Oktaedri

Säännöllinen oktaedri

( pyörivä malli )

Tyyppi

säännöllinen monitahoinen

Kombinatoriikka

Elementit

8 pintaa
12 reunaa
6 kärkeä

X = 2

Fasetit

4.4.4

Luokitus

Merkintä

Schläfli-symboli

$\{3,4\}$
$r\{3,3\}$ tai $\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}$

Wythoff-symboli

4 | 2 3

Dynkinin kaavio

Symmetria ryhmä

O_{h}

Kiertoryhmä

O

kvantitatiivinen tieto

Dihedraalinen kulma

\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\noin 109,5^{\circ }

Kiinteä kulma kärjessä

2\pi -8\arcsin \left({\frac {1}{\sqrt {3))}\right)

\noin 1,35935

Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Oktaedri ( kreikaksi οκτάεδρον sanoista οκτώ "kahdeksan" + έδρα "kanta") on monitahoinen , jossa on kahdeksan pintaa.

Säännöllinen oktaedri on yksi viidestä kuperasta säännöllisestä polyhedrasta [1] , niin kutsutuista platonisista kiinteistä aineista ; sen kasvot ovat kahdeksan tasasivuista kolmiota . Tavallinen oktaedri -

kaksinkertainen kuutioon ;
tetraedrin täydellinen katkaisu ;
nelikulmainen bipyramidi missä tahansa kolmesta ortogonaalisesta suunnasta;
kolmion antiprisma missä tahansa neljästä suunnasta;
kolmiulotteinen pallo korttelin metriikassa .

Oktaedri on kolmiulotteinen versio yleisemmästä hyperoktaedrin käsitteestä .

Säännöllinen oktaedri

Tavallisella oktaedrilla on 8 kolmion muotoista pintaa, 12 reunaa, 6 kärkeä ja 4 reunaa kohtaavat jokaisessa kärjessä.

Mitat

Jos oktaedrin reunan pituus on , niin oktaedrin ympärille piirretyn pallon säde on:

r_u = \frac{a}{2} \sqrt{2} \noin 0,7071067 \cdot a

oktaedriin kirjoitetun pallon säde voidaan laskea kaavalla:

r_i = \frac{a}{6} \sqrt{6}\noin 0,4082482\cdot a .

dihedraalinen kulma : , missä . $\alpha = 2\phi \noin 109,47^\circ$ $\phi = arccos(\frac{\sqrt3}{3})$

Puolikirjoitetun pallon , joka koskettaa kaikkia reunoja, säde on

r_m = \frac{a}{2} = 0,5\cdot a

Ortografiset projektiot

Oktaedrilla on neljä erityistä ortogonaalista projektiota , joita keskittävät reuna, kärki, kasvot ja kasvonormaalit. Toinen ja kolmas tapaus vastaavat Coxeterin tasoja B2 ja A2 .

Ortografiset projektiot

Keskitetty	reuna	Normaalia kasvoihin	huippu	reuna
Kuva
Projektiivinen symmetria	[2]	[2]	[neljä]	[6]

Pallomainen laatoitus

Oktaedri voidaan esittää pallomaisena laatoituksena ja projisoida tasoon käyttämällä stereografista projektiota . Tämä projektio on mukautuva , säilyttäen kulmat, mutta ei pituutta tai pinta-alaa. Pallon segmentit on kartoitettu tasossa olevien ympyröiden kaariksi.

ortogonaalinen projektio	Stereografinen projektio
	kolmiokeskeinen _

Suorakulmaiset koordinaatit

Reunapituinen oktaedri voidaan sijoittaa origoon siten, että sen kärjet ovat koordinaattiakseleilla. Huippupisteiden suorakulmaiset koordinaatit ovat silloin ${\sqrt {2}}$

(±1, 0, 0); (0, ±1, 0); (0, 0, ±1).

Suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä x - y - z oktaedri, jonka keskipiste on pisteessä ( a , b , c ) ja säteellä r on kaikkien pisteiden ( x , y , z ) joukko siten, että

\left|x - a\right| + \left|y - b\right| + \left|z - c\oikea| = r.

