Kuutio yhtälö

Kuutioyhtälö on kolmannen asteen algebrallinen yhtälö , jonka yleinen muoto on seuraava:

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\;a\neq 0.

Tässä kertoimet ovat reaali- tai kompleksilukuja . $a,b,c,d$

Kuutioyhtälön analysoimiseksi ja ratkaisemiseksi voit piirtää kuvaajan vasemmasta reunasta karteesisessa koordinaatistossa , jolloin tuloksena olevaa käyrää kutsutaan kuutioparaabeliksi (katso kuvat).

Yleinen kuutioyhtälö voidaan pelkistää kanoniseen muotoon jakamalla muuttujaa ja muuttamalla sitä , jolloin saadaan yhtälön yksinkertaistettu muoto: $a$ $x=y-{\tfrac {b}{3a}}.$

y^{3}+py+q=0,

missä

p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2} }},

q={\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}= {\frac {27a^{2}d-9abc+2b^{3}}{27a^{3}}}.

Kuutioyhtälö on ratkaistavissa radikaaleilla , katso Cardanon kaava .

Historia

Muinainen aika

Kuutioyhtälöt tunsivat muinaiset egyptiläiset, babylonialaiset, muinaiset kreikkalaiset, kiinalaiset ja intialaiset [1] [2] . Vanhanbabylonialaisen ajanjakson (XX-XVI vuosisata eKr.) nuolenkirjoitustauluja löytyi, jotka sisälsivät kuutio- ja kuutiojuurten taulukoita [3] [4] . Babylonialaiset ovat saattaneet käyttää näitä taulukoita kuutioyhtälöiden ratkaisemiseen, mutta ei ole todisteita siitä, että he tekisivät niin [5] .

Kuution tuplausongelma käyttää yksinkertaisinta ja vanhinta kuutioyhtälöä, eivätkä muinaiset egyptiläiset uskoneet, että siihen oli olemassa ratkaisu [6] . Viidennellä vuosisadalla eKr. Hippokrates vähensi tämän ongelman niin, että hän löysi kaksi keskimääräistä suhteellista osuutta toisen ja kaksi kertaa niin suuren segmentin välillä, mutta ei kyennyt ratkaisemaan sitä kompassilla ja suoraviivalla [7] , mikä, kuten nyt tiedetään, on mahdotonta tehdä.

Muinainen kreikkalainen matemaatikko Diophantus löysi 300 -luvulla jKr. kokonaisluku- ja rationaaliset ratkaisut joillekin kuutioyhtälöille, joissa on kaksi tuntematonta ( diofantiiniyhtälöt ) [2] [8] . Uskotaan, että Hippokrates , Menechmus ja Arkhimedes pääsivät lähemmäksi kuution kaksinkertaistamista kartioleikkausten avulla [7] , vaikka jotkut historioitsijat, kuten Reviel Netz, sanovat, ettei tiedetä, ajattelivatko kreikkalaiset kuutioyhtälöitä tai yksinkertaisesti ongelmista, jotka voivat johtaa kuutioyhtälöihin. Toiset, kuten Thomas Heath , kaikkien olemassa olevien Arkhimedesin teosten kääntäjä ja kommentoija , ovat eri mieltä ja viittaavat todisteisiin siitä, että Arkhimedes todella ratkaisi kuutioyhtälöt ristiin kaksi kartiota [9] .

Numeeriset menetelmät kuutioyhtälöiden ratkaisemiseksi esiintyvät kiinalaisessa matemaattisessa tekstissä Mathematics in Nine Books , joka on laadittu noin toisella vuosisadalla eKr. ja jota kiinalainen matemaatikko Liu Hui kommentoi kolmannella vuosisadalla [1] .

