Conway-merkintä polyhedralle

Conwayn kehittämää ja Hartin edistämää Conway -merkintää polytoopeille käytetään kuvaamaan polytooppeja , jotka perustuvat siemenpolytooppiin (eli joita käytetään muiden luomiseen) ja joita on muunnettu erilaisilla etuliiteoperaatioilla .

Conway ja Hart laajensivat ajatusta käyttää operaattoreita, kuten Keplerin katkaisuoperaattoria , luomaan yhdistettyjä polyhedraja, joilla on sama symmetria. Perusoperaattorit voivat generoida kaikki Arkhimedeen kiintoaineet ja Katalonian kiintoaineet oikeista siemenistä. Esimerkiksi t C edustaa katkaistua kuutiota ja taC, joka saadaan muodossa t(aC), on katkaistu oktaedri . Yksinkertaisin kaksoisoperaattori vaihtaa kärjet ja kasvot. Joten kuution kaksoispolyedri on oktaedri - dC \ u003d O. Peräkkäin käytettynä nämä operaattorit mahdollistavat monien korkealuokkaisten polyhedrien luomisen. Tuloksena olevalla polyhedralla on kiinteä topologia (pisteet, reunat, pinnat), kun taas tarkkaa geometriaa ei ole rajoitettu.

Siemenpolyhedrat, jotka ovat säännöllisiä monitahoja , esitetään niiden (englanninkielisen) nimen ensimmäisellä kirjaimella ( T etrahedron = tetrahedron, O ctahedron = octahedron, C ube = kuutio, I cosahedron = icosahedron, D odekaedri = dodekaedri). Lisäksi prismat ( P n - p rismasta n -kulmaisille prismoille), antiprismat ( A n - A ntiprismoista), kupolit ( U n - c u polae ), antikupolit ( V n ) ja pyramidit ( Y n - p y ramidista). Mikä tahansa monitahoinen voi toimia siemenenä, jos sille voidaan suorittaa operaatioita. Esimerkiksi säännöllinen fasetti monitahoinen voidaan merkitä J n ( Johnson solids = Johnson solids ) kun n = 1…92.

Yleisessä tapauksessa on vaikea ennustaa kahden tai useamman peräkkäisen toimenpiteen tulosta tietylle siemenpolyhedrille. Esimerkiksi kahdesti käytetty ambo-operaatio on sama kuin laajennusoperaatio, aa = e , kun taas katkaisuoperaatio ambo-operaation jälkeen tuottaa saman kuin viiste-operaatio, ta = b . Ei ole olemassa yleistä teoriaa, joka kuvaisi millaisia ​​polyhedraja voidaan saada jollain operaattorijoukolla. Päinvastoin, kaikki tulokset saatiin empiirisesti .

Operaatiot polytoopeilla

Taulukon elementit on annettu siemenelle, jonka parametrit ( v , e , f ) (pisteet, reunat, pinnat) on muunnettu uusiin tyyppeihin olettaen, että siemen on kupera monitahoinen (topologinen pallo, jolla on Euler-ominaisuus 2). Jokaiselle operaattorille annetaan esimerkki kuution siemenen perusteella. Perusoperaatiot riittävät muodostamaan peilisymmetriset yhtenäiset polyhedrat ja niiden duaalit. Jotkut perustoiminnot voidaan ilmaista muiden toimintojen koostumuksina .

Erikoistyypit

Operaatiolla "kis" on muunnelma k n , jolloin vain pyramidit lisätään pinnoille, joissa on n -sivu . Katkaisuoperaatiolla on muunnelma t n , jolloin vain n kertaluvun kärjet katkaistaan ​​.

Operaattoreita käytetään kuten funktioita oikealta vasemmalle. Esimerkiksi kuutio- kuutio on ambo-kuutio (kuutio, johon ambo-operaatiota sovelletaan), eli t(C) = aC ja katkaistu kuutiokaedri on t(a(C)) = t(aC) = taC .

Kiraliteettioperaattori _

Taulukon toiminnot on esitetty esimerkkikuutiossa ja piirretty kuution pinnalle. Siniset pinnat leikkaavat alkuperäiset reunat, vaaleanpunaiset pinnat vastaavat alkuperäisiä pisteitä.

