Monitahoisten liitos

Polyhedrayhdiste on hahmo, joka koostuu joistakin polyhedraista, joilla on yhteinen keskus. Yhteydet ovat monikulmioiden , kuten heksagrammin , kolmiulotteisia vastineita .

Yhteyden ulkopisteet voidaan yhdistää kuperaksi monitahoksi , jota kutsutaan kuperaksi rungoksi . Liitos on kuperan rungon puoli .

Yhdisteen sisällä muodostuu pienempi kupera polyhedri, joka on yhteinen osa yhdisteen kaikkia jäseniä. Tätä monitahoista kutsutaan tähtipolyhedrin ytimeksi .

Oikeat liitännät

Säännölliset monitahoiset yhteydet voidaan määritellä yhteyksiksi, jotka, kuten säännöllisten polyhedrien tapauksessa, ovat kärkitransitiivisia [en , reunatransitiivisia [en ja pintatransitiivisia [ . Monitahoisia säännöllisiä liitoksia on viisi.

Tunnetuin on kahden tetraedrin yhdiste . Kepler kutsui tätä yhdistettä latinaksi stella octangula (stella octahedron). Kahden tetraedrin kärjet määrittävät kuution , ja niiden leikkauspiste on oktaedri , jonka pinnat ovat samoilla tasoilla kuin osatetraedrin pinnat. Siten konjunktio on pelkistys oktaedrin tähdeksi ja itse asiassa sen ainoa mahdollinen pelkistys.

Stellattu oktaedri voidaan nähdä myös kaksoissäännöllisenä yhdisteenä.

Viiden tetraedrin yhdisteellä on kaksi peiliversiota, jotka yhdessä muodostavat kymmenen tetraedrin yhdisteen. Kaikki tetraedrien yhdisteet ovat itsekaksoivia, ja viiden kuution yhdiste on duaali viiden oktaedrin yhdisteen kanssa.

Dual Compounds

Duaaliyhdiste on monitahoisen ja sen duaalin yhdiste, joka sijaitsee toisiaan vastakkain suhteessa yhteiseen sisäänkirjoitettuun tai puolikirjoitettuun palloon siten, että yhden polyhedronin reuna leikkaa kaksoispolyhedronin kaksoisreunan. Tällaisia ​​säännöllisen polyhedran yhdisteitä on viisi.

Tetraedri on itseduaali, joten tetraedrin ja sen duaalin kaksoisyhdiste on myös tähtikuvioinen oktaedri.

Kaksoisyhdisteet kuutio-oktaedri ja dodekaedri-ikosaedri ovat kuutio-oktaedrin ja ikosidodekaedrin tähtivähennyksiä , vastaavasti.

Pienen tähtikuvioidun dodekaedrin ja suuren dodekaedrin yhtymä näyttää ulkoapäin samalta pieneltä tähtikuvioiselta dodekaedrilta, koska suuri dodekaedri on kokonaan sen sisällä. Tästä syystä yllä olevan pienen tähtikuvioidun dodekaedrin kuva näytetään lankakehyksenä.

Homogeeniset yhdisteet

Vuonna 1976 John Skilling julkaisi Uniform Compounds of Uniform Polyhedra [1] , jossa hän listasi 75 yhdistettä (mukaan lukien 6 ääretöntä sarjaa prismaattisia yhdisteitä, #20-25), jotka saatiin yhtenäisistä polyhedraista pyörittämällä. (Jokainen kärki on vertex-transitiivinen .) Listassa on viisi säännöllisten polytooppien yhdistettä yllä olevasta luettelosta. [yksi]

Nämä 75 homogeenista yhdistettä on lueteltu alla olevassa taulukossa. Useimmissa yhdisteissä eri värit vastaavat eri aineosia. Jotkut kiraaliset parit on väritetty peilisymmetrian mukaan.

• 1-19: Seos (4,5,6,9,17 ovat viisi oikeaa yhdistettä )

• 20-25: Prismasymmetria upotettuna dihedraaliseen symmetriaan 3D-avaruudessa ,

• 26-45: Prismasymmetria sisäkkäisenä oktaedrisessa tai ikosaedrisessa symmetriassa,

• 46-67: Tetraedrinen symmetria, joka on sisäkkäinen oktaedri- tai ikosaedrisymmetriaan,

• 68-75: enantiomorfiset parit

Muut liitännät

• Kolmen oktaedrin kytkentä
• Neljän kuution liitäntä

Kaksi polyhedraa, jotka ovat yhdisteitä, mutta niiden alkuaineet on suljettu tiukasti pieneen ikosidodekaedrin yhdisteeseen ( ikosaedrin ja suuren dodekaedrin yhdistelmä ) ja suureen yhdisteeseen ikosidodekaedri ( pienen tähden dodekaedrin yhdiste ja suuri ikosaedri ). Jos hyväksymme homogeenisen polyhedronin yleisen määritelmän , ne ovat homogeenisia.