700-luvulla Tang-dynastian aikana tähtitieteilijä ja matemaatikko Wang Xiaotong matemaattisessa tutkielmassaan Jigu Suanjing esitti ja ratkaisi 25 kuutioyhtälöä muodossa , joista 23: ssa ja kahdessa yhtälössä [10] . $x^{3}+px^{2}+qx=N$ $p,q\neq 0$ $q = 0$

Keskiaika

1000-luvulla persialainen runoilija ja matemaatikko Omar Khayyam (1048-1131) edistyi merkittävästi kuutioyhtälöiden teoriassa. Varhaisessa kuutioyhtälötyössään hän havaitsi, että kuutioyhtälöllä voi olla kaksi ratkaisua (kolmen juuren tapaus jäi häneltä huomaamatta [11] ), ja väitti, että yhtälöä ei voitaisi ratkaista kompassilla ja suoraviivalla. Hän löysi myös geometrisen ratkaisun [12] [13] . Myöhemmässä työssään, traktaatissa algebran ongelmien demonstroinnista , hän kuvasi täydellisen kuutioyhtälöiden luokituksen ja niiden yleiset geometriset ratkaisut käyttämällä kartioleikkausten leikkauspisteitä [14] [15] .

Intialainen matemaatikko Bhaskara II yritti 1100-luvulla ratkaista kuutioyhtälöitä ilman suurta menestystä. Hän antoi kuitenkin yhden esimerkin kuutioyhtälön ratkaisemisesta [16] :

x^{3}+12x=6x^{2}+35.

Samalla 1100-luvulla persialainen matemaatikko Sharaf al-Din kirjoitti Al-Mu'adalatin ( Traakteri yhtälöistä ), joka puhuu kahdeksasta kuutioyhtälötyypistä positiivisilla ratkaisuilla ja viidestä tyypistä ilman positiivisia ratkaisuja. Hän käytti sitä, mikä myöhemmin tunnettiin nimellä " Ruffini - Horner " -lähestymistapa kuutioyhtälön juuren numeeriseksi arvioimiseksi . Hän kehitti myös käsitteen funktion derivaatta ja käyrän ääripäät kuutioyhtälöiden ratkaisemiseksi, joilla ei ehkä ole positiivisia arvoja [17] . Hän ymmärsi kuutioyhtälön erottimen tärkeyden algebrallisen ratkaisun löytämiseksi joillekin erityisille kuutioyhtälöille [18] .

Keskiaikaisessa Euroopassa 1500-luvulle asti ei onnistuttu kuutioyhtälöiden ratkaisemisessa. Leonardo Pisa, joka tunnetaan myös nimellä Fibonacci (1170-1250), pystyi löytämään positiivisia ratkaisuja kuutioyhtälöön käyttämällä babylonialaisia numeroita . Hän osoitti ratkaisun , joka on samanlainen standardimerkinnällä ja eroaa tarkasta ratkaisusta vain kolmella biljoonalla. [19] $x^{3}+2x^{2}+10x=20$ ${\näyttötyyli 1,22,7,42,33,4,40,}$ $1+22/60+7/60^{2}+42/60^{3}+33/60^{4}+4/60^{5}+40/60^{6}$

Luca Pacioli kirjoitti tutkielmassaan "Aritmetiikan, geometrian, suhteiden ja suhteiden summa" (1494), että kuutioyhtälöiden yleinen ratkaisu " on yhtä mahdotonta tieteen nykytasolla kuin ympyrän neliöinti kompassilla ja viivaimella " [ 20] .

