Bezoutin lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 22. lokakuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Bezoutin lauseessa sanotaan , että polynomin jakamisen binomilla jäännös on. $P(x)$ $(xa)$ $P(a)$

Oletetaan, että polynomin kertoimet sisältyvät johonkin kommutatiiviseen renkaaseen , jossa on yksikkö (esimerkiksi reaali- tai kompleksilukujen kentässä ).

Todiste

Jaa polynomi binomilla jäännöksellä : $P(x)$ $xa$

P(x)=(xa)Q(x)+R(x),

missä on loput. Koska , sitten on polynomi, jonka aste ei ole suurempi kuin 0, eli vakio, merkitsemme sitä . Korvaamalla , koska meillä on . $R(x)$ $\deg R(x)<\deg(xa)=1$ $R(x)$ $r$ $x=a$ $(aa)Q(a)=0$ $P(a)=R(x)=r$

Seuraukset

Luku on polynomin juuri silloin ja vain, jos se jaetaan ilman jäännöstä binomilla (siis erityisesti seuraa, että polynomin juurijoukko on identtinen vastaavan yhtälön juurijoukon kanssa ). $a$ $p(x)$ $p(x)$ $xa$ $P(x)$ $P(x) = 0$
Polynomin vapaa termi on jaollinen millä tahansa polynomin kokonaislukujuurella, jossa on kokonaislukukerroin (jos johtava kerroin on 1, niin kaikki rationaaliset juuret ovat myös kokonaislukuja).
Antaa olla kokonaislukujuuri pelkistetylle polynomille kokonaislukukertoimilla. Sitten minkä tahansa kokonaisluvun luku on luvun kerrannainen . $a$ $Kirves)$ $k$ $A(k)$ $ak$

Sovellukset

Bezoutin lause ja sen seuraukset mahdollistavat polynomiyhtälöiden rationaalisten juurien löytämisen rationaalisilla kertoimilla.

Katso myös

Algebran peruslause

Kirjallisuus

Vinberg E. B. Algebra-kurssi, - M. : Factorial Press Publishing House, 2002, ISBN 5-88688-060-7 .
Piotr Rudnicki (2004). "Pikku Bézout-lause (tekijälause)" (PDF). Formalisoitu matematiikka. 12(1): 49–58.