväisiin tarpeisiin (laskelmat, mittaukset) tai päinvastoin maagisiin rituaaleihin, joiden tarkoituksena oli selvittää jumalien tahto ( astrologia , numerologia jne.). Matemaattista teoriaa sanan täydessä merkityksessä ei ollut, asia rajoittui empiirisiin sääntöihin, jotka olivat usein epätarkkoja tai jopa virheellisiä.

Kreikkalaiset lähestyivät asiaa eri näkökulmasta.

Ensinnäkin pythagoralainen koulukunta esitti teesin " Numerot hallitsevat maailmaa " [C 2] . Tai kuten sama ajatus muotoiltiin kaksi vuosituhatta myöhemmin: " Luonto puhuu meille matematiikan kielellä " ( Galileo ). Tämä tarkoitti, että matematiikan totuudet ovat tietyssä mielessä todellisen olemisen totuuksia.

Toiseksi pythagoralaiset kehittivät täydellisen menetelmän tällaisten totuuksien löytämiseksi. He laativat ensin luettelon ensisijaisista, intuitiivisesti ilmeisistä matemaattisista totuuksista ( aksioomit , postulaatit ). Sitten loogisen päättelyn avulla (jonka säännöt myös vähitellen yhtenäistettiin) näistä totuuksista johdettiin uusia väitteitä, joiden täytyy myös olla totta. Näin syntyi deduktiivinen matematiikka.

Kreikkalaiset testasivat tämän väitöskirjan pätevyyttä monilla aloilla: tähtitiede , optiikka , musiikki , geometria ja myöhemmin - mekaniikka . Vaikuttavia menestyksiä havaittiin kaikkialla: matemaattisella mallilla oli kiistaton ennustusvoima.

Pythagoralaisten yritys perustaa maailman harmonia kokonaislukuihin (ja niiden suhteisiin) asetettiin kyseenalaiseksi irrationaalisten lukujen keksimisen jälkeen . Platoninen koulukunta (4. vuosisadalla eKr.) valitsi matematiikalle erilaisen, geometrisen perustan ( Eudoxus of Cnidus ). Tällä polulla saavutettiin antiikin matematiikan suurimmat menestykset ( Eukleides , Archimedes , Apollonius Pergalainen ja muut).

Kreikkalainen matematiikka tekee vaikutuksen ensisijaisesti sisältönsä rikkaudella. Monet New Agen tiedemiehet huomauttivat, että he oppivat löytöjensä motiivit muinaisista ihmisistä. Analyysin alkeet ovat havaittavissa Archimedesissa, algebran juuret Diophantosissa , analyyttisen geometrian Apolloniuksessa jne. Mutta tämä ei ole pääasia. Kaksi kreikkalaisen matematiikan saavutusta elivät kauas luojansa.

Ensinnäkin kreikkalaiset rakensivat matematiikan kokonaisvaltaiseksi tieteeksi omalla metodologiallaan, joka perustui hyvin määriteltyihin logiikan lakeihin (takaa päätelmien totuuden, mikäli premissit ovat totta).

Toiseksi he julistivat, että luonnonlait ovat ihmismielelle ymmärrettäviä ja matemaattiset mallit ovat avain heidän tietoonsa.

Näissä kahdessa suhteessa antiikin kreikkalainen matematiikka on melko sukua moderniin.

Intia

Intialainen numerointi (tapa kirjoittaa numeroita) oli alun perin hienostunut. Sanskritilla oli keinoja numeroiden nimeämiseen aina . Numeroille käytettiin ensin syyro-foinikialaista järjestelmää ja 6. vuosisadalta eKr. e. - oikeinkirjoitus " brahmi ", erilliset merkit numeroille 1-9. Muuttuessaan jonkin verran näistä kuvakkeista on tullut moderneja numeroita, joita kutsumme arabiaksi , ja itse arabeista - intialaisia .

Noin 500 jKr. e. suuri intialainen matemaatikko, meille tuntematon, keksi uuden numeromerkintäjärjestelmän - desimaalipaikannusjärjestelmän . Siinä aritmeettisten operaatioiden suorittaminen osoittautui mittaamattoman helpommaksi kuin vanhoissa, kömpelöillä kirjainkoodeilla, kuten kreikkalaisilla , tai seksagesimaalisilla , kuten babylonialaisilla . Myöhemmin intiaanit käyttivät paikkamerkintöihin mukautettuja laskentatauluja. He kehittivät täydelliset algoritmit kaikille aritmeettisille operaatioille, mukaan lukien neliö- ja kuutiojuurten erottamiseen.

Erinomaisen intialaisen matemaatikon ja tähtitieteilijän Aryabhatan teokset juontavat juurensa 400-600-luvuille . Hänen työssään "Aryabhatiam" on monia ratkaisuja laskennallisiin ongelmiin. Toinen kuuluisa intialainen matemaatikko ja tähtitieteilijä, Brahmagupta , työskenteli 700-luvulla . Brahmaguptasta lähtien intialaiset matemaatikot käsittelevät vapaasti negatiivisia lukuja ja pitävät niitä velkaina.

Keskiaikaiset intialaiset matemaatikot saavuttivat suurimman menestyksensä lukuteorian ja numeeristen menetelmien alalla . Intiaanit ovat pitkälle edistyneet algebrassa; niiden symboliikka on rikkaampi kuin Diophantuksen symboliikka , vaikkakin jokseenkin hankala (sanojen täynnä). Geometria herätti vähemmän kiinnostusta intiaanien keskuudessa. Lauseiden todistukset koostuivat piirroksesta ja sanasta "katso". He todennäköisimmin perivät kreikkalaisilta alue- ja tilavuuskaavat sekä trigonometrian .

Islamin maat

Idän matematiikka, toisin kuin kreikka , on aina ollut käytännöllisempää. Näin ollen laskenta- ja mittausnäkökohdat olivat kaikkein tärkeimpiä. Matematiikan pääasialliset sovellusalueet olivat kauppa , rakentaminen , maantiede , tähtitiede ja astrologia , mekaniikka , optiikka .

800 - luvulla asui al-Khwarizmi , zoroastrilaisen papin  poika , jota kutsuttiin tästä syystä lempinimeltään al-Majusi (taikuri). Tutkittuaan intialaista ja kreikkalaista tietoa hän kirjoitti kirjan "Intian tilillä", joka auttoi asemajärjestelmän popularisoimista koko kalifaatissa Espanjaan asti. XII vuosisadalla tämä kirja käännettiin latinaksi, sen kirjoittajan puolesta sanamme " algoritmi " tulee (ensimmäistä kertaa Leibnizin käyttämässä läheisessä merkityksessä ). Toisella al-Khwarizmin teoksella " Lyhyt kirja al-Jabrin ja al-Mukabalan laskennasta " oli suuri vaikutus eurooppalaiseen tieteeseen ja se synnytti toisen modernin termin " algebra ".

Islamilaiset matemaatikot kiinnittivät paljon huomiota ei vain algebraan, vaan myös geometriaan ja trigonometriaan (pääasiassa tähtitieteellisiin sovelluksiin). Nasir al-Din al-Tusi ( 1200-luku ) ja Al-Kashi ( 1400-luku ) julkaisivat erinomaisia ​​teoksia näiltä aloilta.

Kokonaisuutena voidaan sanoa, että islamilaisten maiden matemaatikot onnistuivat useissa tapauksissa nostamaan puoliempiirisen Intian kehityksen korkealle teoreettiselle tasolle ja siten laajentamaan valtaansa. Vaikka tapaus useimmissa tapauksissa rajoittui tähän synteesiin. Monet matemaatikot olivat klassisten menetelmien mestareita, mutta uusia tuloksia saatiin vähän.

Venäjä

Vuonna 1136 Novgorodin munkki Kirik kirjoitti matemaattisen ja tähtitieteellisen työn, jossa oli yksityiskohtainen laskelma maailman luomispäivästä. Hänen teoksensa koko nimi on seuraava: "Novgorodin Antonievin luostarin diakonin ja kodin Kirika opettaa heitä kertomaan henkilölle kaikkien vuosien lukumäärän" [16] . Kronologisten laskelmien lisäksi Kirik antoi esimerkin geometrisesta etenemisestä , joka syntyi päivän jakamisesta yhä pienempiin murto-osiin; Kirik pysähtyi miljoonasosaan ja julisti, että "tätä ei tapahdu enempää" [2] .

Vuonna 1701 keisarin asetuksella perustettiin matemaattinen ja navigointikoulu Sukharevin torniin , jossa L. F. Magnitsky opetti . Pietari I:n puolesta hän kirjoitti (kirkoslaaviksi) tunnetun aritmeettisen oppikirjan ( 1703 ) ja julkaisi myöhemmin navigointi- ja logaritmitaulukoita. Magnitskyn tuon ajan oppikirja oli poikkeuksellisen hyvä ja informatiivinen. Kirjoittaja valitsi huolellisesti kaiken parhaan, mitä tuolloin olemassa olevissa oppikirjoissa oli, ja esitti aineiston selkeästi lukuisine esimerkein ja selityksin.

M. M. Speranskyn uudistukset toimivat voimakkaana sysäyksenä Venäjän tieteen kehitykselle . 1800-luvun alussa perustettiin julkinen opetusministeriö , koulutusalueita syntyi ja kuntosalit alkoivat avautua kaikissa Venäjän suurimmissa kaupungeissa. Samaan aikaan matematiikan kurssin sisältö oli melko laaja - algebra, trigonometria, fysiikan sovellukset jne.

