Laatoitus (geometria)

Parketti tai laatoitus - tason jakaminen monikulmioiksi tai tilan jakaminen monikulmioiksi ilman rakoja ja kerroksia.

Euklidisen tason parkettien lisäksi matematiikassa "parketteja" tarkastellaan pallolla , hyperbolisella tasolla , kolmiulotteisessa ja moniulotteisessa avaruudessa.

Terminologia

Laatoitukset, mosaiikit, parketit, väliseinät

Parketteja kutsutaan muuten laatoiksi , mosaiikeiksi ( englanniksi  tessellation, tiling ), tason väliseiniksi ( englanniksi  partition ), parketiksi . Kolmiulotteisen tilan ja suurempien tilojen laatoitusta kutsutaan usein hunajakennoiksi .

Grünbaumin ja Shepardin laatat ja kuviot (1987) 2] sivulla 16 on seuraava huomautus:

Matemaattisessa kirjallisuudessa sanoja tessellation , paving , mosaic ja parketting käytetään vaihtokelpoisina tai samankaltaisilla merkityksillä. Saksan mosaiikin sanat ovat Pflasterung , Felderung , Teilung , Parkettierung ja Zerlegung ; Ranskan sanat - pave , carrelage ja dallage ; Venäjän sanat - parketti , väliseinä ja laatoitus .

Alkuperäinen teksti  (englanniksi)[ näytäpiilottaa] Matemaattisessa kirjallisuudessa sanoja tessellation , paving , mosaic ja parketting käytetään synonyymeinä tai vastaavilla merkityksillä. Saksan sanat laatoitukselle ovat Pflasterung , Felderung , Teilung , Parkettierung ja Zerlegung . Ranskan sanat ovat pave , carrelage ja dallage . Venäjän sanat ovat parketti , väliseinä ja laatoitus .

Parketteja, joissa on mielivaltaisen muotoisia alueita (laattoja), kutsutaan joskus kartoiksi (katso esimerkiksi nelivärilause ).

Pinnoitteet ja pakkaukset

Jos useiden kuvioiden liitto sisältää tietyn kuvan Φ , niin näiden kuvien sanotaan muodostavan kuvion Φ peitteen . Tässä tapauksessa peitekuvat voivat mennä päällekkäin, mutta ne peittävät F -kuvion ilman aukkoja.

Pakkaus on useiden hahmojen sijoittamista tietyn kuvion sisään, joilla ei ole yhteisiä pisteitä, paitsi ehkä raja (eli ilman päällekkäisyyttä).

Tesselaatio on hahmon jakaminen osiin. Laatoitus on sekä päällyste että tiiviste [2] [3] .

Protopiles

Parkettiprototiilit ( englanniksi  prototiles , myös prototyypit [4] ) ovat parketissa mukana olevia laattoja (lomakkeita). Jokainen parkettilaatta on yhdenmukainen jonkin prototiilin kanssa [5] .

Joten kuusikulmaisen parketin ainoa prototiili on säännöllinen kuusikulmio; säännöllisen pallomaisen viisikulmaisen parketin prototiili on viisikulmio ; rombotriheksagonaalisen parketin protopaalujen sarja koostuu tasasivuisesta kolmiosta, neliöstä ja kuusikulmiosta .

Parkettia kutsutaan k -hedraliksi, jos sen prototiilien joukko ( protoset ) koostuu k laatasta [2] [4] .

Parkettilaattoja kutsutaan myös pinnoiksi ja monikulmaisten laattojen sivuja reunoiksi , analogisesti polyhedra-terminologian kanssa [6] .

