Kartio

Kartio ( saksan Konuksen ja latinan cōnus , muusta kreikasta κώνος [1] - "mäntykäpy" [2] ) on pinta , joka muodostuu avaruudessa säteiden joukosta (muodostavat kartion), jotka yhdistävät tietyn tasaisen käyrän kaikki pisteet. (kartion ohjain) tietyllä avaruuden pisteellä (kartion kärki) [3] .

Jos kartion ohjain on suljettu käyrä, niin kartiomainen pinta toimii avaruudellisen kappaleen rajana , jota kutsutaan myös "kartioksi" (katso kuva), ja tämän käyrän sisäosaa kutsutaan "rungon pohjaksi". kartio", jos kartion kanta on monikulmio , tällainen kartio on pyramidi .

Joskus säteiden sijasta tarkastellaan suoria viivoja, jolloin saadaan kaksoiskartio, joka koostuu kahdesta osasta, jotka ovat symmetrisiä yläosan suhteen.

Kartiolla ja siihen liittyvillä kartioleikkauksilla on suuri rooli matematiikassa, tähtitiedossa ja muissa tieteissä.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Kartion sivupinta on kartion generaattoreiden liitto; kartion generatrix on kartiomainen pinta .
Kartion korkeus on segmentti, joka on pudonnut kohtisuoraan ylhäältä pohjan tasoon (sekä tällaisen segmentin pituus).
Kartion avautumiskulma on kahden vastakkaisen generatrixin välinen kulma (kulma kartion yläosassa, kartion sisällä).
Kartio - kartion pohjan korkeuden ja halkaisijan suhde.

Kartiotyypit

Suora pyöreä kartio
Suorat ja vinot pyöreät kartiot, joilla on sama pohja ja korkeus: niiden tilavuus on sama
Katkaistu oikea pyöreä kartio

Oikea kartio on kartio, jonka pohjalla on symmetriakeskipiste (esimerkiksi ympyrä tai ellipsi ) ja kartion kärjen ortogonaalinen projektio perustasolle osuu tämän keskipisteen kanssa; kun taas pohjan yläosan ja keskikohdan yhdistävää suoraa linjaa kutsutaan kartion akseliksi .
Vino (tai vino ) kartio - kartio, jossa kärjen ortogonaalinen projektio kantaan ei ole sama kuin sen symmetriakeskus.
Pyöreä kartio on kartio, jonka kanta on ympyrä.
Pyörimiskartio tai suora pyöreä kartio (usein he tarkoittavat sitä täsmälleen kartiolla) - kartio, joka voidaan saada pyörittämällä (eli kierroskappaletta ) suorakulmaista kolmiota kolmion haaran sisältävän linjan ympäri (tämä viiva on kartion akseli).
Kartiota, joka perustuu ellipsiin , paraabeliin tai hyperboliin , kutsutaan vastaavasti elliptiseksi , paraboliseksi ja hyperboliseksi kartioksi : kahdella viimeisellä on ääretön tilavuus.
Katkaistu kartio tai kartiomainen kerros on osa kartiosta, joka sijaitsee pohjan ja pohjan suuntaisen tason välissä ja sijaitsee yläosan ja pohjan välissä.
Tasasivuinen kartio on pyörimiskartio, jonka generatriisi on yhtä suuri kuin kannan halkaisija [4] .

Ominaisuudet

Jos pohjan pinta-ala on äärellinen, niin kartion tilavuus on myös äärellinen ja on yhtä kuin kolmasosa pohjan korkeuden ja pinta-alan tulosta.

V={1\yli 3}SH,

missä S on peruspinta-ala, H on korkeus. Siten kaikilla kartioilla, jotka perustuvat tiettyyn kantaan (äärellisen alueen) ja joiden kärki sijaitsee tietyllä kannan suuntaisella tasolla, on sama tilavuus, koska niiden korkeudet ovat yhtä suuret.

Minkä tahansa tilavuudeltaan rajallisen kartion painopiste sijaitsee neljänneksellä korkeudesta alustasta.
Suoran pyöreän kartion kärjessä oleva avaruuskulma on yhtä suuri kuin

2\pi \left(1-\cos {\alpha \over 2}\right),

missä α on kartion avautumiskulma.

Oikean pyöreän kartion sivupinta-ala on yhtä suuri kuin

S=\pi Rt,

mutta yleisesti

S={\frac {tl}{2)),

missä R on kannan säde, on generatriisin pituus, on kantarajan pituus.

{\displaystyle t={\sqrt {R^{2}+H^{2))))

l

Kokonaispinta-ala (eli sivupinnan ja pohjan pinta-alojen summa) on yhtä suuri kuin

S=\pi R(t+R),

oikealle pyöreälle kartiolle ja

S={\frac {tl}{2}}+S_{\text{oc)),

mielivaltaiselle, missä on pohjan pinta-ala.

S_{\text{oc))

Pyöreän (ei välttämättä suoran) kartion tilavuus on yhtä suuri

V={1 \yli 3}\pi R^{2}H.