Nuori venäläinen matematiikka oli jo 1800 - luvulla tuonut esiin maailmanluokan tiedemiehiä.

Ensimmäinen heistä oli Mihail Vasilyevich Ostrogradsky . Kuten useimmat venäläiset matemaatikot ennen häntä, hän kehitti pääasiassa soveltavia analyysiongelmia . Hänen työnsä tutkii lämmön etenemistä, aaltoyhtälöä , elastisuusteoriaa , sähkömagnetismia . Hän opiskeli myös lukuteoriaa . Viiden maailmanakatemian akateemikko. Tärkeää soveltavaa työtä suoritti Viktor Yakovlevich Bunyakovsky , äärimmäisen monipuolinen matemaatikko, keksijä, tunnustettu lukuteorian ja todennäköisyysteorian auktoriteetti, perusteoksensa Funds of the Mathematical Theory of Probability kirjoittaja.

Venäjän matematiikan peruskysymykset 1800-luvun alkupuoliskolla otti esille vain Nikolai Ivanovitš Lobatševski , joka vastusti euklidisen avaruuden dogmia. Hän rakensi Lobachevsky-geometrian ja tutki syvästi sen epätavallisia ominaisuuksia. Lobatševski oli niin aikaansa edellä, että hänet tuomittiin ansioidensa mukaan vasta monta vuotta kuolemansa jälkeen.

Sofia Kovalevskaja teki useita tärkeitä yleisiä löytöjä . Hänestä tuli ensimmäinen nainen maailmassa ja historiassa matematiikan professori. Vuonna 1874 hän puolusti Göttingenin yliopistossa väitöskirjaansa "Differentiaaliyhtälöiden teoriasta" ja sai tohtorin arvon. Vuonna 1881 hänet valittiin Moskovan matemaattisen seuran jäseneksi Privatdozentiksi. Vuonna 1889 Sofia Kovalevskaja sai suuren palkinnon Pariisin akatemiasta raskaan epäsymmetrisen yläosan pyörimistä koskevasta tutkimuksestaan ​​[17] .

1800-luvun jälkipuoliskolla venäläinen matematiikka julkaisi myös yleisellä sovelletulla harhalla useita perustavanlaatuisia tuloksia. Universaali matemaatikko Pafnuty Lvovich Chebyshev teki monia löytöjä matematiikan monipuolisimmilla, kaukana toisistaan ​​- lukuteorialla, todennäköisyysteorialla, funktioiden lähentämisteorialla. Andrei Andreevich Markov tunnetaan ensiluokkaisesta työstään todennäköisyysteoriassa, mutta hän saavutti erinomaisia ​​tuloksia myös muilla aloilla - lukuteoriassa ja matemaattisessa analyysissä. 1800-luvun loppuun mennessä muodostui kaksi aktiivista kotimaista matemaattista koulua - Moskova ja Pietari.

Länsi-Eurooppa

Keskiaika, 4.-15. vuosisadat

V - luvulla Länsi-Rooman valtakunnan loppu tuli , ja Länsi-Euroopan alue muuttui pitkään jatkumattomien taistelujen kentältä valloittajien ja rosvojen ( hunit , gootit , unkarilaiset , arabit , normannit jne.) kanssa. Tieteen kehitys on pysähtynyt. Matematiikan tarve rajoittuu aritmetiikkaan ja kirkon juhlapyhien kalenterin laskemiseen, ja aritmetiikkaa opiskellaan vanhan Nikomakhos Gerazin oppikirjan mukaan Boethiuksen lyhennettynä latinaksi.

Harvoista korkeasti koulutetuista ihmisistä voidaan mainita irlantilainen Beda kunniallinen (hän ​​työskenteli kalenterin, pääsiäisten , kronologian, sormilla laskemisen teorian parissa) ja munkki Herbert, vuodesta 999 lähtien  - paavi nimellä Sylvester II , tieteiden suojelija; Hänelle on tunnustettu useiden tähtitieteen ja matematiikan teosten kirjoittaja. Anglosaksinen runoilija ja tiedemies Alcuin (VIII vuosisata) julkaisi suositun kokoelman viihdyttäviä matemaattisia ongelmia .

Eurooppalaisen kulttuurin vakiintuminen ja palauttaminen alkoi 1000-luvulla . Ensimmäiset yliopistot ilmestyvät ( Salerno , Bologna ). Matematiikan opetus laajenee: perinteiseen quadriviumiin kuuluivat aritmetiikka, geometria, tähtitiede ja musiikki.

Eurooppalaiset tutkijat tutustuivat ensimmäisen kerran muinaisiin löytöihin Espanjassa. 1100-luvulla siellä käännettiin suurten kreikkalaisten ja heidän islamilaisten opiskelijoidensa pääteoksia (kreikasta ja arabiasta latinaksi) . Bysantista on 1300 -luvulta lähtien tullut tärkein tieteellisen vaihdon paikka . Eukleideen elementtejä käännettiin ja julkaistiin erityisen innokkaasti ; vähitellen ne kasvoivat paikallisten geometrien kommenteista. Ainoa suhteellisen suuri matemaatikko koko Bysantin jälkeisessä antiikin jälkeisessä historiassa oli Maximus Planud , Diophantuksen kommentaattori ja desimaalijärjestelmän popularisoija .

1100-luvun lopussa useiden luostarikoulujen pohjalta perustettiin Pariisin yliopisto , jossa opiskeli tuhansia opiskelijoita eri puolilta Eurooppaa; lähes samanaikaisesti Oxford ja Cambridge nousivat Britanniaan. Kiinnostus tieteeseen kasvaa, ja yksi tämän ilmenemismuodoista on lukujärjestelmän muutos. Euroopassa käytettiin pitkään roomalaisia ​​numeroita . XII-XIII vuosisadalla julkaistiin ensimmäiset desimaalipaikannusjärjestelmän esitykset Euroopassa (ensimmäiset käännökset al-Khwarizmista , sitten hänen omat käsikirjansa), ja sen soveltaminen aloitettiin. 1300 -luvulta lähtien indoarabialaiset numerot alkavat korvata roomalaiset numerot jopa hautakivissä. Ainoastaan ​​tähtitieteessä käytettiin kuusiagesimaalista babylonialaista aritmetiikkaa pitkään.

Keskiaikaisen Euroopan ensimmäinen suuri matemaatikko oli 1200-luvulla Leonardo Pisalainen, joka tunnettiin lempinimellä Fibonacci . Hänen pääteoksensa: " The Book of the Abacus " ( 1202 , toinen tarkistettu painos - 1228 ). Abacus Leonardo kutsui aritmeettisia laskelmia. Fibonacci tunsi hyvin (arabiankielisistä käännöksistä) muinaisten saavutukset ja systematisoi niistä merkittävän osan kirjaansa. Hänen esityksensä täydellisyydessä ja syvyydessä nousi välittömästi korkeammaksi kuin kaikki muinaiset ja islamilaiset prototyypit, ja se oli pitkään ylittämätön. Tällä kirjalla oli valtava vaikutus matemaattisen tiedon leviämiseen, intialaisten numeroiden ja desimaalijärjestelmän suosioon Euroopassa.

Jordan Nemorariuksen kirjoissa "Aritmetic" ja "On Given Numbers" nähdään symbolisen algebran alkeet, joita ei toistaiseksi ole erotettu geometriasta [18] .

Samaan aikaan Robert Grosseteste ja Roger Bacon vaativat sellaisen kokeellisen tieteen luomista, joka kykenisi kuvaamaan luonnonilmiöitä matemaattisella kielellä [19] .

1300-luvulla yliopistoja ilmestyi lähes kaikissa suurimmissa maissa ( Praha , Krakova , Wien , Heidelberg , Leipzig , Basel jne.).

Filosofit Oxford Merton Collegesta, jotka asuivat 1300-luvulla ja kuuluivat niin kutsuttujen Oxford-laskimien ryhmään , kehittivät loogis-matemaattisen opin ominaisuuksien vahvistamisesta ja heikentämisestä. Nicholas Oresme kehitti Sorbonnessa toisen version samasta opista . Hän esitteli riippuvuuden kuvan graafin avulla, tutki sarjojen konvergenssia . [20] Algebrallisissa teoksissa hän käsitteli murto -osien eksponenteja .

1400-luvun kuuluisa saksalainen matemaatikko ja tähtitieteilijä Johann Müller tuli laajalti tunnetuksi nimellä Regiomontanus  , joka on hänen kotikaupunkinsa Königsbergin latinankielinen nimi [C 3] . Hän julkaisi Euroopassa ensimmäisen erityisesti trigonometrialle omistetun teoksen . Arabiankielisiin lähteisiin verrattuna uutta ei ole juurikaan, mutta erityisesti tulee huomioida systemaattinen ja täydellinen esitys.

Luca Pacioli , 1400-luvun tärkein algebrasti, Leonardo da Vincin ystävä , antoi selkeän (vaikkakaan ei kovin kätevän) hahmotelman algebrallisesta symboliikasta.

1500-luku

1500-luku oli Euroopan matematiikan käännekohta. Yhdistettyään täysin edeltäjiensä saavutukset, se murtautui pitkälle eteenpäin useilla voimakkailla nykäyksillä [21] .

