Pyramidi (geometria)
Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 29. syyskuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .Pyramidi ( toisesta kreikasta πυραμίς , suku p. πυραμίδος ) on monitahoinen , jonka yksi pinoista (kutsutaan kantaksi ) on mielivaltainen monikulmio ja muut pinnat (kutsutaan sivupinnoiksi ) ovat kolmioita , joilla on yhteinen. ] . Pohjakulmien lukumäärän mukaan pyramidit ovat kolmion muotoisia ( tetraedri ), nelikulmaisia jne. Pyramidi on kartion erikoistapaus [2] .
Pyramidin kehityksen historia geometriassa
Pyramidin geometrian alku laskettiin muinaisessa Egyptissä ja Babylonissa , mutta sitä kehitettiin aktiivisesti muinaisessa Kreikassa . Muinaiset egyptiläiset tiesivät pyramidin tilavuuden. Ensimmäinen kreikkalainen matemaatikko, joka määritti pyramidin tilavuuden, oli Demokritos [3] , ja Eudoxus Kniduksesta todisti sen . Muinainen kreikkalainen matemaatikko Euclid systematisoi tiedon pyramidista "Alkujen" XII osassa ja toi myös esiin pyramidin ensimmäisen määritelmän: kiinteän hahmon, jota rajoittavat tasot, jotka konvergoivat yhdestä tasosta yhdessä pisteessä (kirja XI, määritelmä 12 [4] ).
Pyramidin elementit
- pyramidin yläosa on sivupintojen yhteinen piste, joka ei ole pohjan tasossa;
- pohja - kasvot, jotka eivät kuulu pyramidin huipulle;
- sivupinnat - kolmiomaiset pinnat yhtyvät yläosassa;
- sivureunat - reunat, jotka ovat kahden sivupinnan sivuja (ja vastaavasti eivät ole pohjan sivuja);
- pyramidin korkeus on kohtisuora pyramidin huipulta sen pohjaan;
- apothem - säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus, piirretty sen yläosasta;
- pyramidin diagonaalileikkaus - pyramidin osa, joka kulkee sen yläosan ja pohjan lävistäjän läpi.
Pyramidi avautuu
Kehitys on litteä hahmo, joka saadaan yhdistämällä geometrisen kappaleen pinta yhteen tasoon (ilman pintojen tai muiden pintaelementtien asettamista päällekkäin). Alkaen tutkia pinnan kehitystä, on suositeltavaa pitää jälkimmäistä joustavana, venymättömänä kalvona. Osa tällä tavalla esitellyistä pinnoista voidaan yhdistää tasoon taivuttamalla. Lisäksi, jos pintaosasto voidaan yhdistää tasoon ilman katkoja ja liimaamista, niin tällaista pintaa kutsutaan avautumiseksi ja tuloksena olevaa litteää kuviota sen avautumiseksi.
Ominaisuudet
Jos kaikki sivureunat ovat yhtä suuret , niin:
- pyramidin pohjan ympärille voidaan kuvata ympyrä ja pyramidin huippu projisoidaan sen keskustaan;
- lateraaliset rivat muodostavat yhtä suuret kulmat perustason kanssa;
- päinvastoin on myös totta, eli jos sivureunat muodostavat yhtä suuret kulmat perustason kanssa tai jos ympyrä voidaan kuvata lähellä pyramidin kantaa ja pyramidin huippu projisoidaan sen keskustaan, niin kaikki pyramidin sivureunat ovat yhtä suuret.
Jos sivupinnat ovat vinossa perustasoon nähden yhdessä kulmassa , niin:
- pyramidin pohjaan voidaan piirtää ympyrä ja pyramidin huippu projisoidaan sen keskustaan;
- sivupintojen korkeudet ovat yhtä suuret;
- sivupinnan pinta- ala on puolet pohjan kehän ja sivupinnan korkeuden tulosta.
Lauseet, jotka liittyvät pyramidin muihin geometrisiin kiinteisiin aineisiin
Pallo
- pallo voidaan kuvata lähellä pyramidia , kun pyramidin pohjalla on monikulmio, jonka ympärille voidaan kuvata ympyrä (välttämätön ja riittävä ehto) [5] . Pallon keskipiste on niihin nähden kohtisuorassa olevien pyramidin reunojen keskipisteiden kautta kulkevien tasojen leikkauspiste. Tästä lauseesta seuraa, että pallo voidaan kuvata sekä mistä tahansa kolmiomaisesta että mistä tahansa säännöllisestä pyramidista;
- pyramidiin voidaan kirjoittaa pallo, kun pyramidin sisäisten dihedraalisten kulmien puolittajatasot leikkaavat yhdessä pisteessä ( välttämätön ja riittävä ehto ). Tämä piste tulee olemaan pallon keskipiste.
Kartio
- Kartiota kutsutaan pyramidiin kirjoitetuksi, jos sen kärjet ovat samat ja sen kanta on merkitty pyramidin pohjaan. Lisäksi on mahdollista piirtää kartio pyramidiin vain, kun pyramidin apoteemit ovat keskenään yhtä suuret (välttämätön ja riittävä ehto); [6]
- Kartiota kutsutaan kaiverretuksi pyramidin lähelle, kun niiden kärjet ovat samat ja sen kanta on kaiverrettu lähellä pyramidin kantaa. Lisäksi on mahdollista kuvata kartio pyramidin lähellä vain, kun kaikki pyramidin sivureunat ovat keskenään yhtä suuret (välttämätön ja riittävä ehto);
- Tällaisten kartioiden ja pyramidien korkeudet ovat samat.