Perustoiminnot
Operaattori Esimerkki Nimi Vaihtoehtoinen
rakentaminen		 huiput kylkiluut puolia Kuvaus
siemen v e f Alkuperäinen monitaho
r heijastaa v e f Peilikuva kiraalisille muodoille
d kaksinkertainen f e v Kaksisiemeninen polyhedron - jokainen kärkipiste luo uuden pinnan
a ambo dj
djd		 e 2e _ f + v Reunojen keskelle lisätään uusia kärkipisteitä ja vanhat leikataan pois ( rectify )
Toiminto luo kärkipisteitä, joiden valenssi on 4.
j liittyä seuraan isä
_		 v + f 2e _ e Siemenelle lisätään riittävän korkeat pyramidit siten, että kaksi eri pyramidiin kuuluvaa kolmiota, joilla on siemenen yhteinen sivu, muuttuvat samassa tasossa (makaavat samalla tasolla) ja muodostavat uuden pinnan.
Toiminto luo neliömäisiä kasvoja.
k
k n		 kis nd = dz
dtd		 v + f 3e _ 2e _ Jokaiselle pinnalle on lisätty pyramidi.
Akization tai kumulaatio, [1] kasvu tai pyramidilaajeneminen .
t
t n		 katkaista nd = dz
dkd		 2e _ 3e _ v + f Leikkaa kaikki kärjet.
Operaatio on konjugoitu kisaan
n neula kd = dt
dzd		 v + f 3e _ 2e _ Kaksoispolyhedron katkaistuksi siemeneksi. Pinnat on kolmiotettu kahdella kolmiolla kutakin reunaa kohti. Tämä puolittaa pinnat kaikkien kärkien ja reunojen läpi ja poistaa samalla alkuperäiset reunat.
Operaatio muuttaa geodeettisen polytoopin ( a , b ) muotoon ( a +2 b , a - b ) kun a > b .
Se myös muuntaa ( a ,0) muotoon ( a , a ), ( a , a ) muotoon (3 a ,0), (2,1) muotoon (4,1) jne.
z postinumero dk = td
dnd		 2e _ 3e _ v + f Kaksoispolytooppi siemenelle kis-operaation jälkeen tai kaksoispolytoopin katkaisu. Toiminto luo uusia reunoja, jotka ovat kohtisuorassa alkuperäisiin reunoihin nähden. Toimintoa kutsutaan myös bitruncationiksi ( deep truncation ).
Tämä operaatio muuttaa Goldbergin polytoopin G ( a , b ) G ( a + 2b , a - b ): ksi, kun a > b .
Se myös muuntaa G ( a ,0) G :ksi ( a , a ), G ( a , a ) G :ksi (3 a ,0), G (2,1) G : ksi (4,1) ja niin edelleen.
e laajentaa
(venytellä) 		aa
dod = tee		 2e _ 4e _ v + e + f Jokainen kärkipiste luo uuden pinnan ja jokainen reuna luo uuden nelosen. ( kantella = viisto)
o orto daa
ded = de		 v + e + f 4e _ 2e _ Jokainen n -kulmainen pinta on jaettu n nelikulmioon.

rg = g _		 gyro dsd = ds v + 2e + f 5e _ 2e _ Jokainen n -kulmainen pinta on jaettu n viisikulmioon.
s
rs = s		 tölväistä dgd = dg 2e _ 5e _ v + 2e + f "laajeneminen ja vääntö" - jokainen kärki muodostaa uuden pinnan ja jokainen reuna muodostaa kaksi uutta kolmiota
b viiste dkda = ta
dmd = dm		 4e _ 6e _ v + e + f Uusia kasvoja lisätään reunojen ja kärkien sijaan. (cantruncation = viisto-typistäminen )
m metamediaaalinen
_ 		kda = kj
dbd = db		 v + e + f 6e _ 4e _ Kolmiomittaus lisäämällä kärkipisteitä pintojen ja reunojen keskipisteisiin.

Oikeiden siementen muodostuminen

Kaikki viisi säännöllistä polytooppia voidaan generoida prismageneraattoreista käyttämällä nollasta kahteen operaattoria:

Oikeaa euklidelaista laatoitusta voidaan käyttää myös siemenenä:

Esimerkkejä

Kuutio voi muodostaa kaikki kuperat yhtenäiset polyhedrat oktaedrisesti symmetrisesti . Ensimmäinen rivi näyttää Arkhimedeen kiintoaineet ja toisella katalonialaiset kiintoaineet . Toinen rivi muodostetaan kaksoispolyhedraksi ensimmäisen rivin polyhedraksi. Jos vertaat jokaista uutta monitahoa kuutioon, voit ymmärtää visuaalisesti suoritetut toiminnot.

Kuutio
"siemen"		 ambo katkaista postinumero laajentaa viiste tölväistä

CdO_
_
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
aC
aO
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
tC
zO
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
zC = dkC
tO
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
aaC =
eCeO
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
bC = taC
taO
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
sC
sO
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
kaksinkertainen liittyä seuraan neula kis orto mediaalinen gyro

dCO_
_
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
jC
jO
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
dtC =
kdC kO
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
kC
dtO
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
oC
oO
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
dtaC = mC
mO
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
gC
goO
CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png

Katkaistu ikosaedri , tI tai zD, joka on Goldberg G(2,0)-polytooppi, luo lisäpolytooppeja, jotka eivät ole vertex- tai face-transitiivisia .