Ensimmäinen suuri saavutus oli yleisen menetelmän löytäminen kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Italialaiset matemaatikot del Ferro , Tartaglia ja Ferrari ratkaisivat ongelman, jota maailman parhaat matemaatikot eivät kyenneet ratkaisemaan vuosisatojen ajan [22] . Samaan aikaan havaittiin, että ratkaisuun ilmestyi joskus "mahdottomia" juuria negatiivisista luvuista . Analysoituaan tilanteen eurooppalaiset matemaatikot kutsuivat näitä juuria " imaginaariluvuiksi " ja kehittivät säännöt niiden käsittelyyn, mikä johti oikeaan tulokseen. Näin kompleksiluvut tulivat matematiikkaan ensimmäistä kertaa .

Vuonna 1585 flaamilainen Simon Stevin julkaisee kirjan " Kymmenen " toimintasäännöistä desimaalilukujen kanssa , minkä jälkeen desimaalijärjestelmä voittaa lopullisen voiton murtolukujen alalla. Desimaalierotinta ei ollut vielä keksitty, ja selvyyden vuoksi Stevin osoitti jokaisen numeron yläpuolelle (tai sen jälkeen) sen numeronumeron ympyrässä, positiivinen kokonaislukuosalle ja negatiivinen mantissalle. Pilkun käyttö murtolukuja kirjoitettaessa tavattiin ensimmäisen kerran vuonna 1592. Stevin julisti myös rationaalisten ja irrationaalisten lukujen sekä (joillakin varauksin) ja negatiivisten lukujen täydellisen yhtäläisyyden [23] .

Tärkeimmän askeleen kohti uutta matematiikkaa otti ranskalainen François Viet . Vuonna 1591 julkaistussa teoksessaan Introduction to Analytical Art hän muotoili lopulta aritmeettisen, kirjaimellisen algebran symbolisen metakielen [24] . Sen ilmestymisen myötä on avautunut mahdollisuus tehdä ennennäkemättömän syvällistä ja yleistä tutkimusta. Tässä kirjassa Vieta osoitti esimerkkejä uuden menetelmän voimasta etsimällä kuuluisat Vieta-kaavat . Vietan symboliikka ei ollut vielä samanlainen kuin nykyään, sen modernia versiota ehdotti myöhemmin Descartes [25] .

Samaan aikaan matematiikan arvovalta kasvaa, ja monia käytännön ongelmia, jotka on ratkaistava, ilmaantuu runsaasti - tykistössä, merenkulussa, rakentamisessa, teollisuudessa, hydrauliikassa, tähtitiedossa, kartografiassa, optiikassa jne. Ja toisin kuin antiikissa, renessanssissa tutkijat eivät karkoittaneet tällaisia ​​tehtäviä. Itse asiassa puhtaita teoreettisia matemaatikoita ei ollut olemassa. Ensimmäiset tiedeakatemiat ilmestyvät. 1500-1600-luvuilla yliopistotieteen rooli heikkeni, ja joukkoon ilmestyi monia ei-ammattilaisia ​​tiedemiehiä: Stevin oli sotilasinsinööri, Viet ja Fermat  olivat lakimiehiä, Desargues ja Ren  olivat arkkitehteja, Leibniz  oli virkamies, Napier, Descartes, Pascal .  olivat yksityishenkilöitä [26] .

1600-luku

1600 -luvulla matematiikan nopea kehitys jatkui, ja vuosisadan loppuun mennessä tieteen kasvot muuttuivat radikaalisti.

Ensimmäinen suuri löytö 1600-luvulla oli logaritmien keksiminen . Vuonna 1614 skotlantilainen amatöörimatemaatikko John Napier julkaisi latinaksi esseen "Kuvaus hämmästyttävästä logaritmitaulukosta" (lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). Se sisälsi lyhyen kuvauksen logaritmeista ja niiden ominaisuuksista sekä 8-numeroiset taulukot sinien, kosinien ja tangenttien logaritmeista, askeleella 1'. Napierin ehdottama termi logaritmi on vakiinnuttanut asemansa tieteessä. Napier hahmotteli logaritmien teoriaa toisessa kirjassaan "Construction of an Amazing Table of Logathms" (lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), jonka hänen poikansa Robert julkaisi postuumisti vuonna 1619. Monimutkaisia ​​laskelmia on yksinkertaistettu monta kertaa, ja matematiikka on saanut uuden ei-klassisen funktion, jolla on laaja valikoima sovelluksia.

Rene Descartes korjasi tutkielmassa " Geometria " (1637) muinaisten matemaatikoiden strategisen virheen ja palautti algebrallisen ymmärryksen numerosta (geometrian sijaan) [27] . Lisäksi hän osoitti tavan kääntää geometriset lauseet algebralliseen kieleen (käyttämällä koordinaattijärjestelmää ), jonka jälkeen tutkimuksesta tulee paljon helpompaa ja tehokkaampaa. Näin syntyi analyyttinen geometria . Descartes tarkasteli monia esimerkkejä, jotka havainnollistavat uuden menetelmän suurta voimaa, ja sai monia tuloksia, joita muinaiset eivät tunteneet. Erityisen huomionarvoista on hänen kehittämänsä matemaattinen symboliikka , joka on lähellä modernia.

Wallis , Fermat ja monet muut tunnetut matemaatikot omaksuivat välittömästi Descartesin analyyttisen menetelmän [28] .

Pierre Fermat, Huygens ja Jacob Bernoulli loivat uuden matematiikan haaran, joka oli tarkoitettu suurelle tulevaisuudelle - todennäköisyysteorian . Jacob Bernoulli muotoili ensimmäisen version suurten lukujen laista [29] .

Ja lopuksi ilmestyi ei kovin selkeä, mutta syvä idea - mielivaltaisten sileiden käyrien analyysi hajottamalla ne äärettömän pieniksi suorien viivojen segmenteiksi. Tämän idean ensimmäinen toteutus oli suurelta osin epätäydellinen jakamattomien menetelmä ( Kepler [30] , Cavalieri [31] , Fermat [32] ), ja sen avulla tehtiin jo monia uusia löytöjä. 1600-luvun lopulla Newton [33] ja Leibniz [34] laajensivat merkittävästi ajatusta jakamattomista , ja poikkeuksellisen tehokas tutkimustyökalu ilmestyi - matemaattinen analyysi . Tästä matemaattisesta suunnasta tuli tärkein seuraavalla, XVIII vuosisadalla .

Negatiivisten lukujen teoria oli vielä lapsenkengissään. Esimerkiksi oudosta suhteesta keskusteltiin aktiivisesti  - siinä ensimmäinen termi vasemmalla on suurempi kuin toinen ja oikealla - päinvastoin, ja käy ilmi, että suurempi on yhtä suuri kuin pienempi (" Arnaudin paradoksi ") [35] .

Monimutkaisia ​​lukuja pidettiin fiktiivisinä, sääntöjä niiden käsittelemiseksi ei lopulta laadittu. Lisäksi ei ollut selvää, voitiinko kaikki " imaginaariluvut " kirjoittaa muodossa a + bi , tai vaikkapa tiettyä juuria poimittaessa, voisi ilmaantua kuvitteellisia, joita ei voitu pelkistää tähän muotoon (jopa Leibniz ajatteli niin). Vasta 1700-luvulla d'Alembert ja Euler totesivat , että kompleksiluvut ovat suljettuja kaikissa operaatioissa, mukaan lukien minkä tahansa asteen juuret.

1600-luvun jälkipuoliskolla ilmestyi tieteellisiä aikakauslehtiä, jotka eivät vielä olleet erikoistuneet tiettyihin tieteisiin. Lontoo ja Pariisi loivat perustan, mutta Acta Eruditorum -lehdessä ( 1682 , Leipzig , latinaksi) oli erityisen tärkeä rooli. Ranskan tiedeakatemia on julkaissut muistelmiaan vuodesta 1699 lähtien. Näitä aikakauslehtiä julkaistiin harvoin, ja kirjeenvaihto oli edelleen välttämätön tiedon levityskeino.

1700-luku

1700-lukua matematiikassa voidaan lyhyesti kuvata analyysin vuosisadaksi , josta tuli matemaatikoiden pääkohde. Luonnontieteiden nopeaa kehitystä edistävä analyysi puolestaan ​​eteni itsestään, vastaanottaen niiltä yhä monimutkaisempia ongelmia. Tämän ajatustenvaihdon risteyksessä syntyi matemaattinen fysiikka .

Äärettömän pienen menetelmän kritiikki sen huonosta pätevyydestä vaikeni nopeasti uuden lähestymistavan voittoisan onnistumisen paineessa. Tieteessä Newtonin ansiosta mekaniikka hallitsi  - kaikkia muita vuorovaikutuksia pidettiin toissijaisina, mekaanisten prosessien seurauksina. Analyysin ja mekaniikan kehitys tapahtui tiiviissä kudoksissa; Euler oli ensimmäinen, joka toteutti tämän yhdistämisen , joka poisti arkaaiset rakenteet Newtonin mekaniikasta ja toi analyyttisen perustan dynamiikkaan ( 1736 ). Siitä lähtien mekaniikasta on tullut sovellettu analyysin ala. Prosessin saattoi päätökseen Lagrange , jonka "Analyyttinen mekaniikka" [36] ei demonstratiivisesti sisällä yhtään piirrosta. Samaan aikaan analyysistä tuli algebrallinen ja lopulta (alkaen Eulerista) erottui geometriasta ja mekaniikasta.