Pinta-ala ja tilavuus

Säännöllisen oktaedrin, jonka reunan pituus on a , kokonaispinta-ala on

S=2a^2\sqrt{3} \noin 3,46410162a^2

Oktaedrin tilavuus ( V ) lasketaan kaavalla:

V=\begin{matrix}{1\over3}\end{matrix}\sqrt{2}a^3 \noin 0,471404521a^3

Siten oktaedrin tilavuus on neljä kertaa saman reunan pituisen tetraedrin tilavuus , kun taas pinta-ala on kaksi kertaa suurempi (koska pinta koostuu 8 kolmiosta, kun taas tetraedrin on neljä).

Jos oktaedria venytetään tasa-arvon täyttämiseksi:

\left|\frac{x}{x_m}\right|+\left|\frac{y}{y_m}\right|+\left|\frac{z}{z_m}\right| = 1,

pinnan ja tilavuuden kaavat muuttuvat:

A=4 \, x_m \, y_m \, z_m \times \sqrt{\frac{1}{x_m^2}+\frac{1}{y_m^2}+\frac{1}{z_m^2}}

V=\frac{4}{3}\,x_m\,y_m\,z_m

Lisäksi venytetyn oktaedrin hitausmomenttien tensori on yhtä suuri:

I = \begin{bmatrix} \frac{1}{10} m (y_m^2+z_m^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+z_m^2) ) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+y_m^2) \end{bmatrix}

Se pelkistyy säännöllisen oktaedrin yhtälöön, kun: $x_m=y_m=z_m=a\,\frac{\sqrt{2}}{2}$

Geometriset linkit

Kahden kaksoistetraedrin konfiguraation sisäinen (yhteinen) osa on oktaedri , ja itse tätä konfiguraatiota kutsutaan tähtioktaedriksi ( latinaksi: stella octangula ). Konfiguraatio on oktaedrin ainoa tähti . Vastaavasti säännöllinen oktaedri on seurausta leikkaamalla pois säännöllisestä tetraedristä neljä säännöllistä tetraedria, joiden reunan pituus on puolet (eli tetraedrin täydellinen katkaisu ). Oktaedrin kärjet ovat tetraedrin reunojen keskipisteissä, ja oktaedri on suhteessa tetraedriin samalla tavalla kuin kuuboktaedri ja ikosidodekaedri ovat suhteessa muihin platonisiin kiinteisiin aineisiin. On mahdollista jakaa oktaedrin reunat suhteessa kultaiseen leveyteen ikosaedrin kärkien määrittämiseksi . Voit tehdä tämän asettamalla vektorit reunoihin siten, että kaikki pinnat ovat syklien ympäröimiä. Sitten jaamme jokaisen reunan kultaisessa suhteessa vektoreita pitkin. Tuloksena olevat pisteet ovat ikosaedrin huippuja.

Oktaedrit ja tetraedrit voidaan lomittaa muodostamaan kärki-, reuna- ja pintatasoltaan yhtenäisiä hunajakennoja , joita Fuller kutsui oktettikimpuksi . Nämä ovat ainoat kammat, jotka mahdollistavat säännöllisen pinoamisen kuutioon , ja ne ovat yksi 28: sta kuperista yhtenäisistä kennoista .

Oktaedri on ainutlaatuinen platonisten kiinteiden aineiden joukossa, koska sillä yksin on parillinen määrä kasvoja kussakin kärjessä. Lisäksi se on ainoa tämän ryhmän jäsen, jolla on symmetriatasoja, jotka eivät leikkaa mitään kasvoja.

Johnson-polyhedrin standarditerminologiaa käyttäen oktaedria voidaan kutsua neliömäiseksi bipyramidiksi . Kahden vastakkaisen kärjen katkaiseminen johtaa katkaistuun bipyramidiin .

Oktaedri on 4-liittynyt . Tämä tarkoittaa, että neljä kärkeä on poistettava, jotta loput voidaan katkaista. Se on yksi neljästä neljästä yksinkertaisesta hyvin peitetystä polyhedrasta, mikä tarkoittaa, että kaikki suurimmat itsenäiset kärkijoukot ovat samankokoisia. Muut kolme polyhedraa, joilla on tämä ominaisuus, ovat viisikulmainen bipyramidi , snub -biclinoid ja epäsäännöllinen monitahoinen, jossa on 12 kärkeä ja 20 kolmion muotoista pintaa [2] .