Typistetty ikosaedri siemenenä
"siemen" ambo katkaista postinumero laajennus viiste tölväistä

zD tI
Arkistoitu 21. lokakuuta 2016 Wayback Machinessa
azI
atI Arkistoitu 1. helmikuuta 2017 Wayback Machineen
tzD
ttI Arkistoitu 1. helmikuuta 2017 Wayback Machineen
tdzD
tdtI Arkistoitu 21. lokakuuta 2016 Wayback Machinessa
aazD = ezD
aatI = etI Arkistoitu 1. helmikuuta 2017 Wayback Machinessa
bzD
btI Arkistoitu 1. helmikuuta 2017 Wayback Machineen
szD
stI Arkistoitu 1. helmikuuta 2017 Wayback Machinessa
kaksinkertainen liittyä seuraan neula kis orto mediaalinen gyro

dzD
dtI Arkistoitu 1. helmikuuta 2017 Wayback Machineen
jzD
jtI Arkistoitu 1. helmikuuta 2017 Wayback Machineen
kdzD
kdtI Arkistoitu 1. helmikuuta 2017 Wayback Machineen
kzD
ktI Arkistoitu 1. helmikuuta 2017 Wayback Machineen
ozD
otI Arkistoitu 1. helmikuuta 2017 Wayback Machinessa
mzD
mtI Arkistoitu 1. helmikuuta 2017 Wayback Machineen
gzD gtI
Arkistoitu 1. helmikuuta 2017 Wayback Machineen

Johdettujen muotojen geometriset koordinaatit

Yleisesti ottaen siemen voidaan ajatella pinnan laatoituksena. Koska operaattorit edustavat topologisia operaatioita, johdettujen muotojen kärkien tarkkoja paikkoja ei yleensä määritellä. Kuperia säännöllisiä polytooppeja siemenenä voidaan pitää pallon laatoina, ja siksi johdettuja polytooppeja voidaan pitää pallolla sijaitsevina. Kuten tavalliset tasomaiset laatoitukset, kuten kuusikulmainen parketti , nämä pallossa olevat monitahoiset laatat voivat toimia siemenenä johdettujen laatoitusten tekemiseen. Ei-kuperat polyhedrat voivat muodostua siemeniksi, jos toisiinsa liittyvät topologiset pinnat on määritelty rajoittamaan kärkien sijaintia. Esimerkiksi toroidiset polyhedrat voivat tuottaa muita monitahoja, joiden pisteet ovat samalla toorisella pinnalla.

Esimerkki: Dodekaedrin siemen pallomaisena laatoituksena

D
tD
ilmoitus
zD = dkD
toim
bD = taD
SD

dd
nD = dtD
jD = isäD
kD = dtdD
oD = deD
mD = dtaD
gD
Esimerkki: Euklidinen kuusikulmainen laatoitussiemen (H)

H
th
Ah
tdH = H
eH
bH = taH
sH

dH
nH = dtH
jH = daH
dtdH = kH
oH = deH
mH = dtaH
gH = dsH

Johdannaisoperaatiot

Kahden tai useamman perustoiminnon sekoittaminen johtaa monenlaisiin muotoihin. On monia muita johdannaisoperaatioita. Esimerkiksi kahden ambo-, kis- tai expand-operaation yhdistäminen kaksoisoperaatioiden kanssa. Vaihtoehtoisten operaattoreiden, kuten join, trunte, ortho, bevel ja mediaal, käyttö voi yksinkertaistaa nimiä ja poistaa kaksoisoperaattorit. Johdannaisten reunojen kokonaismäärä voidaan laskea kunkin yksittäisen operaattorin kertoimilla.

Operaattori(t) d aj_
_		 k , t
n , z		 e
o		 gs_
_		 a & k a & e k & k k & e
k & a 2		 e & e
reunan kerroin yksi 2 3 neljä 5 6 kahdeksan 9 12 16
Ainutlaatuiset johdannaisoperaattorit kahdeksan 2 kahdeksan kymmenen 2

Taulukon toiminnot on esitetty kuutiolle (esimerkkinä siemenestä) ja ne on piirretty kuution pinnalle. Siniset pinnat leikkaavat alkuperäiset reunat ja vaaleanpunaiset pinnat vastaavat alkuperäisiä pisteitä.