Pääasiallinen luonnon tuntemisen menetelmä on differentiaaliyhtälöiden laatiminen ja ratkaiseminen . Pistedynamiikan jälkeen vuorossa oli jäykän kappaleen dynamiikka, sitten nesteen ja kaasun dynamiikka. Edistystä tällä alalla helpotti suuresti merkkijonoa koskeva kiista , johon Euroopan johtavat matemaatikot osallistuivat.

Newtonin gravitaatioteorialla oli aluksi vaikeuksia kuvailla Kuun liikettä , mutta Clairaut'n , Eulerin ja Laplacen [37] teokset osoittivat selvästi, että taivaanmekaniikassa ei ole muita lisävoimia kuin Newtonin .

Analyysi ulottuu monimutkaiselle alueelle. Useimpien funktioiden analyyttinen jatkaminen ei aiheuttanut ongelmia, ja vakiofunktioiden välillä löydettiin odottamattomia yhteyksiä ( Eulerin kaava ) [38] . Vaikeuksia kohdattiin monimutkaisella logaritmilla , mutta Euler onnistui voittamaan ne. Konformaaliset kartoitukset otettiin käyttöön ja esitettiin olettamus analyyttisen jatkuvuuden ainutlaatuisuudesta. Monimutkaiset funktiot ovat löytäneet käyttöä jopa soveltavissa tieteissä - hydrodynamiikassa, värähtelyteoriassa (D'Alembert, Euler).

Integroinnin teoria ja tekniikka ovat edenneet pitkälle . Useita integraaleja (Euler, Lagrange) käytetään laajalti, eikä vain suorakulmaisissa koordinaateissa. Myös pintaintegraalit ilmestyvät (Lagrange, Gauss ). Differentiaaliyhtälöiden, sekä tavallisten että osittaisten, teoriaa kehitetään intensiivisesti. Matemaatikot osoittavat poikkeuksellista kekseliäisyyttä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa ja keksivät omia menetelmiään kunkin ongelman ratkaisemiseksi. Raja-arvoongelman käsite syntyi ja ensimmäiset menetelmät sen ratkaisemiseksi syntyivät.

1700-luvun lopulla syntyi yleinen potentiaaliteoria (Lagrange, Laplace, Legendre). Painovoiman potentiaalin esitteli Lagrange ( 1773 , termiä ehdotti Green vuonna 1828 ). Pian Laplace löysi yhteyden potentiaalin ja Laplacen yhtälön välillä ja esitteli tärkeän luokan ortogonaalisia pallofunktioita .

Lupaava variaatiolaskenta ja fysiikan variaatioperiaatteet syntyvät (Euler, Lagrange).

Matemaatikkojen johtaja 1700-luvulla oli Euler, jonka poikkeuksellinen lahjakkuus jätti jälkensä kaikkiin vuosisadan suuriin matemaattisiin saavutuksiin [39] . Hän teki analyysistä täydellisen tutkimustyökalun. Euler rikasti merkittävästi funktioiden valikoimaa , kehitti integrointitekniikkaa ja edistyi lähes kaikilla matematiikan osa-alueilla. Yhdessä Maupertuisin kanssa hän muotoili pienimmän toiminnan periaatteen korkeimmaksi ja yleismaailmalliseksi luonnonlaiksi.

Lukuteoriassa imaginaariluvut laillistetaan lopulta, vaikka niiden täydellistä teoriaa ei ole vielä luotu. Algebran peruslause on todistettu (ei vielä täysin tiukasti) . Euler kehitti Gaussin täydentämän kokonaislukujen jakoteorian ja vertailuteorian (jäännökset). Euler esitteli primitiivisen juuren käsitteen , osoitti sen olemassaolon mille tahansa alkuluvulle ja löysi primitiivisten juurien määrän, löysi vastavuoroisuuden toisen lain . Hän ja Lagrange julkaisivat yleisen jatkuvan jakeen teorian , ja heidän avullaan he ratkaisivat monia diofantiinianalyysin ongelmia. Euler havaitsi myös, että analyyttisiä menetelmiä voitaisiin soveltaa useisiin lukuteorian ongelmiin .

Lineaarinen algebra kehittyy nopeasti . Ensimmäisen yksityiskohtaisen kuvauksen lineaaristen järjestelmien yleisestä ratkaisusta antoi vuonna 1750 Gabriel Cramer . Modernia läheistä symboliikkaa ja syvällisen analyysin determinanteista antoi Alexander Theophilus Vandermonde (1735-1796). Laplace vuonna 1772 antoi laajennuksen determinantille alaikäisille . Determinanttien teoria löysi nopeasti monia sovelluksia tähtitiedessä ja mekaniikassa (maallinen yhtälö), algebrallisten järjestelmien ratkaisemisessa, muotojen tutkimuksessa jne.

Algebrassa syntyy uusia ideoita, jotka huipentuvat jo 1800-luvulla Galois'n teoriaan ja abstrakteihin rakenteisiin. Viidennen asteen ja korkeamman asteen yhtälöitä tutkiessaan Lagrange lähestyy Galois'n teoriaa ( 1770 ) saatuaan selville, että "yhtälöiden todellinen metafysiikka on substituutioteoria ".

Geometriassa ilmaantuu uusia leikkeitä: käyrien ja pintojen differentiaaligeometria, kuvaava geometria ( Monge ), projektiivinen geometria ( Lazar Carnot ).

Todennäköisyysteoria lakkaa olemasta eksoottinen ja osoittaa käyttökelpoisuutensa ihmisen toiminnan odottamattomimmilla alueilla. De Moivre ja Daniel Bernoulli löytävät normaalijakauman . Syntyy todennäköisyysvirheteoria ja tieteellinen tilasto. Klassisen vaiheen todennäköisyysteorian kehityksessä päättivät Laplacen teokset [40] . Kuitenkin sen sovellukset fysiikkaan olivat tuolloin lähes poissa (lukuun ottamatta virheteoriaa).

Tieteiden akatemioista, joista suurin osa oli valtion omistamia, tuli matemaattisen tutkimuksen keskuksia. Yliopistojen merkitys on pieni (paitsi maissa, joissa ei vielä ole akatemiaa), fysiikan ja matematiikan laitokset puuttuvat edelleen. Pääroolissa on Pariisin akatemia . Englantilainen koulukunta erottaa itsensä Newtonin jälkeen ja laskee tieteellistä tasoa kokonaiseksi vuosisadaksi; 1700-luvun Englannin merkittävien matemaatikoiden määrä on pieni - de Moivre (ranskalainen hugenottien emigrantti), Coates , Taylor , Maclaurin , Stirling .

Matemaatikoista tulee ammattilaisia, amatöörit melkein katoavat näyttämöltä.

1700-luvun lopulla ilmestyi matemaattisia erikoislehtiä ja kiinnostus tieteen historiaa kohtaan kasvoi. Montuclan kaksiosainen Historia of Mathematics julkaistaan ​​( postuumisti uusintapainos ja laajennettu 4 osaan). Suositun tieteellisen kirjallisuuden julkaiseminen laajenee.

1800-luku

Matematiikan käytön kiistaton tehokkuus luonnontieteissä sai tutkijat ajattelemaan, että matematiikka, niin sanotusti, on rakennettu universumiin, on sen ihanteellinen perusta. Toisin sanoen matematiikan tieto on osa todellisen maailman tietoa. Monet 1600-1700-luvun tiedemiehet eivät epäillyt tätä. Mutta 1800-luvulla matematiikan evoluutiokehitys katkesi, ja tämä horjumattomalta vaikuttava teesi asetettiin kyseenalaiseksi.

Yleisesti ottaen 1800-luvulla matematiikan rooli ja arvovalta tieteessä ja taloustieteessä kasvoi huomattavasti, ja sen valtion tuki kasvoi vastaavasti. Matematiikasta on jälleen tulossa pääosin yliopistotiede. Ensimmäiset matemaattiset yhteisöt ilmestyvät: Lontoo , Amerikka , Ranska , Moskova , samoin kuin seurat Palermossa ja Edinburghissa .

Tarkastellaanpa lyhyesti matematiikan pääalueiden kehitystä 1800-luvulla.

Geometria

Jos 1700-luku oli analyysin vuosisata, niin 1800-luku oli ennen kaikkea geometrian vuosisata . 1700-luvun lopulla luotu kuvaileva geometria ( Monge [42] , Lambert ) ja elvytetty projektiiivinen geometria (Monge, Poncelet , Lazare Carnot ) kehittyivät nopeasti . Uusia osia ilmestyy: vektorilaskenta ja vektorianalyysi , Lobatševsky-geometria , moniulotteinen Riemannin geometria , muunnosryhmäteoria . Geometrian intensiivinen algebraointi tapahtuu - ryhmäteorian menetelmät tunkeutuvat siihen ja syntyy algebrallinen geometria . Vuosisadan lopussa luotiin "laadullinen geometria" - topologia .

Differentiaaligeometria sai voimakkaan sysäyksen Gaussin erittäin informatiivisen teoksen "General Investigations on Curved Surfaces" ( 1822 ) [43] julkaisun jälkeen, jossa metriikka ( ensimmäinen neliömuoto ) ja siihen liittyvä pinnan sisäinen geometria esitettiin ensin eksplisiittisesti . määritelty . Tutkimusta jatkoi pariisilainen koulu. Vuonna 1847 Frenet ja Serret julkaisivat Frenetin kuuluisat kaavat käyrän differentiaalimääritteille [44] .

