Tähtikuvioinen oktaedri
| tähtikuvioinen oktaedri | |
|---|---|
| Tyyppi | Polyhedran oikea liitos |
| kasvot | 8 kolmiota |
| kylkiluut | 12 |
| Huiput | kahdeksan |
| Symmetriaryhmät Coxeter-ryhmä |
Oktaedri ( O h ) [4,3] tai [[3,3]] |
| Nucleus | Oktaedri |
| Schläfli-symboli | |
| Coxeterin symboli | {4,3}[2{3,3}]{3,4} [1] |
| Coxeterin kaavio |    ∪ =  
|
| kupera runko | Kuutio |
| Indeksi | UC 4 , W 19_ |
| Kaksinkertainen | Itsenäinen kaksinkertainen |
Tähtikuvioinen oktaedri tai stella octangula on oktaedrin ainoa tähtimuotoinen muoto . Kepler antoi monitahoiselle latinankielisen nimen stella octangula vuonna 1609 vaikka aikaisemmat geometrit tunsivat sen . Joten hänet on kuvattu Paciolin teoksessa De Divina Proportione, 1509.
Monitahoinen on yksinkertaisin viidestä säännöllisestä polyhedrayhdisteestä .
Tähtikuvioinen oktaedri voidaan katsoa heksagrammin kolmiulotteisena yleistyksenä - heksagrammi on kaksiulotteinen kuvio, joka muodostuu kahdesta päällekkäisestä säännöllisestä kolmiosta, jotka ovat keskisymmetrisiä toisiinsa nähden, ja täsmälleen samalla tavalla voidaan muodostaa tähtikuvioinen oktaedri. kahdesta keskisymmetrisesti leikkaavasta tetraedristä. Sitä voidaan pitää myös yhtenä vaiheena 3D Koch -lumihiutaleen rakentamisessa , fraktaalihahmossa, joka saadaan kiinnittämällä toistuvasti pienempiä tetraedreita suuremman hahmon jokaiseen kolmiomaiseen pintaan. Koch-lumihiutaleen rakentamisen alkuvaihe on yksi keskeinen tetraedri, ja toinen vaihe, joka saadaan lisäämällä neljä pienempää tetraedria keskustetraedrin pinnoille, on tähtikuvioinen oktaedri.
Rakentaminen
Stellattu oktaedri voidaan saada useilla tavoilla:
- Tämä on tähtien säännöllisen oktaedrin muodostuminen , joka säilyttää sen pintatasot. Tähden reunat ovat hyvin yksinkertaiset: (Katso Wenninger-malli W 19 ).
- Se on säännöllinen monitahojen yhdiste, jos se on muodostettu kahden tetraedrin (tetraedrin ja sen kaksoistetraedrin ) liitoksi.
- Se voidaan saada lisäämällä kolmion muotoisia pyramideja säännöllisen oktaedrin jokaiselle pinnalle . Tässä rakenteessa monitahoisella on sama topologia kuin kuperalla katalaanikiinteällä triakisoktaedrilla , jolla on paljon lyhyemmät pyramidit.
- Tämä on kuution fasetointi , jossa on säilytyspisteet.
Aiheeseen liittyvät käsitteet
Voit rakentaa kahden pallomaisen tetraedrin liitoksen kuvan osoittamalla tavalla.
Kaksi tetraedria tähtikuvioisen oktaedrin yhteydessä ovat "desmic", mikä tarkoittaa (kun sitä tarkastellaan viivoina projektitiivisessa avaruudessa ), että yhden tetraedrin jokainen reuna leikkaa toisen tetraedrin vastakkaisen reunan. Yksi näistä risteyksistä on näkyvissä tähtikuvioisessa oktaedrissa. Toinen leikkauspiste on projektiivisen tason äärettömässä pisteessä kahden tetraedrin kahden yhdensuuntaisen reunan välillä. Nämä kaksi tetraedria voidaan täydentää kolmen tetraedrin desmiseksi järjestelmäksi , jossa kolmannella tetraedrillä on neljänä kärjenä kolme leikkauspistettä äärettömässä ja kahden äärellisen tetraedrin sentroidi. Samat kaksitoista tetraedrin kärkeä muodostavat Reye-konfiguraation pisteet .
Stellatut oktaedrin luvut ovat kuvaannollisia lukuja , jotka laskevat niiden pallojen määrän, jotka voidaan sijoittaa tähtikuvioisen oktaedrin sisään. Nämä luvut ovat yhtä suuret
0, 1, 14 , 51 , 124 , 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, … ( OEIS - sekvenssi A007588 )Populaarikulttuurissa
Tähtikuvioinen oktaedri on esitetty yhdessä joidenkin muiden polyhedrien ja monitahoisten yhdisteiden kanssa Escherin "Stars" [2] ja "Double Asteroid" (1949) [3] .
Galleria
Tämä on täysin symmetrisesti leikattu kuutio |
|||
Muistiinpanot
- ↑ Coxeter, 1973 , s. 48-50, 98.
- ↑ Hart, 1996 .
- ↑ Coxeter, 1985 , s. 59–69.
Kirjallisuus
- P. Cromwell. Polyhedra. - Yhdistynyt kuningaskunta: Cambridge University Press, 1997. - s. 79–86 Archimedean solids . - ISBN 0-521-55432-2 .
- HSM Coxeter . 3.6 Viisi säännöllistä yhdistettä , s. 47-50, 6.2 Stellating the Platonic solids , s. 96-104 // Regular Polytoopes . – 3. painos. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
- George W Hart. MC Escherin polyhedra // WEB-artikkeli. – 1996.
- HSM Coxeter. Erityinen kirja-arvostelu: MC Escher: Hänen elämänsä ja täydellinen graafinen työ // The Mathematical Intelligencer. - 1985. - T. 7 , no. 1 . - doi : 10.1007/BF03023010 .
Ulkoiset linkit
- VRML- malli: [1]
- MathWorld, Stella Octangula Arkistoitu 10. joulukuuta 2015 Wayback Machinessa
- KlitzingPolytopes|../incmats/so.htm Richard Klitzing, 3D-yhdiste Arkistoitu 6. marraskuuta 2015 Wayback Machinessa