Oktaedri voidaan kirjoittaa tetraedriin, lisäksi neljä oktaedrin kahdeksasta pinnasta on kohdakkain tetraedrin neljän pinnan kanssa, oktaedrin kaikki kuusi kärkeä on kohdistettu tetraedrin kuuden reunan keskusten kanssa.
Kuutioon voidaan kirjoittaa oktaedri, ja lisäksi oktaedrin kaikki kuusi kärkeä ovat kohdakkain kuution kuuden pinnan keskusten kanssa.
Kuutio voidaan kirjoittaa oktaedriin, ja lisäksi kuution kaikki kahdeksan kärkeä sijaitsevat oktaedrin kahdeksan pinnan keskipisteissä.

Tasainen väritys ja symmetria

Oktaedrilla on 3 yhtenäistä väriä jotka on nimetty niiden kasvojen värien mukaan: 1212, 1112, 1111.

Oktaedrin symmetriaryhmä on O h , luokkaa 48, kolmiulotteinen hyperoktaedriryhmä . Tämän ryhmän alaryhmiä ovat D 3d (luokka 12), kolmion antiprismasymmetriaryhmä , D 4h (kertaluku 16), neliömäinen bipyramidisymmetriaryhmä ja Td (kertaluokka 24), täysin katkaistu tetraedrisymmetriaryhmä . Näitä symmetrioita voidaan korostaa kasvojen erilaisilla väreillä.

Nimi	Oktaedri	Täysin katkaistu tetraedri (Tetratetraedri)	Kolmion muotoinen antiprisma	Neliömäinen bipyramidi	Rombinen bipyramidi
Piirustus (kasvojen värjäys)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Coxeterin kaavio		=
Schläfli-symboli	{3,4}	r{3,3}	s{2,6} sr{2,3}	ft{2,4} { } + {4}	ftr{2,2} { } + { } + { }
Wythoff-symboli	4 \| 3 2	2 \| 4 3	2 \| 6 2 \| 2 3 2
Symmetria	Oi , [ 4,3 ], (*432)	T d , [3,3], (*332)	D 3d , [2 + ,6], (2*3) D 3 , [2,3] + , (322)	D 4h , [2,4], (*422)	D 2h , [2,2], (*222)
Tilaus	48	24	12 6	16	kahdeksan

Kalvimet

Oktaedrin kehityksestä on yksitoista muunnelmaa [3] .

Kaksinaisuus

Oktaedri on kaksoiskappale kuution kanssa .

Leikkaa

Homogeeninen tetrahemiheksaedri on säännöllisen oktaedrin tetraedrisesti symmetrinen fasetti , joka säilyttää reunojen ja kärkien järjestelyn . Leikkauksessa on neljä kolmiota ja 3 keskiruutua.

Oktaedri	tetrahemiheksaedri

Epäsäännöllinen oktaedra

Seuraavat polyhedrat vastaavat kombinatorisesti säännöllistä oktaedria. Niillä kaikilla on kuusi kärkeä, kahdeksan kolmiopintaa ja kaksitoista reunaa, mikä vastaa yhdestä yhteen säännöllisen oktaedrin parametreja.

Kolmion antiprismat - kaksi pintaa ovat tasasivuisia kolmioita, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa ja joilla on yhteinen symmetria-akseli. Loput kuusi kolmiota ovat tasakylkisiä.
Nelikulmaiset kaksipyramidit , joissa vähintään yksi ekvatoriaalinen nelikulmio on tasossa. Säännöllinen oktaedri on erikoistapaus, jossa kaikki kolme nelikulmiota ovat litteitä neliöitä.
Schoenhardt-polytooppi , ei-kupera polytooppi, jota ei voida jakaa tetraedreiksi tuomatta uusia huippuja.

