Säännöllinen ikosaedri

Säännöllinen ikosaedri
( pyörivä malli )
Tyyppi	säännöllinen monitahoinen
Kombinatoriikka
Elementit	20 pintaa 30 reunaa 12 kärkeä X  = 2
Fasetit	säännölliset kolmiot
Vertex-kokoonpano	3.3.3.3.3
Kaksoispolyhedron	tavallinen dodekaedri
Vertex figuuri
Skannata
Luokitus
Merkintä	minä ST
Schläfli-symboli	{3,5}
Wythoff-symboli	5 | 2 3
Dynkinin kaavio
Symmetria ryhmä
Kiertoryhmä
kvantitatiivinen tieto
Evien pituus
Pinta-ala
Äänenvoimakkuus
Dihedraalinen kulma
Kiinteä kulma kärjessä	ke
Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Säännöllinen ikosaedri ( muista kreikkalaisista sanoista εἴκοσι "kaksikymmentä"; ἕδρον "istuin", "kanta") on säännöllinen kupera monitahoinen, kaksikymmentäsivuinen [1] , yksi platonisista kiinteistä aineista . Jokainen 20 pinnasta on tasasivuinen kolmio . Reunojen lukumäärä on 30, pisteiden lukumäärä 12. Ikosaedrissa on 59 tähtiä .

Historia

" Alkujen " kirjan XIII lauseessa 16 Eukleides osallistuu ikosaedrin rakentamiseen ja saa ensin kaksi säännöllistä viisikulmiota, jotka sijaitsevat kahdessa yhdensuuntaisessa tasossa  - sen kymmenestä kärjestä ja sitten - loput kaksi vastakkaista kärkeä [2 ] [3] :127-131 . Aleksandrian Pappus "Matematiikan kokoelmassa" osallistuu tiettyyn palloon piirretyn ikosaedrin rakentamiseen , mikä osoittaa matkan varrella, että sen kaksitoista kärkeä sijaitsevat neljässä yhdensuuntaisessa tasossa ja muodostavat niissä neljä säännöllistä kolmiota [3] :315-316 [4] .

Peruskaavat

Pinta-ala S , ikosaedrin tilavuus V , jonka reunan pituus on a , sekä piirrettyjen ja rajattujen pallojen säteet lasketaan kaavoilla:

Neliö:

Äänenvoimakkuus:

Piirretyn pallon säde [5] :

Puolikirjoitetun pallon säde on [5]

Piirretyn pallon säde [5] :

Ominaisuudet

• Dihedraalinen kulma ikosaedrin minkä tahansa kahden vierekkäisen pinnan välillä on kaari (-√5/3) = 138,189685°.
• Ikosaedrin kaikki kaksitoista kärkeä sijaitsevat kolmessa neljässä yhdensuuntaisessa tasossa muodostaen jokaisessa säännöllisen kolmion .
• Ikosaedrin kymmenen kärkeä sijaitsevat kahdessa yhdensuuntaisessa tasossa muodostaen niissä kaksi säännöllistä viisikulmiota , ja loput kaksi ovat toisiaan vastapäätä ja sijaitsevat rajatun pallon halkaisijan molemmissa päissä kohtisuorassa näihin tasoihin nähden. Viiden kärjen muodostamien edellä mainittujen tasojen symmetristen parien välinen etäisyys on yhtä suuri kuin tämän viisikulmion ympärille kuvatun ympyrän säde. /tämän säännön ansiosta 3D-mallin luominen tavallisesta ikosaedrista on melko helppoa/.
• Kahden lähimmän kärjen välistä kulmaa suhteessa ikosaedrin rungon keskustaan ​​tulisi kutsua ikosaedrikulmaksi ≈ 63,434949°
• Ikosaedriset kulmatuet - niillä on ikosaedrinen symmetria.
• Ikosaedrikulma on ehdottoman identtinen = sama kuin lävistäjän kulma kaksinkertaisen (a=n; b=2n) suorakulmion pienemmän sivun kanssa /tätä sääntöä voidaan soveltaa säännöllisen ikosaedrin 3D-mallin luomiseen/.
• Ikosaedri voidaan kirjoittaa kuutioon , kun taas kuusi keskenään kohtisuoraa ikosaedrin reunaa sijaitsee vastaavasti kuution kuudella sivulla, loput 24 reunaa kuution sisällä, kaikki ikosaedrin kaksitoista kärkeä ovat kuution kuudella sivulla.
• Tetraedri voidaan kirjoittaa ikosaedriin niin, että tetraedrin neljä kärkeä ovat linjassa ikosaedrin neljän kärjen kanssa.
• Ikosaedri voidaan kirjoittaa dodekaedriin , jolloin ikosaedrin kärjet ovat kohdakkain dodekaedrin pintojen keskusten kanssa.
• Dodekaedri voidaan kirjoittaa ikosaedriin niin, että dodekaedrin kärjet ja ikosaedrin pintojen keskipisteet ovat kohdakkain.
• Voit koota ikosaedrin mallin käyttämällä 20 tasasivuista kolmiota.
• Ikosaedrin kokoaminen säännöllisistä tetraedreistä on mahdotonta, koska rajatun pallon säde ikosaedrin ympärillä ja tetraedrin sivureunan pituus (tällaisen kokoonpanon kärjestä keskustaan) on pienempi kuin itse ikosaedrin reuna. Tetrahedrin, joka on saatu jakamalla ikosaedri, pintakulma on 60 °, ja sisäisen (kosaedrin rungon keskipisteen suhteen) ikosaedrin kulma on noin 63,434949 °

