Syrjivä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 23. tammikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 23 muokkausta .

Polynomin diskriminantti on matemaattinen käsite ( algebrassa ), jota merkitään kirjaimilla D tai Δ [1] .

Polynomille , sen diskriminantti on tulo $p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$ $a_{n}\neq 0$

D(p)=a_{n}^{{2n-2}}\prod _{{i<j}}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}

, missä ovat kaikki polynomin juuret (ottaen huomioon kerrannaisuudet) jossain pääkentän laajennuksessa , jossa ne ovat.

\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}

Useimmiten käytetään neliötrinomin diskriminanttia , jonka etumerkki määrittää reaalijuurien lukumäärän.

Ominaisuudet

Diskriminantti on nolla silloin ja vain, jos polynomilla on useita juuria.
Diskriminantti on symmetrinen polynomi suhteessa polynomin juuriin ja on siksi polynomi kertoimissaan; lisäksi tämän polynomin kertoimet ovat kokonaislukuja riippumatta laajennuksesta , jossa juuret otetaan.
$D(p)={\frac {(-1)^{{n(n-1)/2}}}{a_{n}}}R(p,p')$ , jossa on polynomin ja sen derivaatan resultantti . $R(p,p')$ $p(x)$ $p'(x)$

Esimerkkejä

Kaikki seuraavat esimerkit käsittelevät polynomeja, joissa on todelliset kertoimet ja nollasta poikkeava alkukerroin.

Toisen asteen polynomi

Neliön trinomin diskriminantti on $ax^{2}+bx+c$ $D=b^{2}-4ac.$

Kun trinomilla on kaksi todellista juuria: $D>0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {D}}} }.$
Kun - yksi moninkertaisuuden 2 juuri (toisin sanoen kaksi identtistä juurta): $D = 0$ $x=-{\frac {b}{2a}}.$
Kun todellisia juuria ei kuitenkaan ole, on olemassa kaksi monimutkaista konjugaattijuurta , jotka ilmaistaan samalla kaavalla kuin positiivisella diskriminantilla. Se voidaan myös kirjoittaa uudelleen siten, että se ei sisällä negatiivista radikaalilauseketta seuraavasti: $D<0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}} {2a}}.$ $x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {D))))={\frac {2c}{-b\pm i{\sqrt {|D| }}}}.$

Kolmannen asteen polynomi

Kuutiopolynomin diskriminantti on $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd=27\left(6a{\frac {b}{3}}{\frac {c}{3}}d-4\left(a\left({\frac {c}{3}}\right)^{3}+\left({\ frac {b}{3}}\right)^{3}d\right)+3\left({\frac {b}{3}}\right)^{2}\left({\frac {c} {3}}\oikea)^{2}-a^{2}d^{2}\oikea).

Erityisesti kuutiopolynomin (jonka juuret lasketaan Cardanon kaavalla ) diskriminantti on . $x^{3}+px+q$ $-4p^{3}-27q^{2}=-108\left(\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q }{2}}\oikea)^{2}\oikea).$

Kuutiopolynomilla on kolme erillistä reaalijuurta. $D>0$
Sillä , sillä on monijuuri (joko moninkertaisuuden 2 juuri ja moninkertaisuuden 1 juuri, jotka molemmat ovat todellisia; tai yksi moninkertaisuuden 3 juurijuuri). $D = 0$
Kuutiopolynomilla on yksi reaalijuuri ja kaksi kompleksista juuria (jotka ovat kompleksisia konjugaatteja). $D<0$

Neljännen asteen polynomi

Neljännen asteen polynomin diskriminantti on yhtä suuri kuin $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$

{\begin{aligned}D&=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a ^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\ +\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e- 80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\ -\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{ 3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}