Entianomorfisten parien osio Skillingin luettelossa ei sisällä kahden suuren dodekikosidodekaedrin yhdistettä, koska pentagrammin pinnat ovat samat. Vastaavien pintojen poistaminen johtaa kahdenkymmenen oktaedrin yhteyteen .

Neliulotteiset liitännät

Neliulotteisessa avaruudessa on suuri määrä säännöllisiä monitahoisia yhteyksiä. Coxeter luetteli joitain niistä kirjassaan Regular Polyhedra [2] .

Itsenäinen kaksinkertainen:

Kaksoisparit:

Homogeeniset liitännät kuperilla neliulotteisilla polyhedrailla:

Kaksi asentoa:

Säännöllisen tähden neliulotteisen monitahoisen kytkentä

Kaksoistähtiliitännät:

Tähtien konjunktioiden kaksoisparit:

Homogeeniset tähtien yhdisteet :

Ryhmäteoria

Ryhmäteorian kannalta , jos G on polytooppien yhdisteen symmetriaryhmä ja ryhmä toimii transitiivisesti polytooppiin (joten mikä tahansa polytooppi voi olla missä tahansa muussa, kuten homogeenisissa yhdisteissä), niin jos H on yhden valitun stabilisaattori polytooppi, polytoopit voidaan määritellä kiertoradalla G / H .

Mosaiikkien yhdistäminen

Euklidisessa tasossa on kahdeksantoista kahden parametrin perhettä säännöllisiä laatoitusliitoksia. Hyperbolisessa avaruudessa tunnetaan viisi yhden parametrin perhettä ja seitsemäntoista eristettyä laatoitusta, mutta luettelo ei ole täydellinen.

Euklidiset ja hyperboliset perheet 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p on kokonaisluku) ovat samanlaisia ​​kuin pallomaiset tähtioktaedrit , 2 {3,3}.

Tunnettu säännöllisten euklidisten hunajakennoyhteyksien perhe dimensioissa viisi ja sitä korkeammissa tiloissa on ääretön hyperbolisten kennojen perhe , joilla on yhteiset kärjet ja pinnat. Tällaisessa yhteydessä voi olla mielivaltainen määrä soluja.

Myös kaksoissäännölliset laatoitusliitokset. Yksinkertainen esimerkki on kuusikulmaisen laatoituksen E2 - liitäntä ja sen kaksoiskolmiolaatoitus . Kahden hyperbolisen hunajakennon euklidinen yhteys on säännöllinen ja kaksoissäännöllinen.

Muistiinpanot

1. ↑ Skilling, 1976 , s. 447–457.
2. ↑ Coxeter, 1973 , s. 305, taulukko VII.
3. ↑ Richard Klitzing, yhtenäinen yhdiste Stellated icosahedron Arkistoitu 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa
4. ↑ Richard Klitzing, yhtenäinen yhdiste Demidistesseract Arkistoitu 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa
5. ↑ Richard Klitzing, yhtenäinen yhdiste, kaksiasentoinen 24-soluinen arkistoitu 2. huhtikuuta 2016 Wayback Machinessa

Kirjallisuus

• John Skilling. Uniform Compounds of Uniform Polyhedra // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1976. - T. 79 . - doi : 10.1017/S0305004100052440 . .
• P. Cromwell. Polyhedra. - Yhdistynyt kuningaskunta: Cambridge, 1997. - s. 79–86 Archimedean solids . - ISBN 0-521-55432-2 .
• Magnus Weninger. Kaksoismallit . - Cambridge: Cambridge University Press, 1983. - P.  51-53 . .
• Michael G Harman Monitahoiset yhdisteet. - julkaisematon käsikirjoitus, 1974. .
• Edmund Hess. Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder. Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg. - 1876. - T. 11. - S. 5-97.
• HSM Coxeter . Luku 8: Katkaisu // Tavalliset polytoopit . – 3. painos. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .

• Anthony Pugh. Polyhedra: Visuaalinen lähestymistapa. - Kalifornia: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 . sivu 87 Viisi säännöllistä yhdistettä

Ulkoiset linkit

• MathWorld: Polyhedron Compound
• Yhdistetyt polyhedrat – Virtual Reality Polyhedrasta
  • Uniform Polyhedra -yhdisteet
• Skillingin 75 yhtenäistä monitahoista yhdistettä
• Skillingin yhtenäiset polyhedrayhdisteet
• Monitahoiset yhdisteet
• http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
• Pienen tähtikuvioisen dodekaedrin ja suuren dodekaedrin yhdistelmä {5/2,5}+{5,5/2}