Del Ferro-Tartaglian löytö

1500-luvun alussa italialainen matemaatikko Scipio del Ferro löysi yleisen menetelmän tärkeän kuutioyhtälöiden luokan ratkaisemiseksi, nimittäin yhtälöt, joiden muoto on ei-negatiiviset n ja m . Itse asiassa kaikki kuutioyhtälöt voidaan pelkistää tähän muotoon, jos sallitaan mahdollisuus olla negatiivinen, mutta negatiivisia lukuja ei tuolloin pidetty vielä hyväksyttävinä. Del Ferro piti löytönsä salassa, kunnes hän kertoi siitä opiskelijalleen Antonio Fiorelle ennen kuolemaansa. $x^{3}+mx=n$ $m$ $n$

Vuonna 1535 Niccolo Tartaglia sai kaksi tehtävää kuutioyhtälöiden muodossa Zuanne da Coilta ja ilmoitti voivansa ratkaista ne. Pian hän sai Fiorelta haasteen matemaattiseen kilpailuun, josta tuli valmistumisensa jälkeen kuuluisa. Jokaisen heistä oli tarjottava tietty määrä tehtäviä vastustajalle ratkaistaviksi. Kävi ilmi, että kaikki Tartaglian saamat tehtävät pelkistettiin tyyppisiksi kuutioyhtälöiksi . Hieman ennen määräaikaa Tartaglia onnistui kehittämään yleisen menetelmän tämän tyyppisten kuutioyhtälöiden ratkaisemiseksi (del Ferron menetelmän uudelleen löytäminen) sekä yleistämään sen kahdelle muulle tyypille ( ja ). Sen jälkeen hän ratkaisi nopeasti kaikki hänelle ehdotetut tehtävät. Fiore puolestaan sai Tartagliasta ongelmia matematiikan eri aloilta, joista monet osoittautuivat hänen voimiensa ulkopuolella; seurauksena Tartaglia voitti kilpailun. $x^{3}+mx=n$ $x^{3}=mx+n$ $x^{3}+n=mx$

Myöhemmin Gerolamo Cardano (1501-1576) yritti toistuvasti vakuuttaa Tartagliasta paljastamaan kuutioyhtälöiden ratkaisemisen salaisuuden. Vuonna 1539 hän onnistui: Tartaglia raportoi menetelmästään, mutta sillä ehdolla, että Cardano ei avannut sitä kenellekään ennen kuin Tartaglia julkaisi oman kirjan kuutioyhtälöistä, jonka parissa hän työskenteli ja missä hän aikoi julkaista menetelmän. Kuusi vuotta myöhemmin Tartaglia ei koskaan julkaissut kirjaansa, ja Cardano, joka oli siihen mennessä oppinut Ferron työstä, havaitsi mahdolliseksi julkaista del Ferron menetelmän (jossa Tartaglia nimi mainittiin itsenäisesti löytäneenä) kirjassaan Ars Magna vuonna 1545. . Cardano perusteli itsensä lupaamalla olla kertomatta kenellekään Tartaglian, eikä del Ferron, tuloksia. Tartaglia kuitenkin uskoi, että Cardano rikkoi lupauksensa ja lähetti hänelle haasteen kilpailuun, jota Cardano ei hyväksynyt. Lopulta Cardanon oppilas Lodovico Ferrari (1522-1565) hyväksyi haasteen, ja hän osoittautui voittajaksi [21] .

Cardano huomasi, että Tartaglian menetelmä joskus (eli kun on kolme todellista juuria) vaatii negatiivisen luvun neliöjuuren ottamista. Hän jopa sisällytti laskelmia näillä kompleksiluvuilla Ars Magnaan , mutta hän ei oikein ymmärtänyt ongelmaa. Rafael Bombelli tutki tätä ongelmaa yksityiskohtaisesti, ja siksi häntä pidetään kompleksilukujen löytäjänä.

François Viète (1540–1603) johti itsenäisesti ratkaisun kuutioyhtälöön, jossa on kolme reaalijuurta. Hänen ratkaisunsa perustui trigonometriseen kaavaan

(2{\cdot}\cos \phi)^3-3{\cdot}(2{\cdot}\cos \phi)=2{\cdot}\cos(3{\cdot}\phi).