Johdannaisoperaatiot
Operaattori Esimerkki Nimi Vaihtoehtoinen
rakentaminen		 huiput kylkiluut puolia Kuvaus
siemen v e f Alkuperäinen monitaho
klo akd
 3e _ 6e _ v + 2e + f Ambo-toiminto katkaisun jälkeen
jk dak v + 2e + f 6e _ 3e _ liittyä operaatioon kisin jälkeen. Samanlainen kuin orto , paitsi että uudet neliömäiset pinnat lisätään alkuperäisten reunojen tilalle
ak päivää 3e _ 6e _ v + 2e + f Operaatio ambo kisin jälkeen. Samanlainen kuin laajentaminen, paitsi että uudet kärjet lisätään alkuperäisiin reunoihin, jolloin muodostuu kaksi kolmiota.
jt dakd = dat v + 2e + f 6e _ 3e _ liitä operaatio katkaisun jälkeen. Kaksoispolyhedron operaatioiden jälkeen saatuun katkaisee, sitten ambo
tj dka 4e _ 6e _ v + e + f katkaise liitos
ka v + e + f 6e _ 4e _ kis ambo
ea tai ae aaa 4e _ 8e _ v + 3e + f laajennettu ambokäyttö, kolminkertainen ambokäyttö
oa tai je daaa = jjj v + 3e + f 8e _ 4e _ Orth-leikkaus ambon jälkeen, kolmoisliitosoperaatio
x = kt korottaa kdkd
dtkd		 v + e + f 9e _ 7e _ Operaatiot kis typistäminen, kolmio, reunojen jakaminen 3 osaan ja uusien pisteiden lisääminen alkuperäisten pintojen keskelle.
Operaatio muuttaa geodeettisen polytoopin ( a , b ) muotoon (3 a ,3 b ).
y = tk jenkki dkdk
dktd		 v + e + f 9e _ 7e _ Operaatiot katkaise kis, laajennus kuusikulmioilla kunkin reunan ympärillä
Operaatio muuttaa Goldbergin monitahoisen G ( a , b ) G :ksi (3 a ,3 b ).
nk kdk = dtk = ktd 7e _ 9e _ v + e + f neula-suudelma
tn dkdkd = dkt = tkd 7e _ 9e _ v + e + f katkaistu neula
tt dkkd 7e _ 9e _ v + e + f kaksinkertainen katkaisutoiminto
kk dttd v + 2e + f 9e _ 6e _ kaksoisoperaatio kis
nt kkd = dtt v + e + f 9e _ 7e _ neula katkaista
tz dkk = ttd 6e _ 9e _ v + 2e + f katkaistu vetoketju
ke kaa v+3e+f 12e 8e Kis laajentaa
to dkaa 8e 12e v+3e+f katkaista orto
ek aak 6e 12e v+5e+f laajentaa kis
okei daak = dek v+5e+f 12e 6e orthokis
et aadkd 6e 12e v+5e+f laajennettu katkaisutoiminto
o t daadkd = det v+5e+f 12e 6e orto typistetty
te tai ba dkdaa 8e 12e v+3e+f katkaista laajentaa
ko tai äiti kdaa = dte
ma = mj		 v+3e+f 12e 8e kis ortho
ab tai am aka = ata 6e _ 12e _ v + 5e + f ambo viiste
jb tai jm daka = data v + 5e + f 12e _ 6e _ liittyi viistoon
ee aaaa v+7e+f 16e 8e kaksoislaajenna
oo daaaa = dee 8e 16e v+7e+f kaksoisorto

Kiraaliset johdannaisoperaatiot

On olemassa muita johdettuja operaatioita, jos gyroa käytetään ambo-, kis- tai laajennusoperaatioiden kanssa ja enintään kolme kaksoisoperaatiota.

Operaattori(t) d a k e g a&g k&g esim g&g
reunan kerroin yksi 2 3 neljä 5 kymmenen viisitoista kaksikymmentä 25
Ainutlaatuiset johdannaisoperaattorit neljä kahdeksan neljä 2
Kiraaliset lapsen leikkaukset
Operaattori Esimerkki Nimi Rakennus huiput kylkiluut kasvot Kuvaus
siemen v e f Alkuperäinen monitaho
ag as
djsd = djs		 v + 4e + f 10e _ 5e _ Ambo gyro
jg dag = js
dasd = das		 5e _ 10e _ v + 4e + f liittyi gyroon
ga gj
dsjd = dsj		 v + 5e + f 10e _ 4e _ gyro ambo
sa dga = sj
dgjd = dgj		 4e _ 10e _ v + 5e + f snub ambo
kg dtsd = dts v + 4e + f 15 e 10e _ kis gyro
ts dkgd = dkg 10e _ 15 e v + 4e + f katkaistu snub
gk dstd v + 8e + f 15 e 6e _ gyrokit
st dgkd 6e _ 15 e v + 8e + f tyhmä katkaisu
sk dgtd v + 8e + f 15 e 6e _ snubkis
gt dskd 6e _ 15 e v + 8e + f gyron katkaisu
ks kdg
dtgd = dtg		 v + 4e + f 15 e 10e _ suudelma
tg dkdg
dksd		 10e _ 15 e v + 4e + f katkaistu gyro
esim es
aag		 v + 9e + f 20e_ _ 10e _ laajennettu gyro
og os
daagd = daag		 10e _ 20e_ _ v + 9e + f laajennettu snub
ge mene
gaa		 v + 11e + f 20e_ _ 8e _ gyro laajenee
se joten
dgaad = dgaa		 8e _ 20e_ _ v + 11e + f snup laajentaa
gg gs
dssd = dss		 v + 14e + f 25e _ 10e _ kaksoisgyro
ss sg
dggd = dgg
 10e _ 25e _ v + 14e + f kaksoisnuppi

Laajennetut operaattorit

Näitä laajennettuja lausekkeita ei voida luoda yleisesti käyttämällä yllä olevia perustoimintoja. Jotkut operaattorit voidaan luoda erikoistapauksina k- ja t-operaattoreiden kanssa, mutta niitä voidaan soveltaa tietyille pinnoille ja pisteille. Esimerkiksi viistetty kuutio cC voidaan .kärkeäkatkaistua4onvalenssijonka,jCtai,daC,dodekaedrinarombisena,t4daCmuotoonrakentaa Deltoidaalinen heksekontaedri voidaan rakentaa deD :ksi tai oD :ksi , jossa on valenssileikkaus5.