Vertexin ja kasvojen kokoonpanot

Rombotriheksagonaalinen parketti koostuu kolmesta laattatyypistä: tasasivuinen kolmio, neliö ja kuusikulmio . Nämä laatat on järjestetty kunkin kärjen ympärille seuraavassa järjestyksessä: kolmio, neliö, kuusikulmio, neliö. Tätä järjestystä kutsutaanja se kirjoitetaan muodossa 3.4.6.4 . Jos kaksi tai useampia numeroita tässä sarjassa on peräkkäin, käytetään lyhennettyä merkintää: kolmion muotoinen parketti voidaan merkitä numerolla 3.3.3.3.3.3 tai numerolla 3 6 . Tässä tapauksessa merkinnät, jotka eroavat vain numeroiden syklisestä permutaatiosta tai merkinnän järjestyksen muutoksesta vastakkaiseen suuntaan (esimerkiksi 3.3.4.3.4 ja 4.3.3.4.3), merkitsevät samaa kärkikonfiguraatiota; samaan aikaan 3.4.4.6 ei ole sama kuin 3.4.6.4 [4] [7] [8] [9] [10] .

Heterogeenisissä parketeissa voi esiintyä eri muotoisia kärkikohtia.

Pinnan konfiguraatio on tämän kasvon kärkien asteiden sarja , kun sitä kierretään yhteen suuntaan. Kasvojen konfiguraatio kirjoitetaan numerosarjana hakasulkeissa [2] tai etuliitteenä V.

Jos jonkin parketin kaikilla kärjillä on sama konfiguraatio merkinnällä a 1 .a 2 ....a k , niin sen kaksoisparketin kaikilla pinnoilla on sama konfiguraatio merkinnällä Va 1 .a 2 ....a k . Esimerkiksi rombisen kolmikulmaisen parketin 3.4.6.4 kaksoisparketin pintakonfiguraatiot  on kirjoitettu V3.4.6.4.

Parkettityypit

Monissa tapauksissa ehto, että jokainen parkettiprototiili vastaa topologista levyä , hyväksytään ; toisin sanoen laatta ei saa koostua useista osista ( kvasipolyomino [11] ), sisältää "reikiä", olla loputon nauha jne. [2] [4] .

Tasaiset parketit

Oikeat parketit

Samanlaisista säännöllisistä monikulmioista koostuvia parketteja kutsutaan tavallisiksi parketeiksi ( eng.  regular tilings ). Tasossa on kolme säännöllistä laatoitusta: kolmioparketti , neliöparketti ja kuusikulmainen parketti [9] [12] [13] .

Tavallisia parketteja kutsutaan myös platoniparketteiksi [14] .

Tavallisilla parketteilla olevia polyformeja kutsutaan polyamondeiksi , polyominoksiksi ja polyhekseiksi .

Schläfli-symbolia { p , q } käytetään osoittamaan parkettia, jossa on säännöllisiä p -kulmia, jotka on järjestetty q kunkin kärjen ympärille . Kolmen tavallisen laatoituksen Schläfli-symbolit ovat {3,6}, {4,4} ja {6,3} [6] .

Puolitavanomaiset parketit

Parketteja, jotka koostuvat kahden tai useamman tyyppisistä säännöllisistä monikulmioista siten, että missä tahansa parketin kahdessa kärjessä tapahtuu symmetriamuunnos (itsesattuma), joka muuttaa yhden niistä toiseksi, kutsutaan puolisäännöllisiksi laatoiksi tai arkhimedeolaisiksi parketeiksi [9] [ 15 ] [16] [17] .  

Puolinormaalia parkettia on 8 kappaletta [7] [10] [12] [16] [17] . Yksi kahdeksasta puolisäännöllisestä parketista ( snub-noed trihexagonal parkett ) on kiraalinen , eli se ei ole sama kuin sen oma peilikuva [4] [7] [16] [17] .

On olemassa kaksi määritelmää, jotka johtavat samaan 8 puolisäännöllisen parketin sarjaan tasossa.