Suurin saavutus oli vektorin ja vektorikentän käsitteen käyttöönotto . Alun perin W. Hamilton esitteli vektorit niiden kvaternionien yhteydessä (niiden kolmiulotteisena imaginaariosana). Hamiltonilla oli jo piste ja risti - tuote . Lisäksi Hamilton esitteli differentiaalioperaattorin (" nabla ") ja monia muita vektorianalyysin käsitteitä, mukaan lukien vektorifunktion määritelmän ja tensoritulon .

Maxwellin varhaisissa kirjoituksissa käytetyn vektorisymbolismin tiiviys ja muuttumattomuus on kiinnostanut fyysikot; Gibbsin Elements of Vector Analysis (1880-luku) ilmestyi pian, ja sitten Heaviside ( 1903 ) antoi vektorilaskulle modernin ilmeen.

Projektiivinen geometria puolentoista vuosisadan unohduksen jälkeen herätti jälleen huomion - ensin Mongen, sitten hänen oppilaidensa - Ponceletin ja Lazar Carnotin. Carnot muotoili "jatkuvuuden periaatteen", jonka avulla voit välittömästi laajentaa joitain alkuperäisen hahmon ominaisuuksia siitä jatkuvalla muutoksella saatuihin hahmoihin (1801-1806). Jonkin verran myöhemmin Poncelet määritteli selvästi projektiivisen geometrian tieteenä hahmojen projektitiivisista ominaisuuksista ja esitti systemaattisen esityksen sen sisällöstä ( 1815 ). Ponceletissa äärettömän kaukana olevat pisteet (jopa kuvitteelliset) on jo täysin laillistettu. Hän muotoili kaksinaisuuden periaatteen (suorat viivat ja pisteet tasossa).

1820-luvun lopulta lähtien Saksassa on muodostunut projektiogeometrien koulukunta ( Möbius , Plücker , Hessen , Steiner ym.). Englannissa Cayley julkaisi useita teoksia . Samaan aikaan alettiin käyttää analyyttisiä menetelmiä, varsinkin sen jälkeen, kun Möbius löysi homogeeniset projektiiviset koordinaatit , mukaan lukien äärettömän pisteen. Ranskassa Poncelet'n työtä jatkoi Michel Chall .

Riemannin kuuluisalla puheella ( 1854 ) "geometrian taustalla olevista hypoteeseista" [45] oli suuri vaikutus matematiikan kehitykseen . Riemann määritteli n-ulotteisen moniston yleisen käsitteen ja sen metriikan mielivaltaiseksi positiiviseksi määrätyksi neliömuotoiseksi muodoksi . Riemann yleisti edelleen Gaussin pintojen teoriaa moniulotteiseen tapaukseen; tässä tapauksessa ilmestyy kuuluisa Riemannilainen kaarevuustensori ja muut Riemannin geometrian käsitteet. Ei-euklidisen metriikan olemassaolo voidaan Riemannin mukaan selittää joko avaruuden diskreettisyydellä tai joillakin fyysisillä yhteysvoimilla. Vuosisadan lopussa G. Ricci suorittaa klassisen tensorianalyysin .

1800-luvun jälkipuoliskolla Lobatševskin geometria herätti vihdoin yleistä huomiota. Se, että jopa klassisella geometrialla on vaihtoehto, teki valtavan vaikutuksen koko tiedemaailmaan. Se kannusti myös monien vakiintuneiden stereotypioiden uudelleenarviointiin matematiikassa ja fysiikassa.

Toinen käännekohta geometrian kehityksessä tuli vuonna 1872 , kun Felix Klein esitteli " Erlangen-ohjelmansa ". Hän luokitteli geometriset tieteet käytettyjen muunnosryhmien mukaan - rotaatiot, affiinit, projektiiviset, yleisjatkuvat jne. Jokainen geometrian haara tutkii vastaavan muunnosryhmän invariantteja . Klein piti myös tärkeintä isomorfismin (rakenneidentiteetin) käsitettä, jota hän kutsui "siirroksi". Siten geometrian algebraoinnissa hahmoteltiin uusi vaihe, toinen Descartesin jälkeen .

Vuosina 1872-1875 Camille Jordan julkaisi joukon artikkeleita n-ulotteisen avaruuden analyyttisestä geometriasta (käyrät ja pinnat), ja vuosisadan lopulla hän ehdotti yleistä mittateoriaa .

Aivan vuosisadan lopulla syntyi topologia , ensin nimellä analyysi situs . Topologisia menetelmiä käyttivät itse asiassa useissa kirjoituksissa Euler, Gauss, Riemann, Jordan ym. Felix Klein kuvaa uuden tieteen aihetta varsin selkeästi Erlangen-ohjelmassaan. Kombinatorinen topologia muotoutui lopulta Poincarén (1895-1902) teoksissa.

Matemaattinen analyysi

Analyysi kehittyi 1800-luvulla nopean mutta rauhanomaisen kehityksen kautta.

Merkittävin muutos oli analyysin perustan luominen ( Cauchy , sitten Weierstrass ). Cauchyn [46] ansiosta mystinen käsite todellisesta infinitesimaalista katosi matematiikasta (vaikka sitä käytetään edelleen fysiikassa). Myös kyseenalaiset toimet, joissa oli eri sarjat, asetettiin tieteen ulkopuolelle. Cauchy rakensi analyysin perustan newtonilaista ymmärrystä lähellä olevan rajateorian pohjalta, ja hänen lähestymistapansa tuli yleisesti hyväksytyksi; analyysistä tuli vähemmän algebrallinen, mutta luotettavampi. Siitä huolimatta, ennen Weierstrassin selvennyksiä, monet ennakkoluulot säilyivät edelleen: esimerkiksi Cauchy uskoi, että jatkuva funktio on aina differentioituva ja jatkuvien funktioiden sarjan summa on jatkuva.

Monimutkaisen muuttujan analyyttisten funktioiden teoria on saanut laajimman kehityksen, jolla Laplace , Cauchy, Abel , Liouville , Jacobi , Weierstrass ja muut ovat työskennelleet. Erikoistoimintojen, varsinkin monimutkaisten, luokkaa on laajennettu huomattavasti. Pääasialliset ponnistelut kohdistuivat Abelin funktioiden teoriaan, joka ei täysin perustellut niille asetettuja toiveita, mutta edisti kuitenkin analyyttisten työkalujen rikastumista ja yleisempien teorioiden luomista 1900-luvulla.

Lukuisat sovelletut ongelmat stimuloivat aktiivisesti differentiaaliyhtälöiden teoriaa , joka kasvoi laajaksi ja hedelmälliseksi matemaattiseksi tieteenalaksi. Matemaattisen fysiikan perusyhtälöt tutkitaan yksityiskohtaisesti , olemassaololauseet ratkaisuille todistetaan ja laadullinen differentiaaliyhtälöiden teoria luodaan ( Poincaré ).

Vuosisadan loppuun mennessä tapahtuu jonkin verran analyysin geometrisaatiota - vektorianalyysi , tensorianalyysi ilmestyy , äärettömän ulottuvuuden funktioavaruuksia tutkitaan (katso Banach-avaruus , Hilbert-avaruus ). Differentiaaliyhtälöiden kompakti invarianttimerkintä on paljon kätevämpi ja selkeämpi kuin hankala koordinaattimerkintä.

Algebra ja lukuteoria

Eulerin analyyttiset menetelmät auttoivat ratkaisemaan monia vaikeita lukuteorian ongelmia ( Gauss [47] , Dirichlet ja muut). Gauss antoi ensimmäisen virheettömän todisteen Algebran peruslauseesta . Joseph Liouville osoitti äärettömän määrän transsendenttisia lukuja ( 1844 , tarkemmat tiedot vuonna 1851 ), antoi riittävän merkin transsendenssista ja rakensi esimerkkejä sellaisista luvuista sarjan summana. Vuonna 1873 Charles Hermite julkaisi todisteen Eulerin luvun e ylityksestä , ja vuonna 1882 Lindemann sovelsi samanlaista menetelmää numeroon .

W. Hamilton löysi kvaternionien hämmästyttävän ei-kommutatiivisen maailman .

Geometrinen lukuteoria syntyi ( Minkowski ) [48] .

Evariste Galois , aikaansa edellä, esittää syvällisen analyysin mielivaltaisten asteiden yhtälöiden ratkaisusta [49] . Tutkimuksen keskeiset käsitteet ovat permutaatioryhmän algebralliset ominaisuudet ja yhtälöön liittyvät laajennuskentät . Galois viimeisteli Abelin työn , joka osoitti, että 4. asteen yhtälöt ovat ratkaisemattomia radikaaleissa .

Kun Galoisin ideat sulautuivat, vuosisadan toiselta puoliskolta lähtien yleinen algebra kehittyi nopeasti . Joseph Liouville julkaisee ja kommentoi Galoisin työtä. 1850-luvulla Cayley esitteli abstraktin ryhmän käsitteen . Termi "ryhmä" tulee yleisesti hyväksytyksi ja tunkeutuu melkein kaikille matematiikan alueille ja 1900-luvulla - fysiikkaan ja kristallografiaan.

Lineaarisen avaruuden käsite on muodostumassa ( Grassmann ja Cayley , 1843-1844 ) . Vuonna 1858 Cayley julkaisi yleisen matriisiteorian , määritteli niille operaatioita ja otti käyttöön karakteristisen polynomin käsitteen . Vuoteen 1870 mennessä kaikki lineaarisen algebran peruslauseet oli todistettu , mukaan lukien pelkistys Jordanin normaalimuotoon .