Jotkut laajennetut operaattorit muodostavat sekvenssin ja niitä seuraa numero. Esimerkiksi orto jakaa neliöpinnan 4 ruutuun, kun taas o3 voi jakaa 9 ruutuun. o3 on ainutlaatuinen rakenne, kun taas o4 voidaan saada nimellä oo , orto-operaattoria käytetään kahdesti. Loft - operaattori voi sisältää indeksin, kuten kis -operaattori , rajoittaakseen levityksen kasvoihin, joissa on tietty määrä sivuja.

Viisteoperaatio luo Goldberg [ en G(2,0)-polyhedronin, jossa on uudet kuusikulmiot alkuperäisten pintojen väliin. Peräkkäiset viisteoperaatiot luovat G(2 n ,0).

Edistyneet toiminnot
Operaattori Esimerkki Nimi Vaihtoehtoinen
rakentaminen		 huiput kylkiluut kasvot Kuvaus
siemen v e f Alkuperäinen monitaho
c ( c hamferista) viiste suutari v  + 2e  4e _ f  +  e Kylkiluiden katkaisu.
Reunojen sijaan lisätään uudet kuusikulmaiset pinnat.
Goldberg-polyhedron (0,2)
- - DC f  +  e 4e _ v  + 2e toiminta kaksoisviisteen jälkeen
u oletko jakamassa _ dcd v+e 4e f+2e Ambo- toiminto samalla kun alkuperäiset kärjet säilyvät
Toiminta on samanlainen kuin pintajakosilmukka kolmiomaisille pinnoille
- CD f+2e 4e v+e Kaksoistoiminto alajaon jälkeen
lln
_ _		 parvi _ v + 2e  5e _ f + 2e Pidennä kutakin pintaa prismalla ja lisää jokaisesta pinnasta pienempi kopio puolisuunnikkaan sisä- ja ulkopinnan väliin.
dl
dln_ _		 f + 2e  5e _ v + 2e Kaksoiskäyttö parven jälkeen
ld
l n d		 f + 2e  5e _ v + 2e Toimintaparvi kahden hengen jälkeen
dld
dl n d		 v + 2e  5e _ f + 2e Parveen liittyvä toiminta
dL0 f + 3e 6e _ v + 2e Toiminta kaksoispitsiliitoksen jälkeen
L0d f + 2e 6e _ v + 3e liitospitsi leikkaus dualin jälkeen
dL0d v + 3e 6e _ f + 2e Pitsiin liittyvä toiminta
q q uinto v+3e 6e f+2e Orto-operaatio, jota seuraa alkuperäisten pintojen keskellä olevien kärkien katkaisu.
Toiminto luo 2 uutta viisikulmiota jokaista alkuperäistä reunaa kohden.
- dq f+2e 6e v+3e Kaksoisoperaatio quinton jälkeen
qd v+2e 6e f+3e Operaatio quinto dualin jälkeen
- dqd f+3e 6e v+2e Kvintoon liittyvä operaatio
L0 yhdistetty-pitsi v + 2e 6e _ f + 3e Samanlainen kuin pitsi, mutta uudet nelipinnat alkuperäisten reunojen tilalle
L
L n		 L ässä v + 2e 7e _ f +4 e Pidennä jokainen kasvot antiprismalla , lisää kierretty pienempi kopio kustakin kasvosta kolmioilla vanhojen ja uusien kasvojen väliin.
Indeksi voidaan lisätä rajoittamaan toiminto pintaan, jossa on tietty määrä sivuja.
dL
dLn _		 f +4 e 7e _ v + 2e kaksoisoperaattori nauhoituksen jälkeen
Ld
Ld n		 f + 2e 7e _ v +4 e pitsioperaattori dualin jälkeen
dLd
dL n d		 v +4 e 7e _ f + 2e Toimintosarja kaksois, pitsi, kaksois
K
K n		 sta K e v+2e+f 7e 4e Kasvojen alajako keskusneliöillä ja kolmioilla.
Indeksi voidaan lisätä rajoittamaan toiminto pintaan, jossa on tietty määrä sivuja.
d K
dK n		 4e 7e v+2e+f Toiminta kaksoispanoksen jälkeen
kd v+2e+f 7e 4e panosoperaatio dualin jälkeen
d K d 4e 7e v+2e+f Panokseen liittyvä toiminta
M3 reuna-mediaal-3 v+2e+f 7e 4e Toiminta on samanlainen kuin m3, mutta diagonaalisia reunoja ei lisätä
dM3 4e 7e v+2e+f Kaksoistoiminto reuna-mediaal-3:n jälkeen
M3d v+2e+f 7e 4e edge-medial-3 -toiminto kaksoistoiminnon jälkeen
dM3d 4e 7e v+2e+f Operaatio liittyy reuna-mediaal-3
M0 liittyi mediaan v+2e+f 8e 5e Operaatio on samanlainen kuin mediaalinen, mutta alkuperäisten reunojen tilalle on lisätty rombiset pinnat.
d M0 v+2e+f 8e 5e Kaksoistoiminto liitetyn-mediaalin jälkeen
M0 d v+2e+f 8e 5e joined-mediaal leikkaus kaksoisjakson jälkeen
d M0 d 5e 8e v+2e+f Joined-medialiin liittyvä toiminto
m3 mediaal-3 v+2e+f 9e 7e Kolmiomittaus lisäämällä kaksi kärkeä kullekin reunalle ja yksi kärki kummankin pinnan keskelle.
b3 viiste-3 dm3 7e 9e v+2e+f Kaksoisoperaatio mediaal-3:n jälkeen
m3d 7e 9e v+2e+f Operaatio medial-3 kaksoisjakson jälkeen
dm3d v+2e+f 9e 7e Mediali -3:een liittyvä toimenpide
o3 orto-3 de 3 v +4 e 9e _ f +4 e Orth-operaattori reunan jaolla 3:lla
e3 laajentaa-3 tee 3 f +4 e 9e _ v +4 e laajentaa operaattoria jakamalla reunat kolmella
X ylittää v + f + 3e 10e _ 6e _ Kis- ja subdivide -operaatioiden yhdistelmä . Alkureunat jaetaan puoliksi ja muodostetaan kolmiomaiset ja nelikulmaiset pinnat.
dX 6e _ 10e _ v + f + 3e Toiminta kaksoispisteen jälkeen
xd 6e _ 10e _ v + f + 3e ristitoiminto kaksoistoiminnon jälkeen
dXd v + f + 3e 10e _ 6e _ Ristiin liittyvä toiminta
m4 mediaal-4 v+3e+f 12e 8e Kolmiomittaus, jossa jokaiseen reunaan on lisätty 3 kärkeä ja kunkin pinnan keskelle.
u5 alajako-5 v +8 e 25e _ f +16 e Reunat jaettuna 5 osaan
Tämä operaattori jakaa reunat ja pinnat siten, että kunkin uuden kärjen ympärille muodostuu 6 kolmiota.