Sylinteri
- Sylinteriä kutsutaan pyramidiin kirjoitetuksi, jos yksi sen kanta osuu pyramidin kannan suuntaiseen poikkileikkaukseen piirretyn tason ympärysmitan kanssa ja toinen kanta kuuluu pyramidin kantaan.
- Sylinteriä kutsutaan kaiverretuksi lähellä pyramidia, jos pyramidin huippu kuuluu johonkin sen kantaan ja sen toinen kanta on merkitty lähelle pyramidin kantaa. Lisäksi on mahdollista kuvata pyramidin lähellä olevaa sylinteriä vain, kun pyramidin pohjassa on merkitty monikulmio (välttämätön ja riittävä ehto).
Pyramidikaavat
- Pyramidin tilavuus voidaan laskea kaavalla:
- Kolmiopyramidin (tetraedrin) tilavuus voidaan myös laskea kaavalla [8] :
- Sivupinta on sivupintojen pinta-alojen summa:
- Kokonaispinta-ala on sivupinnan ja peruspinta-alan summa:
- Voit löytää sivupinta-alan tavallisesta pyramidista käyttämällä kaavoja:
Pyramidin erikoistapaukset
Oikea pyramidi
Pyramidia kutsutaan säännölliseksi, jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja kärki heijastetaan kannan keskelle. Sitten sillä on seuraavat ominaisuudet:
- säännöllisen pyramidin sivureunat ovat yhtä suuret;
- säännöllisessä pyramidissa kaikki sivupinnat ovat yhteneväisiä tasakylkisiä kolmioita;
- missä tahansa säännöllisessä pyramidissa voit sekä piirtää että kuvata pallon sen ympärille;
- jos piirretyn ja rajatun pallon keskipisteet ovat yhteneväiset, niin tasokulmien summa pyramidin huipulla on , ja kukin niistä vastaavasti , jossa n on kantamonikulmion sivujen lukumäärä [9] ;
- säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on puolet pohjan ja apoteemin kehän tulosta.
Suorakulmainen pyramidi
Pyramidia kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jos yksi pyramidin sivureunoista on kohtisuorassa pohjaan nähden. Tässä tapauksessa tämä reuna on pyramidin korkeus.
Tetrahedron
Kolmion muotoista pyramidia kutsutaan tetraedriksi. Tetraederissä mikä tahansa pinta voidaan ottaa pyramidin pohjaksi. Lisäksi käsitteiden "säännöllinen kolmiopyramidi" ja " säännöllinen tetraedri " välillä on suuri ero. Säännöllinen kolmiopyramidi on pyramidi, jonka pohjassa on säännöllinen kolmio (pintojen tulee olla tasakylkisiä kolmioita). Säännöllinen tetraedri on tetraedri, jonka kaikki pinnat ovat tasasivuisia kolmioita.
Katso myös
Muistiinpanot
- ↑ Aleksandrov A. D., Werner A. L. Geometria. Oppikirja oppilaitosten luokille 10-11. - 2. painos - M . : Koulutus, 2003. - 271 s. — ISBN 5-09-010773-4 .
- ↑ Matematiikka käsitteissä, määritelmissä ja termeissä. Osa 1. Opas opettajille. Ed. L. V. Sabinina. M., Education, 1978. 320 s. S. 253.
- ↑ B. L. van der Waerden. Heräävä tiede. Muinaisen Egyptin, Babylonin ja Kreikan matematiikka. - 3. painos - M . : KomKniga, 2007. - 456 s. - ISBN 978-5-484-00848-3 .
- ↑ M.E. Vashchenko-Zakharchenko . Eukleideen alku, selittävä johdanto ja kommentit . - Kiova, 1880. - S. 473. - 749 s.
- ↑ Saakyan S. M., Butuzov V. F. Geometrian opiskelu luokilla 10-11: kirja opettajalle. - 4. painos, tarkistettu .. - M . : Koulutus, 2010. - 248 s. — (Matematiikka ja tietojenkäsittelytiede). - ISBN 978-5-09-016554-9 .
- ↑ Pogorelov A. V. Geometria: Oppikirja oppilaitosten luokille 10-11. - 8. painos - M . : Koulutus, 2008. - 175 s. - 60 000 kappaletta. — ISBN 978-5-09-019708-3 .
- ↑ Geometria Kiseljovin mukaan Arkistoitu 1. maaliskuuta 2021 Wayback Machinessa , §357 .
- ↑ Kushnir I. A. Koulugeometrian voitto. - K . : Meidän tuntimme, 2005. - 432 s. - ISBN 966-8174-01-1 .
- ↑ Gotman E. Sfääriin kirjoitetun säännöllisen pyramidin ominaisuudet Arkistoitu 22. tammikuuta 2012 Wayback Machinessa // Kvant. - 1998. - Nro 4.
Kirjallisuus
- Alexandrov A.D., Werner A.L. Geometria. Oppikirja oppilaitosten luokille 10-11. - 2. painos - M . : Koulutus, 2003. - 271 s. — ISBN 5-09-010773-4 .
- Kalinin A. Yu., Tereshin D. A. Stereometry. Luokka 11. - 2. painos - M . : Fizmatkniga, 2005. - 332 s. — ISBN 5-89155-134-9 .
- A. P. Kiselev, Geometry by Kiselev , arΧiv : 1806.06942 [math.HO].
- Pogorelov A. V. Geometria: Oppikirja oppilaitosten luokille 10-11. - 8. painos - M . : Koulutus, 2008. - 175 s. - 60 000 kappaletta. — ISBN 978-5-09-019708-3 .
Linkit
- Paper Models of the Pyramids Arkistoitu 4. tammikuuta 2010 Wayback Machinessa
- Eukleideen "alku" .
 Sanakirjat ja tietosanakirjat |
|
|---|---|
| Bibliografisissa luetteloissa |