Ensimmäinen, "paikallinen" määritelmä on, että kaikkien kärkipisteiden huippukonfiguraatioiden on vastattava toisiaan. Toisin sanoen parketin minkä tahansa kahden kärjen ympärillä olevien pintasarjojen on oltava samat: samojen polygonien on mentävä samassa (tai vastakkaisessa) järjestyksessä.

Toinen, "maailmanlaajuinen" määritelmä edellyttää, että parketin kahdelle pisteelle on olemassa symmetriamuunnos (parketin itseyhdistelmä), joka muuttaa yhden niistä toiseksi.

Grünbaumilla ja Shepardilla on yhteiset termit "Archimedean parquet" ( englanniksi  Archimedean tiling ) ja " homogeeninen parketti " ( englanniksi  yhtenäinen laatoitus ): ensimmäiseen ryhmään kuuluvat parketit, jotka vastaavat "paikallista" määritelmää, ja toiseen - "globaali". Vaikka nämä kaksi sarjaa ovat yhteneväisiä euklidisella tasolla , muissa tiloissa on Arkhimedeen parketteja, jotka eivät ole homogeenisia [2] .

Matemaattisessa kirjallisuudessa termien "arkimedelainen parketti", "puolisäännöllinen parketti" ja "homogeeninen parketti" merkitykset vaihtelevat.

Melko tavalliset parketit

Kvasisäännöllinen parketti (tai polyhedron) ( englanniksi  quasiregular tiling ) - homogeeninen parketti (tai monitahoinen), joka koostuu kahdesta tyypistä, vuorotellen kunkin kärjen ympärillä; toisin sanoen kutakin pintaa ympäröivät erityyppiset kasvot [18] [19] [20] .

Euklidisessa tasossa on vain yksi näennäinen säännöllinen parketti – kolmikulmainen parketti, jonka kärkikonfiguraatio on 3.6.3.6 . Pallossa on kaksi näennäisesti säännöllistä parkettia ( pallomaisia ​​monitahoja ) - kuutioktaedri ja ikosidodekaedri .

Lobatševsky-tasolla on ääretön joukko lähes säännöllisiä parketteja, joiden muoto on

Heterogeeniset parketit

Epätasaisia ​​( englanniksi  non-uniform ) parketteja, jotka koostuvat säännöllisistä monikulmioista, on ääretön määrä .

  • Epähomogeeniset parketit säännöllisistä polygoneista

  • 3 2 .6 2 , 3 6

  • 3 2 .6 2 , 3.6.3.6

  • 3 2 .4.12, 3 6

  • 3.4 2.6 , 3.6.3.6

Jaksottaiset epähomogeeniset parketit voidaan luokitella kärkien, reunojen ja pintojen kiertoratojen lukumäärän mukaan. Jos kärkiratojen lukumäärä on yhtä suuri kuin n , parkettia kutsutaan n -uniformiksi ( englanniksi  n-uniform ) tai n - isogonaaliksi; jos reunaratojen lukumäärä on n - n - isotoxal ( eng.  n -isotoxal ). Yllä olevat esimerkit ovat neljä kahdestakymmenestä 2-homogeenisesta parketista [2] [9] [21] .


Ei-jaksolliset parketit ja jaksolliset laattasarjat

Osiota T kutsutaan jaksolliseksi , jos T :n symmetrioiden joukossa on kaksi rinnakkaista käännöstä ei-rinnakkaissuunnassa. Tässä tapauksessa mosaiikin voidaan katsoa koostuvan pienen fragmentin toistoista, jotka on asetettu elementeistä jonkin hilan solmuissa. Prototyyppijoukkoa (protoset) P kutsutaan ajaksoiseksi , jos se on toteutettu joissakin tason osioissa, mutta mikään näistä osioista ei ole jaksollinen [4] .

Ensimmäisen esimerkin jaksoittaisesta laattasarjasta löysi Robert Berger vuonna 1966, ja se sisälsi 20 426 Wang-laattaa [2] [24] . Wangin laatat ovat samankokoisia neliöitä, joissa on maalatut sivut; mosaiikkia rakennettaessa saa yhdistää vain yksivärisiä laattoja ja laattojen kääntäminen on kielletty.