Laajennetut kiraaliset operaattorit

Näitä operaattoreita ei voida generoida yleisesti yllä luetelluista perustoiminnoista. Geometriikkataiteilija Hart loi operaation, jota hän kutsui potkuriksi .

Edistyneet kiraaliset leikkaukset
Operaattori Esimerkki Nimi Vaihtoehtoinen
rakentaminen		 huiput kylkiluut puolia Kuvaus
"Siemen" v e f Alkuperäinen monitaho

rp = p _		 potkuri v  + 2e 5e _ f  + 2e gyro-operaatio, jota seuraa ambo alkuperäisten pintojen keskipisteissä
- - dp=pd f  + 2e 5e _ v  + 2e Samat kärjet kuin gyroskoopissa, mutta reunat muodostetaan alkuperäisten kärkien tilalle
- 4e _ 7e _ v + 2e + f Toiminto on samanlainen kuin snub , mutta alkuperäisillä pinnoilla on viisikulmiot kolmioiden sijaan kehän ympärillä.
- - - v + 2e + f 7e _ 4e _
w = w2 = w2,1
rw = w		 pyörre v+4 e 7e _ f+2 e Operaatio gyro, jota seuraa kärkien typistäminen alkuperäisten pintojen keskellä.
Toiminto luo 2 uutta kuusikulmiota jokaiselle alkuperäiselle reunalle, Goldberg-polyhedron (2,1)
Derivaattaoperaattori wrw muuntaa G(a,b):n muotoon G(7a,7b).

rv = v _		 äänenvoimakkuutta dwd f+2 e 7e _ v+4 e kaksoisoperaattori pyörteen jälkeen tai snub ja kis alkuperäisillä kasvoilla.
Tuloksena oleva vrv- operaattori muuntaa geodeettisen monitahoisen (a,b) muotoon (7a,7b).
g3
rg3 = g3		 gyro-3 v + 6e 11e _ f +4 e Gyro-toiminto luo 3 viisikulmiota kutakin lähteen reunaa pitkin
s3
rs3 = s3		 snub-3 dg 3 d = dg 3 f +4 e 11e _ v + 6e Kaksoisoperaatio gyro-3:n jälkeen, snub-operaatio, joka jakaa reunat 4 keskimmäiseksi kolmioksi ja kolmiot alkuperäisten kärkien tilalle
w3.1
rw3.1 = w3.1		 pyörre-3.1 v+8 e 13e _ f+ 4e Toiminto luo 4 uutta kuusikulmiota jokaiselle alkuperäiselle reunalle, Goldberg-polyhedron (3,1)
w3 = w3,2
rw3 = w3		 pyörre-3,2 v+ 12e 19e _ f+6 e Operaatio luo 12 uutta kuusikulmiota jokaiselle alkuperäiselle reunalle, Goldberg-polyhedron (3,2)

Toiminnot, jotka säilyttävät alkuperäiset reunat

Nämä laajennusoperaatiot jättävät alkuperäiset reunat ja mahdollistavat operaattorin soveltamisen mihin tahansa itsenäiseen kasvojen osajoukkoon. Conwayn merkintätapa ylläpitää näille operaatioille lisäindeksiä, joka osoittaa operaatioon osallistuvien pintojen sivujen lukumäärän.