Muut kuperat oktaedrit

Yleensä mitä tahansa monitahoista, jolla on kahdeksan pintaa, voidaan kutsua oktaedriksi. Tavallisella oktaedrilla on 6 kärkeä ja 12 reunaa, oktaedrin vähimmäismäärä. Epäsäännöllisillä kahdeksankulmioilla voi olla jopa 12 kärkeä ja 18 reunaa [3] [4] . Topologisesti erillisiä kuperaa oktaedria on 257 , peilikopioita lukuun ottamatta [3] . Erityisesti on olemassa 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 oktaedria, joissa on vastaavasti 6-12 kärkeä [5] [6] . (Kaksi polyhedraa ovat "topologisesti erillisiä", jos niillä on sisäisesti erilaiset pintojen ja kärkien järjestelyt, joten ei ole mahdollista muuttaa yhtä kappaletta toiseksi yksinkertaisesti muuttamalla reunojen pituutta tai reunojen tai pintojen välisiä kulmia.)

Joitakin merkittäviä epäsäännöllisiä kahdeksankulmia:

Kuusikulmainen prisma : Kaksi pintaa ovat yhdensuuntaisia säännöllisiä kuusikulmioita, kuusi neliötä yhdistää kuusikulmaisten vastaavien sivuparien.
Seitsenkulmainen pyramidi : Yksi pinta on seitsemänkulmio (yleensä säännöllinen) ja loput seitsemän sivua ovat kolmioita (yleensä tasakylkisiä). On mahdotonta saavuttaa, että kaikki kolmion pinnat ovat tasasivuisia.
Katkaistu tetraedri : Tetraedrin neljä pintaa on katkaistu säännöllisiksi kuusikulmioiksi ja kolme ylimääräistä tasasivuista kolmiopintaa muodostetaan katkaistujen kärkien tilalle.
Nelisivuinen puolisuunnikas : Kahdeksan pintaa ovat yhteneväisiä hartioiden kanssa .

Oktaedrit fyysisessä maailmassa

Oktaedrit luonnossa

Monet luonnolliset kuutiokiteet ovat oktaedrin muotoisia. Näitä ovat timantti , alumiini-kaliumsulfaatti , natriumkloridi , perovskiitti , oliviini , fluoriitti , spinelli .
Puhtaiden metallien ( nikkeli , kupari , magnesium , titaani , lantaani ja monet muut) ja ioniyhdisteiden (natriumkloridi, sfaleriitti , wurtsiitti jne.) tiiviisti pakatuissa rakenteissa olevat atominväliset ontelot (huokoset) ovat oktaedrin muotoisia.
Oktahedriittimeteoriitin kamasiittilejeeringin levyt sijaitsevat yhdensuuntaisesti oktaedrin kahdeksan pinnan kanssa.

Oktaedrit taiteessa ja kulttuurissa

Pelissä oktaedrin noppaa tunnetaan nimellä "d8".
Jos oktaedrin jokainen reuna korvataan yhden ohmin vastuksella , kokonaisvastus vastakkaisten kärkien välillä on 1/2 ohmia ja vierekkäisten kärkien välillä - 5/12 ohmia [7] .
Kuusi nuottia voidaan järjestää oktaedrin huipuille siten, että jokainen reuna edustaa konsonanttiparia ja jokainen kasvot edustavat konsonanttikolmikkoa.
Panssarintorjuntasiili on oktaedrin kolmen diagonaalin muotoinen.

Tetrahedral ligament

Fuller keksi 1950-luvulla toistuvien tetraedrien ja oktaedrien rungon, joka tunnetaan avaruuskehyksenä sitä pidetään vahvimpana ulokepalkkien rasituksia kestävänä rakenteena .

Aiheeseen liittyvät polytoopit

Säännöllinen oktaedri voidaan suurentaa tetraedriksi lisäämällä neljä tetraedria vuorotellen. Tetraedrin lisääminen kaikkiin kahdeksaan pintaan muodostaa tähtituneen oktaedrin .

tetraedri	tähtikuvioinen oktaedri

Oktaedri kuuluu kuutioon liittyvien yhtenäisten polyhedrien perheeseen.