Myöhemmin löydettiin jaksollisia protosarjoja, joissa oli vähemmän laattoja. Roger Penrose löysi kahdesta ruudusta koostuvia jaksollisia protojoukkoja [2] [23] [25] .

Vuonna 2010 Joshua Socolar ja John Taylor ehdottivat aperiodista sarjaa, joka koostuu yhdestä laatasta , joka on säännöllinen kuusikulmio, joka on merkitty värillisillä viivoilla ja lisärajoituksilla, jotka liittyvät koskemattomien laattojen suhteelliseen sijaintiin [ 26 ] . On olemassa muunnos, joka ei käytä tällaisia ​​rajoituksia, mutta käyttää irrotettua ruutua, eli laatta, joka ei ole topologinen levy . Avoimena ongelmana on yhden yhdistetyn laatan olemassaolo ilman lisämerkintöjä ja rajoituksia, joka pystyy peittämään tason vain ajoittain [26] [27] .

Pallomainen polyhedra

Pallomainen parketti tai pallomainen monitahoinen on pallon jakaminen pallomaisiin monikulmioihin suurympyröiden kaarilla [28] .

Jokainen viidestä Platonin kiintoaineesta vastaa tavallista pallomaista parkettia. Olkoon S muodollisesti pallo, jonka keskipiste O osuu yhteen monitahoisen P keskustan kanssa . O :sta vedetyt säteet, jotka kulkevat monitahoisen P kärkien läpi, leikkaavat pallon S kohdissa, jotka ovat vastaavan pallomaisen parketin kärjet; monitahoisen P reunat vastaavat suurien ympyröiden kaaria S :llä .

Viiden "platonisen kiinteän aineen" pallomaisten analogien lisäksi on olemassa kaksi säännöllisten pallomaisten monitahoisten perheiden perhettä, joilla ei ole vastaavia tasapintaisten polyhedrien joukossa: osohedra - polyhedra, jossa on kaksi kärkeä pallon navoissa, joiden pinnat ovat yhtenevät digonit , ja dihedra - dihedra , joka on kaksoisosohedra, joiden kärjet ovat pallon päiväntasaajalla.

Hyperboliset parketit

Eukleideen rinnakkaisuuden aksiooma (tarkemmin sanottuna yksi sen vastaavista väitteistä) sanoo:

Pisteen, joka ei sijaitse tietyllä suoralla, läpi kulkee korkeintaan yksi suora, joka on annetun suoran kanssa samassa tasossa eikä leikkaa sitä.

Lobachevsky-geometriassa seuraava aksiooma hyväksytään sen sijaan:

Pisteen kautta, joka ei sijaitse tietyllä suoralla, kulkee vähintään kaksi suoraa, jotka ovat annetun suoran kanssa samassa tasossa eivätkä leikkaa sitä.

Hyperbolisen tason kuvaamiseen käytetään yhtä olemassa olevista malleista - Beltrami-Klein- mallia , Poincarén konformista levyä , Poincarén mallia puolitasolla [29] .

Euklidisella tasolla on vain kolme tavallista parkettia ja 8 puolisäännöllistä parkettia. Hyperbolisella tasolla on ääretön määrä parillisia säännöllisiä parketteja, mukaan lukien parketit, joissa on seitsemän tai useampi tasasivuinen kolmio kärjen ympärillä, viisi tai useampi neliö, neljä tai useampi säännöllinen viisikulmio (parketti, jossa on kolme viisikulmiota kärjen ympärillä, on pallomainen dodekaedri ) , neljä tai useampi säännöllinen kuusikulmio ja kolme tai useampi yhtä suuri säännöllinen monikulmio, joissa on enemmän kuin 6 sivua.