Operaattori kis kuppi kuppi parvi pitsi panos kis-kis
Esimerkki kC UC VC lC LC KC kkC
kylkiluut 3e _ 4 e - f 4 5 e - f 4 5e _ 6e _ 7e _ 9e _
Kuva
kuutiossa
Laajennus Pyramidi Kupoli antidome Prisma antiprisma

Coxeter-operaattorit

Coxeter / Johnson -operaattorit ovat joskus hyödyllisiä yhdistettyinä Conway-operaattoreihin. Selvyyden vuoksi nämä operaatiot on annettu Conwayn merkinnöissä isoilla kirjaimilla. Coxeterin t-merkintä määrittelee kuumat ympyrät Coxeter-Dynkin-kaavion indekseiksi . Näin ollen taulukossa iso T indekseillä 0,1,2 määrittelee homogeeniset operaattorit oikeasta siemenestä. Indeksin nolla edustaa pisteitä, 1 edustaa reunoja ja 2 edustaa kasvoja. Jos T = T 0.1 tämä on normaali katkaisu, ja R = T 1 on täydellinen katkaisu tai korjausoperaatio , sama kuin Conwayn ambo-operaattori . Esimerkiksi r{4,3} tai t 1 {4,3} on cuboctahedronin Coxeter-nimi ja katkaistu kuutio on RC , sama kuin Conwayn ambo-kuutio aC .

Laajennetut Coxeter-toiminnot
Operaattori Esimerkki Nimi Vaihtoehtoinen
rakentaminen		 huiput kylkiluut puolia Kuvaus
T0_ _ , t 0 {4,3} "Siemen" v e f siemenen muoto
R = T1_ _ , t 1 {4,3} korjata a e 2e _ f + v Samoin kuin ambo , reunojen keskelle lisätään uusia pisteitä ja uudet pinnat korvaavat alkuperäiset kärjet.
Kaikilla huippupisteillä on valenssi 4.
T2_ _ , t 2 {4,3} kaksoisparektifiointi
_ 		d f e v Siemenpolyhedronin kaksoistoiminto – jokainen kärkipiste luo uuden pinnan
T = T0,1 _ , t 0,1 {4,3} katkaista t 2e _ 3e _ v + f Kaikki kärjet leikataan pois.
T 1.2 , t 1,2 {4,3} bitruncate z = td 2e _ 3e _ v + f Sama kuin vetoketju
RR = T 0,2 , t 0,2 {4,3} kantella aa = e 2e _ 4e _ v + e + f Sama kuin laajentaa
TR = T 0,1,2 , t 0.1.2 {4.3} ei voi juosta ta 4e _ 6e _ v + e + f Sama kuin viiste

Puolioperaattorit

Coxeterin puoli- tai puolioperaattori , H ( puolikkaasta ) , vähentää kunkin pinnan sivujen lukumäärää puoleen ja nelipintaa digoneihin , joissa on kaksi reunaa, jotka yhdistävät kaksi kärkeä , ja nämä kaksi reunaa voidaan korvata yhdellä reunalla tai ei. . Esimerkiksi puolikuutio, h{4,3}, puolikuutio, on HC, joka edustaa yhtä kahdesta tetraedristä. Ho lyhentää ortho sanaksi ambo / Rectify .

Muita puolioperaattoreita (puolioperaattoreita) voidaan määrittää käyttämällä H -operaattoria . Conway kutsuu Coxeterin Snub -operaattoria S , puolisnub määritellään nimellä Ht . Conwayn snub s -operaattori määritellään SR . Esimerkiksi SRC on snub-kuutio , sr{4,3}. Snub Coxeterin oktaedri , s{3,4} voidaan määritellä SO :ksi , säännöllisen ikosaedrin pyriiitti-hedraalisymmetrian konstruktioksi . Tämä on myös yhdenmukainen tavallisen nelikulmaisen antiprisman määritelmän kanssa SA 4:nä.

Puoligyrooperaattori G määritellään dHt : ksi . Tämän ansiosta voimme määritellä Conwayn kiertooperaattorin g (gyro) muotoon GR . Esimerkiksi GRC on gyro-kuutio, gC tai viisikulmainen ikositetraedri . GO määrittelee pyritoedrin , jolla on pyriteedrinen symmetria , kun taas gT ( gyrotetraedri ) määrittelee saman topologisen polyhedrin, jolla on tetraedrisymmetria .

Sekä operaattorit S että G edellyttävät, että paljaalla polytoopilta on parillisen valenssin kärjet. Kaikissa näissä puolioperaattoreissa on kaksi vaihtoehtoa puolioperaattorin vertexin vuorottelulle . Nämä kaksi rakennetta eivät yleensä ole topologisesti identtisiä. Esimerkiksi HjC määrittelee joko kuution tai oktaedrin sen mukaan, mikä kärkijoukko on valittu.

Muut operaattorit koskevat vain polytooppeja, joissa on parillinen määrä reunoja. Yksinkertaisin operaattori on semi-join , joka on puolioperaattorin dHd konjugaatti .

Puoliorto - operaattori F on konjugoitu puolisnubiin. Se lisää kärjen kasvojen keskelle ja puolittaa kaikki reunat, mutta yhdistää keskustan vain puoleen reunoista uusilla reunoilla luoden näin uusia kuusikulmiopintoja. Alkuperäiset neliömäiset pinnat eivät vaadi keskipistettä, vaan ne vaativat vain yhden reunan pinnan läpi, jolloin muodostuu viisikulmion pari. Esimerkiksi dodekaedrin tetartoidi voidaan rakentaa muodossa FC .