Vuonna 1871 Dedekind esittelee käsitteet rengas , moduuli ja ihanne . Hän ja Kronecker luovat yleisen jakoteorian .

1800-luvun lopulla Lie-ryhmät siirtyvät matematiikkaan .

Todennäköisyysteoria

Virheteoria, tilastot ja fyysiset sovellukset ovat etusijalla. Tämän teki Gauss , Poisson , Cauchy . Normaalijakauman merkitys rajoittavana jakaumana paljastui monissa todellisissa tilanteissa.

Kaikissa kehittyneissä maissa on tilastoosastoja/yhteiskuntaa. Karl Pearsonin työn ansiosta matemaattiset tilastot syntyvät hypoteesitestauksen ja parametrien arvioinnin avulla.

Todennäköisyysteorian matemaattisia perusteita ei kuitenkaan ollut vielä luotu 1800-luvulla, ja Hilbert 1900-luvun alussa katsoi tämän tieteenalan soveltavan fysiikan ansioksi [50] .

Matemaattinen logiikka

Leibnizin "Universal Characterization" -projektin epäonnistumisen jälkeen kului puolitoista vuosisataa ennen kuin yritys luoda logiikan algebra toistettiin. Mutta se toistettiin uudella pohjalla: totuusjoukon käsite teki mahdolliseksi rakentaa matemaattista logiikkaa luokkateoriana joukkoteoreettisilla operaatioilla. Pioneerit olivat brittiläiset matemaatikot Augustus (Augustus) de Morgan ja George Boole .

Teoksessa "Formal Logic" ( 1847 ) de Morgan kuvasi maailmankaikkeuden käsitteen ja symbolit loogisille operaattoreille, kirjoitti muistiin tunnetut " de Morganin lait ". Myöhemmin hän esitteli matemaattisen suhteen yleisen käsitteen ja relaatioiden operaatiot.

George Boole kehitti itsenäisesti oman, onnistuneemman version teoriasta. Vuosien 1847-1854 teoksissaan hän loi perustan modernille matemaattiselle logiikalle ja kuvasi logiikan algebraa ( Boolen algebra ). Ensimmäiset loogiset yhtälöt ilmestyivät, otettiin käyttöön aineosien käsite (loogisen kaavan hajotukset).

William Stanley Jevons jatkoi Boolen järjestelmää ja rakensi jopa "loogisen koneen", joka pystyy ratkaisemaan loogisia ongelmia [51] . Vuonna 1877 Ernest Schroeder muotoili kaksinaisuuden loogisen periaatteen. Seuraavaksi Gottlob Frege rakensi propositionaalisen laskelman . Charles Peirce hahmotteli 1800-luvun lopulla yleisen relaatioteorian ja propositionaalisten funktioiden teorian ja esitteli myös kvantisoijat . Peano ehdotti symbolismin modernia versiota . Sen jälkeen kaikki oli valmis todistusteorian kehittämiseen Hilbertin koulussa .

Matematiikan perustelut

1800-luvun alkuun mennessä vain euklidisella geometrialla oli suhteellisen tiukka looginen (deduktiivinen) perustelu, vaikka silloinkin sen ankaruutta pidettiin perustellusti riittämättömänä. Uusien objektien ominaisuuksien (esimerkiksi kompleksiluvut , infinitesimaalit jne.) katsottiin yksinkertaisesti olevan suurin piirtein samoja kuin jo tunnettujen objektien ominaisuudet; Jos tällainen ekstrapolointi oli mahdotonta, ominaisuudet valittiin empiirisesti.

Matematiikan perustan rakentaminen alkoi analyysistä. Vuonna 1821 Cauchy julkaisi Algebraic Analysis -teoksen, jossa hän määritteli selkeästi peruskäsitteet rajan käsitteen perusteella. Siitä huolimatta hän teki useita virheitä, esimerkiksi integroi ja eristi sarjat termi kerrallaan todistamatta tällaisten operaatioiden hyväksyttävyyttä. Analyysin perustan viimeisteli Weierstrass , joka selvensi yhtenäisen jatkuvuuden tärkeän käsitteen roolia . Samaan aikaan Weierstrass (1860-luku) ja Dedekind (1870-luku) antoivat perustelut reaalilukuteorialle .

1837 : William Hamilton rakentaa mallin kompleksiluvuista reaalipareina.

Ei-euklidiset geometriat laillistettiin 1870 -luvulla . Heidän euklidiseen avaruuteen perustuvat mallinsa osoittautuivat yhtä yhtenäisiksi kuin Euklidesin geometria.

1879 : Frege julkaisee matemaattisen logiikan aksioomajärjestelmän .

1888 : Dedekind ehdottaa luonnollisten lukujen aksioomijärjestelmän hahmotelmaa. Vuotta myöhemmin Peano ehdotti täydellistä aksioomijärjestelmää .

1899 : Hilbertin Geometrian perusteet julkaistaan ​​.

Tämän seurauksena vuosisadan loppuun mennessä lähes kaikki matematiikka rakennettiin tiukan aksiomatian pohjalta. Matematiikan päähaarojen (paitsi aritmetiikkaa) johdonmukaisuus on tiukasti todistettu (tarkemmin sanottuna pelkistetty aritmetiikan johdonmukaisuuteen) . Aksiomaattinen perusta todennäköisyysteorialle ja joukkoteorialle ilmestyi myöhemmin, 1900-luvulla.

Joukkoteoria ja antinomiat

Vuonna 1873 Georg Cantor esitteli mielivaltaisen lukujoukon käsitteen ja sitten yleisen joukon  käsitteen, matematiikan abstrakteimman käsitteen. Yksi-yhteen-kartoitusten avulla hän esitteli joukkojen ekvivalenssin käsitteen , määritteli sitten enemmän tai vähemmän kardinaliteettien vertailun ja lopuksi luokitteli joukot niiden kardinaalisuuden mukaan: äärellinen, laskettava , jatkuva jne.

Kantor piti potenssihierarkiaa kokonaislukujen ( transfinite-lukujen ) hierarkian (järjestyksen) jatkona . Siten matematiikassa otettiin käyttöön todellinen äärettömyys ,  käsite, jota aikaisemmat matemaatikot välttelivät huolellisesti.

Aluksi joukkoteoria sai hyväntahtoisen vastaanoton monilta matemaatikoilta. Se auttoi yleistämään Jordanian mittateorian , sitä käytettiin menestyksekkäästi Lebesguen integraalin teoriassa , ja monet pitivät sitä kaiken matematiikan tulevaisuuden aksiomatiikan perustana. Myöhemmät tapahtumat osoittivat kuitenkin, että tavallinen logiikka ei sovellu äärettömyyden tutkimiseen, eikä intuitio aina auta tekemään oikeaa valintaa.

Ensimmäinen ristiriita tuli ilmi, kun tarkasteltiin suurinta joukkoa, kaikkien joukkojen joukkoa ( 1895 ). Se oli jätettävä matematiikasta mahdottomaksi. Kuitenkin myös muita ristiriitoja (antinomioita) ilmaantui.

Henri Poincare , joka aluksi hyväksyi joukkoteorian ja jopa käytti sitä tutkimuksessaan, myöhemmin hylkäsi sen voimakkaasti ja kutsui sitä "vakavaksi matematiikan sairaudeksi". Kuitenkin toinen ryhmä matemaatikoita, mukaan lukien Bertrand Russell , Hilbert ja Hadamard , nousi puolustamaan "kantorismia" [52] .

Tilannetta pahensi " valinnan aksiooman " löytäminen ( 1904 , Zermelo ), jota käytettiin tiedostamatta monissa matemaattisissa todisteissa (esimerkiksi reaalilukujen teoriassa). Tämä aksiooma julistaa olevan olemassa joukko, jonka koostumusta ei tunneta, ja useat matemaatikot pitivät tätä seikkaa täysin mahdottomana hyväksyä, varsinkin kun jotkin valinnan aksiooman seuraukset olivat ristiriidassa intuition kanssa ( Banach-Tarskin paradoksi jne.).

1900-luvun alussa oli mahdollista sopia joukkoteorian muunnelmasta, joka oli vapaa aiemmin löydetyistä ristiriitaisuuksista ( luokkateoria ), niin että useimmat matemaatikot hyväksyivät joukkoteorian. Entistä matematiikan yhtenäisyyttä ei kuitenkaan enää ole, jotkut tiedekoulut alkoivat kehittää vaihtoehtoisia näkemyksiä matematiikan perusteluista [53] .

1900-luku

Matematiikan ammatin arvostus on kohonnut huomattavasti 1900-luvulla. Matematiikka on kehittynyt eksponentiaalisesti, ja tehtyjä löytöjä on mahdotonta luetella täydellisesti, mutta joitain merkittävimmistä saavutuksista mainitaan alla.

Uudet ohjeet

1900-luvulla matematiikan kasvot ovat muuttuneet huomattavasti [54] .

  1. Sekä matematiikan aihe että sen soveltamisalue ovat laajentuneet merkittävästi. Uusia osia ilmestyi, osien välillä löydettiin odottamattomia yhteyksiä (esimerkiksi lukuteorian ja todennäköisyysteorian välillä [55] ).
  2. Uusia yleistäviä käsitteitä on ilmaantunut, matematiikka on noussut korkeammalle abstraktiotasolle, ja tältä korkeudelta matemaattisen tieteen yhtenäisyys selkiytyy. Erityinen rooli tässä oli lähes kaikkien matematiikan osien perusteiden kääntämisellä joukkoteoreettiseksi perustaksi. Geometria huomioi jo abstraktimmat avaruudet, algebra on abstrahoitunut numeerisesta aritmetiikasta ja sallii operaatiot mitä epätavallisimmilla ominaisuuksilla.
  3. Tehtiin syvällinen analyysi matematiikan perusteista ja matemaattisen logiikan mahdollisuuksista suhteessa matemaattisten väitteiden todisteisiin.