Ongelmia parketeissa

Suuri määrä tehtäviä ja arvoituksia liittyy suorakulmioiden (tai muiden yhdistettyjen muotojen) jakamiseen laatoiksi tietystä prototiilijoukosta. Tässä tapauksessa itse prototiilit voidaan yhdistää tavallisen parketin solujen yhdistelmiin .

Erityisesti on olemassa ongelmaluokka m  ×  n suorakulmion tessellaatiossa dominolaattojen kanssa siten, että tuloksena olevassa osiossa ei ole suoraa viivaa, joka leikkaa suorakulmion reunasta reunaan eikä leikkaa dominolaattoja; tällaisia ​​suorakulmioita kutsutaan "vahvoiksi" [4] [11] [30] .

Muissa tehtävissä kunkin laatoituksessa käytettävien laattojen lukumäärälle asetetaan lisäraja. Pentominoihin liittyvissä ongelmissa tulee peittää 12 kuviolla tietty neliöparketin osajoukko, joka koostuu 60 solusta (suorakulmiot 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10 , shakkilauta neliön tetraminolla leikkaa keskeltä jne.) ; jokaista ruutua tulee kuitenkin käyttää täsmälleen kerran [11] [30] .

Parkettien luettelo

Tietyn tyyppisistä kuperista polygoneista koostuvien parkettien lukumäärän määrittämisongelma on ratkaistu vain osittain:

  • Mikä tahansa kolmio tai nelikulmio voi laatoittaa tason [4] [31] [32] .
  • Tunnetaan 15 viisikulmiota, jotka pystyvät laatoimaan tason; ei tiedetä, onko tämä luettelo täydellinen [1] . Viisikulmaisten parkettien luettelointiongelmalla on rikas historia [4] , ja se on ehkä jo ratkaistu [33] [34] .
  • On olemassa 3 tunnettua kuusikulmiotyyppiä, jotka pystyvät laatoittamaan tason [4] [35] .
  • Ei ole mahdollista laatoittaa tasoa, jossa on identtisiä kupera polygoneja, joissa on enintään seitsemän sivua [4] [36] .