Tasainen oktaedrillinen polyhedra

Symmetria : [4,3], (*432)							[4,3] + , (432)	[3 + ,4], (3*2)


{4,3}	t{4,3}	r{4,3}	t{3,4}	{3,4}	rr{4,3}	tr{4,3}	sr{4,3}	s{3,4}
Kaksoispolyhedra

V4 3	v3.82 _	V(3.4) 2	v4.62 _	V3 4	v3.43 _	V4.6.8	V3 4.4 _	V3 5

Se on myös yksi yksinkertaisimmista esimerkeistä hypersimplexistä , monitahoisesta, joka muodostuu hyperkuution ja hypertason tietyn leikkauspisteen kautta .

Oktaedri sisältyy polyhedrijonoon, jonka Schläfli-symboli {3, n } ulottuu hyperboliseen tasoon .

* n 32 säännöllistä laatoitussymmetriaa: 3 n tai {3, n }

pallomainen				Euklidinen	Kompakti hyperbola.		Para -kompakti	Ei-kompakti hyperbolinen

3.3	3 3	3 4	3 5	3 6	3 7	3 8	3∞ _	3 12i	39i _	36i _	3 3i

Tetratetraedri

Säännöllistä oktaedria voidaan pitää täysin katkaistuna tetraedrina ja sitä voidaan kutsua tetraedriksi . Tämä voidaan näyttää kaksivärisellä mallilla. Tässä värjäyksessä oktaedrilla on tetraedrinen symmetria .

Tetraedrin katkaisusekvenssin ja sen kaksoishahmon vertailu:

Yhtenäisten tetraedristen monitahojen perhe

Symmetria : [3,3] , (*332)							[3,3] + , (332)


{3,3}	t{3,3}	r{3,3}	t{3,3}	{3,3}	rr{3,3}	tr{3,3}	sr{3,3}
Kaksoispolyhedra

V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Yllä olevat kiinteät aineet voidaan ymmärtää leikkeiksi, jotka ovat kohtisuorassa tesseraktin pitkää diagonaalia vastaan . Jos tämä lävistäjä sijoitetaan pystysuoraan korkeudella 1, niin viisi ensimmäistä osaa ylhäältä ovat korkeuksilla r , 3/8, 1/2, 5/8 ja s , missä r on mikä tahansa luku välissä (0 ,1/4] ja s — mikä tahansa luku välissä [3/4,1).

Oktaedri tetraedrina esiintyy kvasisäännöllisten monitahojen ja laatoitusten, joiden kärkikonfiguraatio on ( 3.n ) 2 , symmetriasarjassa, joka siirtyy pallon laatoinnista euklidiselle tasolle ja sitten hyperboliselle tasolle. Symmetrian * n 32 orbifold-merkinnässä kaikki nämä laatoitukset ovat Wythoff-rakenteita symmetrian perusalueen sisällä , ja ne muodostavat pisteitä alueen oikeassa kulmassa [8] [9] .

* n 32 orbifold-symmetriaa näennäissäännöllisillä laatoituksilla : (3. n ) 2

Rakennus	pallomainen			Euklidinen	hyperbolinen
Rakennus	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Lähes säännölliset luvut
Vertex	(3.3) 2	(3.4) 2	(3.5) 2	(3.6) 2	(3.7) 2	(3.8) 2	(3.∞) 2

Kolmikulmainen antiprisma

Kolmiomaisena antiprismana oktaedri liittyy kuusikulmaisen dihedraalisen symmetrian perheeseen.

Tasainen kuusikulmainen kaksitahoinen pallomainen monitahoinen

Symmetria : [6,2] , (*622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{2,6}	tr{6,2	sr{6,2}	s{2,6}
Heidän kaksoispolyhedransa

V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	v26_ _	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Homogeenisten antiprismien perhe n .3.3.3

Kokoonpano	V2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	... ∞.3.3.3
Polyhedron
Mosaiikki

Neliönmuotoinen bipyramidi

Bipyramidi perhe

Kokoonpano	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4	... V∞.4.4
Polyhedron
Mosaiikki