Erityisesti korvaaminen johtaa yhtälöön $x=2{\cdot}a{\cdot}\cos\phi$

x^{3}-3{\cdot }a^{2}{\cdot }x=a^{2}\cdot b.

mieleen

2{\cdot}a{\cdot}\cos (3{\cdot}\phi)= b.

Myöhemmin René Descartes (1596-1650) syvensi Vietan työtä [22] .

Yhtälön juuret

Lukua , joka muuttaa yhtälön identiteetiksi , kutsutaan yhtälön juuriksi tai ratkaisuksi . Se on myös kolmannen asteen polynomin juuri , joka on kanonisen merkinnän vasemmalla puolella. $x$

Kompleksilukujen kentän yli algebran peruslauseen mukaan kuutioyhtälö

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

sillä on aina 3 juuria (ottaen huomioon moninkertaisuuden). $x_{1},x_{2},x_{3}$

Koska jokaisella parittoman asteen reaalipolynomilla on vähintään yksi reaalijuuri, kaikki mahdolliset kuutioyhtälön juurien koostumuksen tapaukset rajoittuvat kolmeen alla kuvattuun.

Nämä tapaukset erotetaan käyttämällä erottelumerkkiä :

\Delta =a^{4}{\cdot }(x_{1}-x_{2})^{2}{\cdot }(x_{1}-x_{3})^{2}{ \cdot }(x_{2}-x_{3})^{2}=

=-4{\cdot }b^{3}\cdot d+b^{2}{\cdot }c^{2}-4{\cdot }a{\cdot }c^{3}+ 18{\cdot }a{\cdot }b{\cdot }c{\cdot }d-27{\cdot }a^{2}{\cdot }d^{2}.

Kolme tapausta on mahdollista:

Jos sitten yhtälöllä on kolme erillistä reaalijuurta. $\Delta >0,$
Jos sitten yhtälössä on yksi reaali ja pari kompleksisia konjugaattijuuria , jos yhtälön kertoimet ovat reaalilukuja eivätkä välttämättä muuten kompleksisia konjugaattia. $\Delta<0,$
Jos silloin vähintään kaksi juurta osuu yhteen. Tämä voi tapahtua, kun yhtälöllä on kaksinkertainen reaalijuuri ja toinen reaalijuuri, joka eroaa niistä; tai kaikki kolme juuria ovat yhteneväisiä, jolloin muodostuu monikertaisuuden 3 juuri. Kuutioyhtälön resultantti ja sen toinen derivaatta auttavat erottamaan nämä kaksi tapausta : polynomilla on kerrannaisjuuri 3, jos ja vain, jos ilmoitettu resultantti on myös nolla . $\Delta =0,$

Vieta-lauseen mukaan kuutioyhtälön juuret liittyvät kertoimiin seuraavilla suhteilla [23] : $x_{1},\,x_{2},\,x_{3}$ $a,\,b,\,c,\,d$

x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},

x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}={\frac {c}{a}},

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}=-{\frac {d}{a}}.

Jakamalla nämä suhteet keskenään, saat useita suhteita lisää:

{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+{\frac {1}{x_{3}}}=-{\frac {c}{ d}},\quad d\neq 0,

{\frac {1}{x_{1}x_{2}}}+{\frac {1}{x_{2}x_{3}}}+{\frac {1}{x_{1} x_{3}}}={\frac {b}{d}},\quad d\neq 0,

{\frac {1}{x_{1}x_{2}x_{3))}=-{\frac {a}{d)),\quad d\neq 0.

Ratkaisumenetelmät

Yleiset tarkat ratkaisumenetelmät:

Joillekin erityisille kuutioyhtälöille on olemassa erityisiä menetelmiä niiden ratkaisemiseksi. Katso esimerkiksi:

Voit myös soveltaa numeerisia menetelmiä yhtälöiden ratkaisemiseen .