Vuonna 1900 David Hilbert esitteli toisessa kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa luettelon 23 ratkaisemattomasta matemaattisesta ongelmasta . Nämä ongelmat kattoivat monia matematiikan alueita ja muodostivat 1900-luvun matemaatikoiden toiminnan painopisteen. Tänään listalla on kymmenen asiaa, joista seitsemän on ratkaistu osittain ja kaksi asiaa on vielä avoinna. Loput neljä ovat liian yleisiä, jotta niiden ratkaisusta olisi järkevää puhua.

Uudet matematiikan alueet saivat erityistä kehitystä 1900-luvulla; tietokonetarpeiden lisäksi tämä johtuu suurelta osin ohjausteorian , kvanttifysiikan ja muiden sovellettavien tieteenalojen vaatimuksista.

Myös monet "vanhat" matematiikan alueet kehittyivät nopeasti.

Matemaattinen logiikka ja matematiikan perusteet

Vuonna 1931 Kurt Gödel julkaisi kaksi epätäydellisyyslausettaan , jotka vahvistivat matemaattisen logiikan rajoitukset . Tämä lopetti David Hilbertin suunnitelman luoda täydellinen ja johdonmukainen järjestelmä matematiikan perusteista. Hieman aikaisemmin, Löwenheimin ja Skolemin tutkimuksissa vuosina 1915-1920 ( Löwenheim-Skolem-lause ), havaittiin toinen masentava tosiasia: mikään aksiomaattinen järjestelmä ei voi olla kategorinen . Toisin sanoen, riippumatta siitä, kuinka huolellisesti aksioomijärjestelmä on muotoiltu, aina tulee olemaan tulkinta, joka on täysin erilainen kuin se, jota varten tämä järjestelmä on suunniteltu. Tämä seikka horjuttaa myös uskoa aksiomaattisen lähestymistavan universaalisuuteen.

Siitä huolimatta muodollinen aksiomatiikka tunnustetaan tarpeelliseksi selventääkseen perusperiaatteet, joihin matematiikan haarat perustuvat. Lisäksi aksiomatisointi auttaa tunnistamaan ei-ilmeisiä yhteyksiä matematiikan eri osien välillä ja edistää siten niiden yhdistämistä [56] .

Pääomatulokset saadaan algoritmien teoriassa . On todistettu, että lause voi olla oikea, mutta algoritmisesti vaikeaselkoinen (tarkemmin sanottuna ratkaisumenettelyä ei ole, Church , 1936 ).

Vuonna 1933 Andrei Kolmogorov valmistui (nykyään yleisesti hyväksytyn) todennäköisyysteorian aksiomatiikasta .

Vuonna 1963 Paul Cohen osoitti, että Cantorin jatkumohypoteesi on todistamaton (joukkoteorian tavallisessa aksiomatiikassa ).

Algebra ja lukuteoria

Vuosisadan alussa Emmy Noether ja Van der Waerden saivat päätökseen yleisalgebran perusteiden rakentamisen , jonka rakenteet ( ryhmät , kentät , renkaat , lineaariset avaruudet jne.) läpäisevät nykyään kaiken matematiikan. Ryhmäteoria pääsi pian fysiikkaan ja kristallografiaan suurella menestyksellä . Toinen tärkeä löytö vuosisadan alussa oli p-adic-lukujen hedelmällisen teorian luominen ja kehittäminen .

1910-luvulla Ramanujan muotoili yli 3000 lausetta, mukaan lukien lukujakofunktion ominaisuudet ja sen asymptoottiset estimaatit . Hän sai myös tärkeitä tuloksia gammafunktion , modulaaristen muotojen , divergenttien , hypergeometristen sarjojen ja alkulukujen teorian tutkimuksessa .

Andrew Wiles osoitti Fermatin viimeisen lauseen vuonna 1995 ja ratkaisi vuosisatoja vanhan ongelman.

Matemaattinen analyysi ja matemaattinen fysiikka

1900-luvun alussa Lebesgue ja Borel yleistivät Jordanin mittateorian; sen perusteella rakennettiin Lebesgue-integraali . Funktionaalinen analyysi ilmestyi Hilbertin kouluun ja löysi pian suoran sovelluksen kvanttifysiikassa .

1960-luvulla Abraham Robinson julkaisi esityksen epästandardista analyysistä  , vaihtoehtoisesta lähestymistavasta laskennan perustelemiseksi todellisten infinitesimaalien perusteella .

Moniulotteisten monistojen teoriaa kehitetään intensiivisesti fysiikan tarpeiden ( GR , string theory , jne.) kannustamana.

Geometria ja topologia

Yleinen topologia kehittyy nopeasti ja löytää sovelluksen matematiikan eri alueilla. Benoit Mandelbrotin ( 1975 ) löytämät fraktaalit herättivät suurta kiinnostusta .

Hermann Minkowski kehitti vuonna 1907 erikoissuhteellisuusteorian kinematiikasta geometrisen mallin , joka myöhemmin toimi perustana yleiselle suhteellisuusteorialle (GR). Molemmat teoriat toimivat virikkeenä mielivaltaisten sileiden monistojen  - erityisesti Riemannin ja pseudo-Riemannien - moniulotteisen differentiaaligeometrian nopealle kehitykselle .

Diskreetti ja tietokonematematiikka

1900-luvun toisella puoliskolla matemaattisten ponnistelujen suuntautuminen tapahtui merkittävästi tietokoneiden tulon vuoksi. Sellaisten osien rooli, kuten numeeriset menetelmät , optimointiteoria , viestintä erittäin suurten tietokantojen kanssa, tekoälyn jäljitelmä , audio- ja videodatan koodaus jne., on kasvanut merkittävästi. Uusia tieteitä on syntynyt - kybernetiikka, tietojenkäsittely , hahmontunnistus , teoreettinen ohjelmointi , automaattinen käännösteoria, tietokonemallinnus, ääni- ja videotietojen kompakti koodaus jne.

Useita vanhoja ongelmia on ratkaistu tietokonevedoksilla [57] . Wolfgang Haken ja Kenneth Apel ratkaisivat neljän värin ongelman tietokoneella ( 1976 ).

2000-luku

Vuonna 2000 Clay Mathematical Institute kokosi luettelon seitsemästä tärkeimmästä matemaattisesta ongelmasta "tärkeistä klassisista ongelmista, joita ei ole ratkaistu moneen vuoteen". Vuonna 2003 Grigory Perelman ratkaisi yhden vuosituhannen tehtävistä - Poincarén hypoteesin .

2000-luvulla useimmilla matemaattisilla aikakauslehdillä on verkkoversiot, ja jotkut lehdet julkaistaan ​​vain Internetissä. ArXiv teki ensimmäisenä suositun avoimen pääsyn julkaisemiseen . Hajautetun laskennan suosio on kasvussa , mikä antaa tutkijoille mahdollisuuden käyttää eri puolilta maailmaa olevien henkilökohtaisten tietokoneiden valtavaa laskentatehoa erilaisten matemaattisten hypoteesien numeeriseen testaukseen, esimerkiksi PrimeGrid-projektissa etsitään erikoislaatuisia alkulukuja . Lisäksi tietokonetyökalujen kyvyt lisääntyvät, ihmis-kone -todistuksille ja todisteiden automaattiselle varmentamiselle, esimerkiksi vuonna 2014 Kepler-hypoteesin todistusvoimaisuus varmistettiin tietokonejärjestelmällä.