Typistetty ikosaedri

Katkaistu ikosaedri  on monitahoinen, joka koostuu 12 säännöllisestä viisikulmiosta ja 20 säännöllisestä kuusikulmiosta. Sillä on ikosaedrisen tyyppinen symmetria. Itse asiassa klassisen jalkapallopallon muoto ei ole pallo, vaan katkaistu ikosaedri, jossa on kuperat (pallomaiset) pinnat.

Katkaistu ikosaedri voidaan saada leikkaamalla pois 12 kärkeä muodostamaan säännölliset viisikulmiopinnat. Samalla uuden monitahoisen kärkien määrä kasvaa 5-kertaiseksi (12×5=60), 20 kolmion pintaa muuttuu säännöllisiksi kuusikulmioiksi (pintojen kokonaismääräksi tulee 20+12=32) ja reunojen määrä. kasvaa arvoon 30+12×5=90.

Maailmassa

• Ikosaedri on paras kaikista säännöllisistä monitahoista pallon kolmiomittamiseen rekursiivisen osioinnin menetelmällä [6] . Koska se sisältää niistä suurimman määrän kasvoja, tuloksena olevien kolmioiden vääristyminen oikeisiin nähden on minimaalinen.
• Ikosaedria käytetään noppaa pöytäroolipeleissä , ja sen nimi on d20 (noppaa - luut).

Kiinteät aineet ikosaedrin muodossa

• Monien virusten kapsidit (esim. bakteriofagit , mimivirus ).

Katso myös

• tähti monitahoinen

Muistiinpanot

1. ↑ Selivanov D. F. ,. Geometrinen runko // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron  : 86 nidettä (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
2. ↑ Euclid's Elements, kirja XIII, Proposition 16 . Haettu 3. syyskuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 30. elokuuta 2014. (määrätön)
3. ↑ 1 2 Eukleideen elementtejä. Kirjat XI-XV . - M. - L .: Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustanta, 1950. - Eukleideen teoksen venäjänkielisen  käännöksen lisäksi tämä painos sisältää kommenteissa käännöksen Pappuksen ehdotuksista tavallisista monitahoista.
4. ↑ Alkuperäinen antiikin kreikankielinen teksti, rinnakkaiskäännös latinaksi : Pappi Alexandrini Collectionis . - 1876. - Voi. I.-s. 150-157.
5. ↑ 1 2 3 Todistus: Cobb, John W. The Icosahedron  ( 2005-2007). Haettu 3. syyskuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 4. toukokuuta 2016.
6. ↑ OpenGL Red Book Ch.2 Arkistoitu 8. tammikuuta 2015.

Kirjallisuus

• Klein F. Luentoja ikosaedrista ja viidennen asteen yhtälöiden ratkaisusta / F. Klein; per. hänen kanssaan. A. L. Gorodentsev, A. A. Kirillov, punainen. A.N. Tyurin. — M .: Nauka , 1989. — 332 s. — ISBN 5020141976 .