Polynomin osalta diskriminantilla on muoto $x^{4}+qx^{2}+rx+s$

{\begin{aligned}D&=256s^{3}-128q^{2}s^{2}+144qr^{2}s-27r^{4}+16q^{4}s-4q^ {3}r^{2}=\\&=256\left(s^{3}-18\left({\frac {q}{6}}\right)^{2}s^{2}- 27\left({\frac {r}{4}}\right)^{4}-54\left({\frac {q}{6}}\right)^{3}r^{2}+54 \left({\frac {q}{6}}\right)\left({\frac {r}{4}}\oikea)^{2}s+81\left({\frac {q}{6 }}\oikea)^{4}s\oikea).\end{aligned}}

ja tasa -arvo määrittelee avaruuden pinnan, jota kutsutaan nieleshäntäksi . $D = 0$ $(q,r,s)$

Klo , polynomilla on kaksi erilaista todellista juurta ja kaksi kompleksista juuria. $D<0$
Kun polynomilla on neljä erilaista juuria: joko kaikki reaalit tai kaikki kompleksit. $D>0$

Nimittäin polynomille [2] :

x^{4}+qx^{2}+rx+s

jos , niin kaikki juuret ovat monimutkaisia; $q\geqslant 0$
jos ja , niin kaikki juuret ovat monimutkaisia; $q<0$ $s>{\frac {q^{2}}{4}}$
jos ja , niin kaikki juuret ovat todellisia. $q<0$ $s<{\frac {q^{2}}{4}}$

Sillä , polynomilla on vähintään yksi monijuuri (tosi tai kompleksi). Toisessa tapauksessa polynomilla on kaksi kompleksista konjugoitua monijuurta, ja siksi se hajoaa kahden toisen asteen polynomin tuloksi, joka on redusoitumaton reaalilukukentän yli. $D = 0$

Tarkemmin [2] :

jos ja , Sitten yksi todellinen juuren moninkertaisuuden 2 ja kaksi monimutkaista juuria; $q<0$ $s>{\frac {q^{2}}{4}}$
jos ja , niin kolme erilaista todellista juuria, joista yhdellä on monikertaisuus 2; $q<0$ $-{\frac {q^{2}}{12}}<s<{\frac {q^{2}}{4}}$
jos ja , Sitten kaksi todellista juuria, joista jokaisella on monikertaisuus 2; $q<0$ $s={\frac {q^{2}}{4}}$
jos ja , Sitten kaksi todellista juuria, joista toisella on monikertaisuus 3; $q<0$ $s=-{\frac {q^{2}}{12}}$
jos , ja , niin yksi monikertaisyyden 2 todellinen juuri ja kaksi kompleksista juurta; $q>0$ $s>0$ $r\neq 0$
jos , ja , niin yksi moninkertaisuuden 2 kompleksisten konjugaattijuurien pari; $q>0$ $s={\frac {q^{2}}{4}}$ $r = 0$
jos ja , Sitten yksi todellinen juuren moninkertaisuuden 2 ja kaksi monimutkaista juuria; $q>0$ $s = 0$
jos ja , Sitten yksi todellinen juuren moninkertaisuuden 2 ja kaksi monimutkaista juuria; $q = 0$ $s>0$
jos ja , niin yksi monikertaisyyden 4 todellinen juuri. $q = 0$ $s = 0$

Historia

Termi on johdettu sanasta lat. discrimino - "purkaa", "erottaa". Käsitettä "neliön muotoinen diskriminantti" käytettiin Gaussin , Dedekindin , Kroneckerin , Weberin ym. teoksissa. Termin esitteli Sylvester [3] .

Katso myös

Tuloksena

Kirjallisuus

Prasolov VV:n polynomit. — M .: MTsNMO , 1999, 2001, 2003.

Muistiinpanot

↑ Polynomin erottelu // Matemaattinen hakuteos.
↑ 1 2 Rees, EL Graafinen keskustelu Quartic Equationin juurista // The American Mathematical Monthly : Journal. - 1922. - Voi. 29 , ei. 2 . - s. 51-55 . - doi : 10.2307/2972804 .
↑ Matriisit ja determinantit - Numericana . Haettu 9. toukokuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 1. kesäkuuta 2010. (määrätön)

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Suuri katalaani Britannica (verkossa)