Tensorianalyysi

Tensorianalyysi on vektorianalyysin yleistys, tensorilaskennan osa , joka tutkii differentiaalisen moniston tensorikenttien algebraan vaikuttavia differentiaalioperaattoreita . Otamme huomioon myös operaattorit, jotka toimivat yleisempiin geometrisiin objekteihin kuin tensorikentät: tensoritiheydet, differentiaalimuodot arvoilla vektorinipussa. $D(M)$ $M$

Kiinnostavia ovat operaattorit, joiden toiminta ei johda algebran ulkopuolelle , mukaan lukien kovarianttiderivaata , Lie-derivaata , ulompi derivaatta , ei-degeneroituneen, kaksoiskovariantin tensorin kaarevuustensori. . $D(M)$

Kovarianttijohdannainen

Kovarianttiderivaata vektorikenttää pitkin on moniston vektorikenttien tilan lineaarinen kartoitus vektorikentästä riippuen ja ehtojen täyttyessä: $X$ $\nabla _{X}$ $D^{1}(M)$ $M$ $X$

\nabla _{f}X+{}_{{gV}}Z=f\nabla _{X}Z,

\nabla _{X}(fZ)=f\nabla _{X}Z+(Xf)Y,

missä , , , , ovat tasaisia funktioita . Tämän operaattorin määrittelemä yhteys ja rinnakkaismuunnos mahdollistavat kovarianttiderivaatan toiminnan laajentamisen algebran lineaariseen kartoitukseen itseensä; lisäksi kartoitus on differentiaatio, säilyttää tensorikentän tyypin ja muuttaa konvoluutiota. $X$ $Y$ $Z\in D'(M)$ $f$ $g$ $M$ $\Gamma$ $D(M)$ $\nabla X$

Paikallisissa koordinaateissa komponentteja sisältävän tensorin kovarianttiderivaata suhteessa vektoriin määritellään seuraavasti: $u^{1},\;u^{2},\;\ldots ,\;u^{n}$ $T\left(T_{{j_{1}\ldots {j_{m}}}}^{{i_{1}\ldots {i_{l}}}}\right)$ $X=\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i))}$

\nabla _{X}T=\xi ^{s}\left({\frac {\partial T_{{j_{1}\ldots m}}^{{i_{1}\ldots i_{l}}} }{\partial u^{s}}}+\Gamma _{{k_{s}}}^{{i_{1}}}T_{{j_{1}\ldots j_{m}}}^{{ k\ldots i_{l}}}+\ldots -\Gamma _{{j_{{i,s}}}}^{k}T_{{k\ldots j_{m}}}^{{i_{1 }\ldots i_{l}}}}\oikea),

\Gamma _{{ks}}^{i}

on yhteysobjekti .

\Gamma

Valheen derivaatta

Lie-derivaata vektorikenttää pitkin on kaavalla määritellyn avaruuden kuvaus , jossa on vektorikenttien kommutaattori , . Tämä operaattori ulottuu ainutlaatuisesti myös differentiaatioon , säilyttää tensorien tyypin ja kommutoi konvoluutiolla . Paikallisissa koordinaateissa Lie-tensorin derivaatta ilmaistaan seuraavasti: $X$ $L_{X}$ $D'(M)$ $L_{X}:Y\-[X,\;Y]$ $[X,\;Y]$ $X$ $Y$ $D(M)$ $T\left(T_{{j_{1}\ldots {j_{m}}}}^{{i_{1}\ldots {i_{l}}}}\right)$

L_{X}T=\xi ^{k}{\frac {\partial T_{{j_{1}\ldots j_{m))}^{{i_{1}\ldots i_{l)))){ \partial u^{k))}+T_{{k\ldots j_{m))}^{{i_{1}\ldots i_{l))}{\frac {\partial \xi ^{k)) {\partial u^{i))}+\ldots -T_{{j_{1}\ldots j_{m))}^{{k\ldots i_{l))}{\frac {\partial \xi ^ {{i_{1}}}}{\osittaiset u^{k}}}-\ldots

Ulkoinen johdannainen

Ulkoinen differentiaali (ulkoinen derivaatta) on lineaarinen operaattori , joka yhdistää ulkoisen differentiaalimuodon (vinosymmetrinen kovarianttitensorin) asteeseen samantyyppiseen ja -asteiseen muotoon, joka täyttää ehdot: $d$ $s$ $p+1$

d(\omega _{1}\wedge \omega _{2})=d\omega _{1}\wedge \omega _{2}+(-1)^{r}\omega _{1}\wedge d\omega _{2},\quad d(d\omega )=0,

missä on ulkotuotteen symboli , on aste . Paikallisissa koordinaateissa tensorin ulkoinen derivaatta ilmaistaan seuraavasti: $\kiila$ $r$ $\omega_{1}$ $\omega \langle \omega _{{i_{1}\ldots i_{p}}}\rangle$

d\omega =\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\partial \omega _{{i_{1}\ldots {\hat i}_ {k}\ldots i_{{p+1}}}}}{\osittainen u^{{i_{k}}}}}.

Operaattori on operaattorin yleistys . $d$ ${\mathrm {rot}}$

Kaarevuustensori

Symmetrisen ei-degeneroituneen kaksoiskovariantisen tensorin kaarevuustensori on jonkin epälineaarisen operaattorin toiminta : $g_{{if}}$ $R$

g_{if}\to R_{mlk}^{s}={\frac {\partial \Gamma _{km}^{s)){\partial u^{l))}-{\frac { \partial \Gamma _{kl}^{s}}{\partial u^{m}}}+\sum _{p}\left(\Gamma _{lp}^{s}\Gamma _{km}^ {p}-\Gamma _{mp}^{s}\Gamma _{kl}^{p}\right)

missä

\Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{is}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial u^{k ))}+{\frac {\partial g_{ks}}{\partial u^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial u^{s}}}\right)

Kirjallisuus

Sokolnikov I. S. Tensorianalyysi. - M .: Nauka, 1971. - 374 s.
Shouten Ya. A. Tensorianalyysi fyysikoille. - M. : Kustantajan "Nauka" fyysisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1965. - 456 s.
Shirokov P. A. Tensorilaskenta. - M. - L .: Gostekhizdat, 1934. - 464 s.