Korvaus Vieta

Kuten edellä mainittiin, mikä tahansa kuutioyhtälö voidaan pelkistää muotoon:

t^{3}+pt+q=0,

Teemme vaihdon, joka tunnetaan nimellä Vieta-korvaus:

t=w-{\frac {p}{3w))

Tuloksena saamme yhtälön:

w^{3}+q-{\frac {p^{3}}{27w^{3}}}=0.

Kertomalla : lla saadaan kuudennen asteen yhtälö , joka itse asiassa on toisen asteen yhtälö : ${\displaystyle w^{3))$ $w$ ${\displaystyle w^{3))$

w^{6}+qw^{3}-{\frac {p^{3}}{27}}=0

Ratkaisemalla tämän yhtälön saamme . Jos , ja ovat kolme kuutiojuurta , niin alkuperäisen yhtälön juuret voidaan saada kaavoilla ${\displaystyle w^{3))$ $w_{1}$ ${\displaystyle w_{2))$ ${\displaystyle w_{3))$ ${\displaystyle w^{3))$

t_{1}=w_{1}-{\frac {p}{3w_{1}}},\quad t_{2}=w_{2}-{\frac {p}{3w_{2}}}\ quad

\quad t_{3}=w_{3}-{\frac {p}{3w_{3))}.

Omar Khayyamin päätös

Kuten kaaviosta näkyy, ratkaisemaan kolmannen asteen yhtälö , jossa Omar Khayyam rakensi paraabeliympyrän , jonka halkaisija on positiivisen puoliakselin segmentti ja pystysuora viiva, joka kulkee paraabelin ja ympyrän leikkauskohdan kautta. Ratkaisun määrittää vaakasuuntaisen segmentin pituus origosta pystysuoran ja akselin leikkauskohtaan . $x^{3}+a^{2}x=b$ $b>0,$ $y={\frac {x^{2}}{a)),$ $\left[0,{\frac {b}{a^{2}}}\right]$ $x$ $x$

Yksinkertainen moderni todiste rakentamisesta: kerro yhtälöllä ja ryhmittele termit $x$

{\frac {x^{4}}{a^{2}}}=x\,\left({\frac {b}{a^{2}}}-x\right)\,.