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Selivanov D. F. ,. Geometrinen runko // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 nidettä (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
↑ Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer, 2010 , s. 894–912.
↑ 1 2 3 Weisstein, Eric W. Octahedron (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Steven Dutch. Polyhedra-luettelo (linkki ei saatavilla) . Haettu 8. marraskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 10. lokakuuta 2011. (määrätön)
↑ Polyhedrien laskeminen . Haettu 8. marraskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 6. toukokuuta 2016. (määrätön)
↑ Arkistoitu kopio . Haettu 14. elokuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 17. marraskuuta 2014. (määrätön)
↑ Klein, 2002 , s. 633–649.
↑ Williams, 1979 .
↑ Daniel Husonin kaksiulotteiset symmetriamutaatiot

Kirjallisuus

Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja
Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer. Hyvin peitettyjen kolmioiden päällä. III // Diskreetti sovellettu matematiikka. - 2010. - T. 158 , no. 8 . - doi : 10.1016/j.dam.2009.08.002 .
Douglas J. Klein. Resistance-Distance Sum Rules // Croatica Chemica Acta. - 2002. - T. 75 , no. 2 . Arkistoitu alkuperäisestä 10. kesäkuuta 2007.
R. Williams. Luku 5 Kaleidoskooppi, osa: 5.7 Wythoffin // Luonnonrakenteen geometrinen perusta: Suunnittelun lähdekirja . - New York: Dover Publications , 1979.

Linkit

Weisstein, Eric W. Octahedron (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Klitzing Polytopes, 3D kupera yhtenäinen polyhedra
Muokattava tulostettava oktaedrin verkko interaktiivisella 3D-näkymällä
Oktaedrin paperimalli
KJM MacLean, viiden platonisen kiintoaineen ja muiden puolisäännöllisten polyhedrien geometrinen analyysi
Uniform Polyhedra
Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
- Conway-merkintä polyhedralle Kokeile: dP4

Polyhedra

oikea

Kolmiulotteinen (platoniset kiinteät aineet)	säännöllinen tetraedri Kuutio Oktaedri Dodekaedri ikosaedri
4D	Viisisoluinen tesserakti Heksadesimaalinen solu kaksikymmentäneljä solua 120 solua Kuusisataa solua
Suurempi koko (merkitty suluissa)	Tavallinen simpleksi Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaedri

Säännöllinen
ei-kupera

Kolmiulotteinen
kasvojen lukumäärän mukaan (merkitty suluissa)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraedri (4)
Pentaedri (5)
Heksaedri (6)
Heptahedron (7)
Oktaedri (8)
Enneaedri (9)
Dekaedri (10)
Endekaedri (11)
Dodekaedri (12)
Tridekaedri (13)
Tetradekaedri (14)
Pentadekaedri (15)
Heksadekaedri (16)
Heptadekaedri (17)
Oktadekaedri (18)
Enneadekaedri (19)
Ikosaedri (20)
Ikosotetraedri (24)
Triakontaedri (30)
Heksakontaedri (60)
Enneakontaedri (90)
Hektotriadioedri (132)
Apeiroedri (∞)

kupera

Archimedean kiinteät aineet

Katalonian ruumiit

Prismat
Kolmisivuinen prisma nelikulmainen prisma Viisikulmainen prisma Kuusikulmainen prisma Seitsenkulmainen prisma Kahdeksankulmainen prisma Yhdeksänkulmainen prisma Dekagonaalinen prisma 11-kulmainen prisma Kaksikulmainen prisma

Johnson polyhedra

Kaavat ,
lauseet ,
teoriat

muu

Schläfli-symboli
Monikulmiot	{yksi} {2} {3} {neljä} {5} {6} {7} {kahdeksan} {9} {kymmenen} {yksitoista} {12} {neljätoista} {viisitoista} {17} {kahdeksantoista} {kaksikymmentä} {kolmekymmentä} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
tähtipolygoneja	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Tasaiset parketit _	{3,6} {4,4} {6,3}
Tavalliset monitahoiset ja pallomaiset parketit	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot-polyhedra	{5/2,5} {5.5/2} {5/2,3} {3,5/2}
hunajakennoja	{4,3,4}
Neliulotteinen polyhedra	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}