Katso myös

Muistiinpanot

Kommentit
  1. ↑ "Useimpien mielipiteiden mukaan geometria löydettiin ensin Egyptistä ja syntyi alueiden mittaamisesta" // Proclus Diadochus. In primum Euclidis Elementorum commentarii. - Leipzig, 1873. - S. 64.
  2. ↑ "... niin kutsutut pythagoralaiset, jotka omaksuivat matematiikan, kehittivät sen ensimmäisinä ja hallittuaan sen alkoivat pitää sitä kaiken olemassa olevan alkuna ... heistä näytti, että kaikki muu oli selvästi verrattiin numeroihin luonnossa, ja että numerot ovat ensimmäisiä koko luonnossa, sitten he olettivat, että numeroiden elementit ovat kaiken olemassa olevan elementtejä ja että koko taivas on harmoniaa ja numeroa" // Aristoteles. Metafysiikka, luku viisi. - M. - L. , 1934. - S. 26-27.
  3. ↑ Tämä ei viittaa nykyiseen Kaliningradiin, vaan Baijerin Königsbergiin .
Lähteet
  1. ↑ Kline M. Matematiikka. Varmuuden menetys, 1984 , s. 44-47.
  2. ↑ Young V. N. Esseitä matematiikan perusteluista. - M . : Uchpedgiz, 1958. - S. 7.
  3. ↑ Wigner EP The Unreonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences  // Puhtaan ja sovelletun matematiikan tiedonannot. - 1960. - Nro 13 . - S. 1-14 . Katso venäjänkielinen käännös kirjasta Etudes on Symmetry . - M . : Mir, 1971. tai UFN:ssä maaliskuulle 1968. Arkistokopio 23. maaliskuuta 2012 Wayback Machinessa .
  4. ↑ Kline M. Matematiikka. Varmuuden menetys, 1984 , s. 323-407.
  5. ↑ Ireland K., Rosen M. Klassinen johdatus nykyaikaiseen lukuteoriaan. - Moskova: Mir, 1987. - S. 53. - 428 s.
  6. ↑ Frolov B. A. Numerot paleoliittisessa grafiikassa. - Novosibirsk: Nauka, 1974. - 240 s.
  7. ↑ 1 2 Matematiikan historia, 1970-1972 , osa I, s. 12-13.
  8. ↑ Mach E. Kognition ja harhaluulo // Albert Einstein ja painovoimateoria. - M .: Mir, 1979. - S. 74 (alaviite). — 592 s. : "ennen kuin luvun käsite syntyy, täytyy olla kokemus, että tietyssä mielessä samanarvoisia objekteja on olemassa useita ja muuttumattomia ."
  9. ↑ Andronov, 1959 , s. 40-54.
  10. ↑ Andronov, 1959 , s. 60-77.
  11. ↑ Andronov, 1959 , s. 77-94.
  12. ↑ Matematiikan historia, 1970-1972 , osa I, s. neljätoista.
  13. ↑ Matematiikan historia, 1970-1972 , osa I, s. 21-33.
  14. ↑ Matematiikan historia, 1970-1972 , osa I, s. 30-32.
  15. ↑ Matematiikan historia, 1970-1972 , osa I, s. 158.
  16. ↑ Luonnontieteellinen tieto muinaisesta Venäjästä (XI-XV vuosisatoja) . www.portal-slovo.ru. Haettu 19. toukokuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 24. syyskuuta 2020.
  17. ↑ Sofia Kovalevskaja: maailman ensimmäinen matematiikan  naisprofessori // www.rosimperija.info. Arkistoitu 18. toukokuuta 2019.
  18. ↑ Nemorary. Tietoja näistä luvuista / Per. ja n. S. N. Schrader. Ed. I. N. Veselovsky // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus. - 1959. - T. XII . - S. 559-678 .
  19. ↑ Zubov V.P. Keskiaikaisen atomismin historiasta // Luonnontieteiden historian instituutin julkaisut. - 1947. - T. I. - S. 293 .
  20. ↑ Orem N. Trakaatti ominaisuuksien konfiguraatiosta // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus / Per. V. P. Zubova . - M. , 1958. - Numero. 11 . - S. 601-732 .
  21. ↑ Alexandrov A.D. Matematiikka, sen sisältö, menetelmät ja merkitys (kolmessa osassa). - Neuvostoliiton tiedeakatemia, 1956. - T. 1. - S. 39-40. — 296 s.
  22. ↑ Gindikin S. G. Tarinoita fyysikoista ja matemaatikoista . - M .: Nauka, 1982. - (Raamattu "Quantum", numero 14).
  23. ↑ Matematiikan historia, 1970-1972 , osa I, s. 304-305.
  24. ↑ Fr. Viete . Johdanto taideanalyysiin. Bollettino di bibliografia e storia delle matematiche e phisiche, v. Minä, 1868.
  25. ↑ Descartes R. Geometry Arkistokopio päivätty 13. marraskuuta 2007 Wayback Machinessa // Keskustelu menetelmästä sovellusten kanssa / Käännös, G. G. Slyusarevin ja A. P. Jushkevichin artikkelit ja kommentit. M.-L.: Toim. Neuvostoliiton tiedeakatemia, 1953.
  26. ↑ Matematiikan historia, 1970-1972 , osa II, s. 21.
  27. ↑ Yushkevich A.P. Descartes ja matematiikka. // R. Descartes. Geometria. M.-L.: 1938. S. 255-294.
  28. ↑ Descartes R. Geometria. P. Fermatin valittujen teosten ja Descartesin kirjeenvaihdon sovelluksella / Käännetty, muistiinpanot ja artikkeli A. P. Yushkevich. M.-L.: 1938.
  29. ↑ Bernoulli J. Suurten lukujen laista / Per. Ja V. Uspensky. Esipuhe A. A. Markov. Moskova: Nauka, 1986.
  30. ↑ I. Kepler. Viinitynnyreiden uusi stereometria Arkistoitu 8. helmikuuta 2013, Wayback Machine / Per. ja esipuhe G. N. Sveshnikov. M. Ya. Vygodskyn johdantoartikkeli. M.-L.: GTTI, 1935. S. 109.
  31. ↑ Cavalieri B. Geometria, ilmaistu uudella tavalla jatkuvien jakamattomien avulla, soveltamalla "Kokeilua IV" jakamattomien soveltamisesta algebrallisiin potenssiin / Käännös, johdantoartikkeli ja S. Ya. Lurien kommentit. M.-L.: 1940.
  32. ↑ Fermat P. Johdatus tasaisten ja tilallisten paikkojen tutkimukseen. Tietoja maksimista ja minimistä. Otteita kirjeenvaihdosta Descartesin kanssa // R. Descartes. Geometria. M.-L.: 1938. S. 137-196.
  33. ↑ I. Newton. Matemaattiset teokset / D. D. Mordukhai-Boltovskyn käännös, artikkelit ja kommentit. M.-L.: 1937.
  34. ↑ Leibniz G. V. Valittuja kohtia matemaattisista teoksista / Kokoanut ja kääntänyt A. P. Yushkevich. - Onnea, Math. Tieteet, 1948. T. III. V. I (23). s. 165-204.
  35. ↑ Antoine Arnault . Geometrian uudet alkut ( ranskalaiset  Nouveaux elements de geometrie ), Pariisi, 1667.
  36. ↑ J. Lagrange. Analyyttinen mekaniikka, osa I, II Arkistokopio 1. elokuuta 2008 Wayback Machinessa / Per. V. S. Gokhman, toim. L. G. Loitsyansky ja A. I. Lurie. M.-L.: 1950.
  37. ↑ Laplace P. S. Lausuma maailman järjestelmästä. - L .: Nauka, 1982. 376 s.
  38. ↑ L. Euler. Johdatus äärettömän analyysiin. Vol . I Arkistoitu 1. toukokuuta 2013, Wayback Machine / Per. E. L. Patsanovsky, artikkeli A. Speiser, toim. I. B. Pogrebyssky. S. 109.
  39. ↑ Kotek V. V. Leonhard Euler. M.: Uchpedgiz, 1961
  40. ↑ Laplace P. Kokemusta todennäköisyysteorian filosofiassa / Per. AIB; toim. A. K. Vlasova. M.: 1908.
  41. ↑ Panov V.F. Muinainen ja nuori matematiikka. - Toim. 2., korjattu. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 477. - 648 s. — ISBN 5-7038-2890-2 .
  42. ↑ G. Monge. Kuvaava geometria / Per. V. F. Gaze, toimittanut D. I. Kargip. M.: 1947.
  43. ↑ Gauss K. F. Yleistä kaarevien pintojen tutkimusta Arkistoitu 5. maaliskuuta 2014 Wayback Machinessa // Funds of Geometry. M.: GITTL, 1956.
  44. ↑ Stroyk D. Essee differentiaaligeometrian historiasta. M.; L.: Gostekhizdat, 1941.
  45. ↑ Riemann B. Teokset arkistoitu 1. toukokuuta 2013 Wayback Machinessa M.-L.: OGIZ. GITTL, 1948.
  46. ↑ O. L. Cauchy. Algebrallinen analyysi / Per. F. Ewald, V. Grigorjev, A. Iljin. Leipzig: 1864. S. VI.
  47. ↑ K. F. Gauss Proceedings in number theory Arkistokopio 14. syyskuuta 2011 Wayback Machinessa / Per. B. B. Demyanova, kenraali toim. I. M. Vinogradov, kommentit B. N. Delaunay. M.: Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1959.
  48. ↑ Cassels J. Johdatus numeroiden geometriaan M.: Mir, 1965.
  49. ↑ Galois E. Teokset. M.-L.: ONTI, 1936.
  50. ↑ Hilbert Issues arkistoitu 1. kesäkuuta 2013 Wayback Machinessa / Ed. P.S. Aleksandrova. M.: "Nauka", 1969. S. 34.
  51. ↑ Jevons S. Tieteen perusteet. Pietari: 1881.
  52. ↑ Kline M. Matematiikka. Varmuuden menetys, 1984 , s. 228-250.
  53. ↑ Kline M. Matematiikka. Varmuuden menetys, 1984 , s. 251-299.
  54. ↑ Alexandrov A.D. Matematiikka, sen sisältö, menetelmät ja merkitys (kolmessa osassa). - Neuvostoliiton tiedeakatemia, 1956. - T. 1. - S. 59-60. — 296 s.
  55. ↑ Postnikov A. G. Lukujen todennäköisyysteoria. - M . : Tieto, 1974. - 64 s. - (Uutta elämässä, tieteessä).
  56. ↑ Weil G. Puoli vuosisataa matematiikkaa, 1969 , s. 7-8.
  57. ↑ Graham, Ronald. Matematiikka ja tietokoneet: ongelmia ja tulevaisuudennäkymiä // Kvant . - 2016. - Nro 3 . - s. 2-9.

Kirjallisuus

koko historiallinen ajanjakso Muinaishistoria Uusi aika, XVI-XVIII vuosisadat XIX-XX vuosisatoja

Linkit

 Matematiikan historia
Maat ja aikakaudet
Temaattiset
osat
Katso myös