Katkaistulla pyöreällä kartiolla (ei välttämättä suoralla) tilavuus on:

V={1 \over 3}\pi H(R^{2}+Rr+r^{2}),

missä ja ovat alemman ja ylemmän kannan säteet, vastaavasti, on korkeus alemman alustan tasosta ylempään kantaan.

R

r

H

Satunnaiselle katkaistulle kartiolle (ei välttämättä suora ja pyöreä) tilavuus on:

V={1 \over 3}(H_{2}S_{2}-H_{1}S_{1}),

missä ja ovat ylemmän (lähimpänä yläosaa) ja alemman kannan alueet, vastaavasti, ja ovat etäisyydet ylemmän ja alemman alustan tasosta, vastaavasti, yläosaan.

S_{1}

S_{2}

H_1

H_2

Tason leikkauspiste suoran ympyräkartion kanssa on yksi kartioleikkauksista (ei-degeneroituneissa tapauksissa ellipsi , paraabeli tai hyperbola , riippuen leikkaustason sijainnista).

Oikea ympyräkartioyhtälö

Yhtälöt, jotka määrittelevät suoran pyöreän kartion sivupinnan, jonka avautumiskulma on 2Θ , kärki koordinaattien origossa ja akseli, joka osuu yhteen Oz -akselin kanssa :

Pallomaisessa koordinaatistossa, jossa on koordinaatit ( r , φ, θ) :

\theta =\Theta.

Sylinterimäisessä koordinaatistossa, jossa on koordinaatit ( r , φ, z ) :

z=r\cdot \operaattorin nimi {ctg}\Theta

tai

r=z\cdot \operaattorin nimi {tg}\Theta .

Karteesisessa koordinaatistossa koordinaatteilla ( x , y , z ) :

z=\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \operaattorin nimi {ctg}\Theta .

Tämä yhtälö kanonisessa muodossa on kirjoitettu muodossa

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c ^{2}}}=0,

jossa vakiot a , c määräytyvät suhteella . Tämä osoittaa, että oikean pyöreän kartion sivupinta on toisen kertaluvun pinta (tätä kutsutaan kartiopinnaksi ). Yleensä toisen asteen kartiomainen pinta lepää ellipsillä; sopivassa karteesisessa koordinaatistossa (akselit Ox ja Oy ovat yhdensuuntaisia ellipsin akselien kanssa, kartion kärki on sama kuin origon, ellipsin keskipiste on akselilla Oz ) sen yhtälö on muotoa

c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c ^{2}}}=0,

lisäksi a/c ja b/c ovat yhtä suuria kuin ellipsin puoliakselit. Yleisimmässä tapauksessa, kun kartio lepää mielivaltaisella tasaisella pinnalla, voidaan osoittaa, että kartion sivupinnan yhtälö (jossa kärki on origossa) saadaan yhtälöllä, jossa funktio on homogeeninen , että on, täyttää ehdon mille tahansa reaaliluvulle α .

f(x,y,z)=0,

f(x,y,z)

f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^{n}f(x,y,z)

Kehitys

Oikeanpuoleinen pyöreä kartio pyörimiskappaleena muodostuu suorakulmaisesta kolmiosta, joka pyörii yhden jalan ympärillä, missä h - kartion korkeus pohjan keskustasta kärkeen - on oikean kolmion jalka, jonka ympärillä pyöriminen tapahtuu. Suorakulmaisen kolmion r toinen haara on kartion pohjan säde. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on l , kartion generatriisi.

Vain kahta arvoa r ja l voidaan käyttää kartiopyyhkäisyä luotaessa . Pohjasäde r määrittää skannauksessa kartiopohjan ympyrän ja kartion sivupinnan sektori määrittää lateraalipinnan l generatrixin , joka on sivupinnan sektorin säde. Sektorikulma kartion sivupinnan kehityksessä määritetään kaavalla: $\varphi$

φ = 360°·( r / l ) .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Algebrallisessa geometriassa kartio on mielivaltainen osajoukko vektoriavaruudesta kentän päällä , jolle tahansa $K$ $V$ $F$ $\lambda \in F$ $\lambda K=K.$
Topologiassa topologisen avaruuden X yläpuolella oleva kartio on osamääräavaruus ekvivalenssirelaation mukaan $X\kertaa [0,\infty )$ $(x,0)\sim (y,0).$
Lineaarisessa algebrassa on konveksin kartion käsite .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Max Fasmerin venäjän kielen etymologinen sanakirja
↑ "I κῶνος"
↑ Mathematical Encyclopedic Dictionary, 1988 , s. 288.
↑ Matemaattinen käsikirja . Haettu 22. toukokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 2. joulukuuta 2020. (määrätön)

Kirjallisuus

Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja (tutkijoille ja insinööreille) . - 2. painos - M .: Nauka, 1970. - 720 s.
Kartio // Matemaattinen tietosanakirja . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja, 1988. - S. 288 . — 847 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Hienoa norjalaista Iso venäläinen Brockhaus ja Efron Pieni Brockhaus ja Efron V. Dahl
Bibliografisissa luetteloissa	NKC : ph973161