Vasen puoli on paraabelin arvo. Ympyrän yhtälö osuu yhtälöön oikean puolen kanssa ja antaa ympyrän arvon. $y^{2}$ $y^{2}+x\,\left(x-{\frac {b}{a^{2}}}\right)=0,$ $y^{2}$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 John Crossley, Anthony W.-C. Lun. Yhdeksän lukua matemaattisesta taiteesta: seuralainen ja kommentti. - Oxford University Press, 1999. - S. 176. - ISBN 978-0-19-853936-0 .
↑ 12 Van der Waerden . Muinaisten sivilisaatioiden geometria ja algebra . - Zurich, 1983. - s. luku 4. - ISBN 0-387-12159-5 .
↑ Roger Cooke. Matematiikan historia. - John Wiley & Sons, 2012. - S. 63. - ISBN 978-1-118-46029-0 .
↑ Karen Rhea Nemet-Nejat. Arkielämä muinaisessa Mesopotamiassa. - Greenwood Publishing Group, 1998. - S. 306. - ISBN 978-0-313-29497-6 .
↑ Roger Cooke. Klassinen algebra: sen luonne, alkuperä ja käyttötarkoitukset. - John Wiley & Sons, 2008. - S. 64. - ISBN 978-0-470-27797-3 .
↑ Guilbeau, 1930 toteaa, että "egyptiläiset pitivät ratkaisua mahdottomana, mutta kreikkalaiset tulivat lähemmäs ratkaisua."
↑ 1 2 Guilbeau, 1930
↑ Thomas L. Heath. Diophantus Aleksandrialainen: Tutkimus kreikkalaisen algebran historiasta. - Martino Pub, 2009. - ISBN 978-1578987542 .
↑ Archimedes (käännös TL Heath). Archimedesin teoksia. - Rough Draft Printing, 2007. - ISBN 978-1603860512 .
↑ Yoshio Mikami. Matematiikan kehitys Kiinassa ja Japanissa. – 2. painos - New York: Chelsea Publishing Co., 1974. - S. 53-56. - ISBN 978-0-8284-0149-4 .
↑ Matematiikan historia, osa I, 1970 , s. 225.
↑ Omar Khayyamin työ, Scripta Math. 26 (1963), s. 323-337
↑ O'Connorin ja Robertsonin Omar Khayyam, MacTutorin matematiikan historian arkisto, St Andrewsin yliopisto, voidaan lukea. Tämä ongelma johti Khayyamin kuutioyhtälöön x 3 + 200 x = 20 x 2 + 2000 ja hän löysi positiivisen juuren tämä yhtälö tasakylkisen hyperbolin ja ympyrän leikkauspisteenä. Tämän jälkeen likimääräinen numeerinen ratkaisu löydettiin interpoloimalla trigonometrisiä taulukoita .
↑ JJ O'Connor ja E.F. Robertson (1999), Omar Khayyam Arkistoitu 1. maaliskuuta 2012 Wayback Machineen , MacTutor Archives for the History of Mathematics toteavat: "Khayyam näyttää olleen ensimmäinen, joka ajatteli yleistä kuutioteoriaa yhtälöt."
↑ Guilbeau, 1930 toteaa: "Omar Al Hay Khorasan noin 1079 teki paljon edistääkseen menetelmiä algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi leikkaavien kartioleikkausten avulla."
↑ Datta, Singh. Hindulaisen matematiikan historia. - Delhi, Intia, 2004. - S. 76,. — ISBN 81-86050-86-8 . s. 76, Ylemmän asteen yhtälö; Bharattya Kala Prakashan
↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi", MacTutor History of Mathematics -arkisto, St Andrewsin yliopisto.
↑ JL Berggren. Innovaatiot ja perinteet Sharaf al-Din al-Tusin Muadalatissa // Journal of the American Oriental Society. - 1990. - Voi. 110. - Ongelma. 2 . - s. 304-309. - doi : 10.2307/604533 .
↑ RN Knott ja Plus Team. Fibonaccin elämä ja numerot // Plus Magazine. – 2013.
↑ Andronov I. K. Reaali- ja kompleksilukujen matematiikka. - Enlightenment, 1975. - S. 91-92. — 158 s.
↑ Victor Katz. Matematiikan historia . - Boston: Addison Wesley, 2004. - s . 220 . — ISBN 9780321016188 .
↑ RWD Nickalls. Viète, Descartes ja kuutioyhtälö // Mathematical Gazette. - Heinäkuu 2006. - T. 90 . - s. 203-208.
↑ Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Matematiikan käsikirja. - Toim. 7., stereotyyppinen. - M . : Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1967. - S. 139.

Kirjallisuus

Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Matematiikan käsikirja. - Toim. 7., stereotyyppinen. - M . : Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1967. - S. 138-139.
Matematiikan historia. Muinaisista ajoista uuden ajan alkuun // Matematiikan historia / Toimittanut A.P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M .: Nauka, 1970. - T. I. - 352 s.
Luento 4 Tabachnikov S.L. Fuks D.B. Matemaattinen suuntaaminen . - MTSNMO, 2011. - 512 s. - 2000 kappaletta. - ISBN 978-5-94057-731-7 .
Guilbeau, Lucye (1930), The History of the Solution of the Cubic Equation , Mathematics News Letter, osa 5 (4): 8–12 , DOI 10.2307/3027812

Linkit

Kuutioyhtälön yksityiskohtainen online-ratkaisu

Algebralliset yhtälöt
Lineaarinen yhtälö Toisen asteen yhtälö kuutio yhtälö Neljännen asteen yhtälö Viidennen asteen yhtälö Kuudennen asteen yhtälö Seitsemännen asteen yhtälö