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Pentagon  Tiling Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
  2. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B. Grünbaum , G. C. Shephard. Laatat ja kuviot . - New York: W.H. Freeman & Co., 1987. - ISBN 0-7167-1193-1 .
  3. ↑ Kuinka epätyypilliset tehtävät ratkaistaan ​​/ Toim. V. O. Bugaenko. - M. : MTSNMO , 2008. - S. 49. - 96 s. - ISBN 978-5-94057-331-9 .
  4. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 David A. Klarner . Matemaattinen kukkapuutarha.
  5. ↑ Prototiili . Matematiikan tietosanakirja. Haettu 12. elokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 2. syyskuuta 2013.
  6. ↑ 1 2 Coxeter, Johdatus geometriaan, 1966, §6, s. 100-104.
  7. ↑ 1 2 3 Henry Martyn Cundy, A. P. Rollett. Matemaattiset  mallit . - 2. painos - Oxford University Press, 1961. - s. 59-65.
  8. ↑ Paul Burke. Uniform Polyhedra . Haettu 12. elokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 2. syyskuuta 2013.
  9. ↑ 1 2 3 4 Chavey, D. Laatoitus säännöllisillä polygoneilla — II: Laatoitusluettelo  (määrittämätön)  // Tietokoneet ja matematiikka sovellusten kanssa . - 1989. - T. 17 . - S. 147-165 . - doi : 10.1016/0898-1221(89)90156-9 .
  10. ↑ 1 2 Mikä on teksellaatio? . Matematiikan foorumi. Haettu 12. elokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 2. syyskuuta 2013.
  11. ↑ 1 2 3 Golomb S.V. Polyomino \u003d Polyominoes / Per. englannista. V. Firsova. Esipuhe ja toim. I. Yagloma. - M .: Mir, 1975. - 207 s.
  12. ↑ 1 2 Tietosanakirja lapsille. T. 11. Matematiikka / luku. toim. M. D. Aksenova; menetelmä. ja ts. toim. V. A. VOLODIN - M . : Avanta + , 2003. - S. 297-300. — 688 s. — ISBN 5-94623-072-7 .
  13. ↑ Weisstein, Eric W. Regular  Tessellation Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
  14. ↑ Steven Gillispie. Platoniset tasomaiset laatat . Arkistoitu alkuperäisestä 26. lokakuuta 2008.
  15. ↑ Weisstein, Eric W. Semiregular Tessellation  (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
  16. ↑ 1 2 3 Steven Dutch. Archimedean Tilings (2. heinäkuuta 1999). Arkistoitu alkuperäisestä 20. tammikuuta 2013.
  17. ↑ 1 2 3 John Baez. Archimedean laatat ja egyptiläiset jakeet . Atsimuutti (5. helmikuuta 2012). Haettu 12. elokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 2. syyskuuta 2013.
  18. ↑ M. Weninger. Polyhedra Models = Polyhedron Models / Englannista kääntänyt V. V. Firsov, toimittanut ja jälkisanalla I. M. Yaglom. - M .: Mir, 1974. - 236 s.
  19. ↑ George Hart. Melko tavallinen polyhedra . Virtual Polyhedra: Encyclopedia of Polyhedra. Haettu 19. elokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 2. syyskuuta 2013.
  20. ↑ HSM Coxeter. Tavalliset  polytoopit . - 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
  21. ↑ Steven Dutch. Uniform Tilings (2. heinäkuuta 1999). Arkistoitu alkuperäisestä 20. tammikuuta 2013.
  22. ↑ Penrose R. (1979/80), Pentaplexity , Math. Intel. Vol. 2: 32–37 , < http://www.ma.utexas.edu/users/radin/pentaplexity.html > Arkistoitu 7. kesäkuuta 2011 Wayback Machinessa (arkistoitu osoitteessa) 
  23. ↑ 12 David Austin . Penrose Tiles Talk Across Miles . AMS:n ominaisuussarake. Haettu 18. elokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 2. syyskuuta 2013.
  24. ↑ Burger, R. Domino-ongelman ratkaisemattomuus  //  American Mathematical Societyn muistelmat. - 1966. - Voi. 66 . - s. 1-72 .
  25. ↑ R. Penrose (linkki ei saatavilla) . Tilings Encyclopedia. Haettu 13. elokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 2. syyskuuta 2013. 
  26. ↑ 1 2 Socolar J. Aperiodinen kuusikulmainen laatta  (määrittämätön) . - . - arXiv : 1003.4279 .
  27. ↑ Socolarin ja Taylorin jaksollinen laatta . Maxwellin demoni. Haettu 18. elokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 2. syyskuuta 2013.
  28. ↑ Weisstein, Eric W. Spherical Polyhedron  Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
  29. ↑ Coxeter, Johdatus geometriaan, 1966, ch. 16, s. 415-440.
  30. ↑ 1 2 Martin Gardner . Matemaattiset palapelit ja viihde = Mathematical Puzzles and Diversions / Per. Yu. A. Danilova , toim. Ja. A. Smorodinsky . - 2. - M .: Mir, 1999. - ISBN 5-03-003340-8 .
  31. ↑ Weisstein, Eric W. Kolmiolaatoitus  Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
  32. ↑ Weisstein, Eric W. Quadrilateral  Tiling Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
  33. ↑ Michael Rao . Kattava haku kuperista viisikulmioista, jotka laatoittavat koneen Arkistoitu 2. elokuuta 2017 Wayback Machinessa
  34. ↑ Matemaatikko löysi kaikki parkettipolygonit
  35. ↑ Weisstein , Eric W. HexagonTiling  Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
  36. ↑ Weisstein, Eric W. Laatoitus  Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Kirjallisuus

Linkit