Puolilaajennusoperaattori E määritellään Htd : ksi tai Hz :ksi . Käyttäjä luo kolmion muotoiset kasvot. Esimerkiksi EC luo pseudoikosaedrin pyroederisen symmetrian rakenteen .

Puolioperaattorit polyhedrailla, joissa on parillinen määrä sivuja
Operaattori Esimerkki
(Siemen - Kuutio)		 Nimi Vaihtoehtoinen
rakentaminen		 huiput kylkiluut kasvot Kuvaus
H = H1H2
_		 semi ambo
H alf
1 ja 2 		v /2 e - f 4 f - f 4 + v /2 Vuorotteleva , poistaa puolet kärkeistä.
Nelipinnat ( f 4 ) pienennetään yksittäisiksi reunoksi.
I = I1
I2		 puoliksi katkaistu
1 ja 2 		v /2+ e 2e _ f + v /2 Katkaisee jokaisen toisen kärjen
puolineula
1 ja 2 		dI v /2+ f 2e _ e + v /2 Jokaisen toisen kärjen neulatoiminto
F = F1
F2		 semi-orto Flex
1 ja
2 		dHtd = dHz
dSd		 v + e + f - f 4 3 e - f 4 e Operaatio dual puolilaajennuksen jälkeen - reunoihin ja pintojen keskikohtiin luodaan uusia pisteitä, 2 n -kulmiota jaetaan n kuusikulmioon, nelikulmapinnat ( f 4 ) eivät sisällä keskipistettä, joten muodostuu kaksi viisikulmaista pintaa.
E = E1
E2		 puolilaajennettava
Eco
1 ja 2		 Htd = Hz
dF = Sd
dGd		 e 3 e - f 4 v + e + f - f 4 Kaksoisoperaatio puoliorto-operaatioon - luodaan uudet kolmiomaiset pinnat. Alkuperäiset pinnat korvataan polygoneilla, joiden sivut ovat puolet, nelikulmiot ( f 4 ) pelkistetään yksittäisiksi reunoksi.
U = U 1
U 2		 puolipitsi
C U p
1 ja 2		 v + e 4 e - f 4 2 e + f - f 4 Reunojen laajennus kupuilla .
V = V 1
V 2		 puolipitsi
Anticup
3 ja 4		 v + e 5 e - f 4 3 e + f - f 4 Reunojen lisäys anti-kuvulla
puolimediaaalinen
1 ja 2 		XdH = XJd v + e + f 5e _ 3e _ Vaihtoehtoinen mediaalinen operaatio diagonaaleihin nähden
puolimediaaalinen
3 ja 4 		v + e + f 5e _ 3e _ Vaihtoehtoinen operaatio mediaanien suhteen (yhdistää vastakkaisten sivujen keskipisteet)
puoliviiste
1 ja 2 		dXdH = dXJd 3e _ 5e _ v + e + f Vaihtoehtoinen viistokäyttö diagonaaleihin nähden
puoliviiste
3 ja 4 		3e _ 5e _ v + e + f Vaihtoehtoinen viistetoiminto mediaaneihin nähden
Puolioperaatioita polyhedraille, joiden kärjet ovat tasavalenssiset
Operaattori Esimerkki
(Siemen - Octahedron)		 Nimi Vaihtoehtoinen
rakentaminen		 huiput kylkiluut kasvot Kuvaus
J = J1
J2		 puoliliitos
1 ja 2 		dhd v - v 4 + f /2 e - v 4 f /2 Käyttäjä konjugoidaan puoliksi, liitä operaattori vuorotellen.
4-arvoiset kärjet ( v 4 ) pelkistetään 2-arvoisiksi ja korvataan yhdellä reunalla.
semi-kis
1 ja 2 		dId v + f /2 2e _ f /2+ e Operaatio kis puolikkaille (vuorotellen, ei kosketa reunaa pitkin) kasvoille
puolivetoketju
1 ja 2 		ID f /2+ e 2e _ v + f /2 Vetoketju puolikasvoissa
S = S1
S2		 puolisnub
1 ja 2		 Ht
dFd		 v - v 4 + e 3 e - v 4 f + e Kaksoistoiminto puoligyron jälkeen on snub -toiminto , joka kiertää alkuperäisiä pintoja ja lisää uusia kolmiomaisia ​​pintoja tuloksena oleviin aukkoihin.
G = G1
G2		 puoligyro
1 ja 2		 dHt
dS = Fd
dEd		 f + e 3 e - v 4 v - v 4 + e Kaksoistoiminto puolikiinnityksen jälkeen luo viisi- ja kuusikulmiopinnat alkuperäisiä reunoja pitkin.
puolimediaaalinen
1 ja 2 		XdHd = XJ 3e _ 5e _ v + e + f Leikkaus mediaal puolikkailla (reuna ei kosketa) kasvot
puoliviiste
1 ja 2 		dXdHd = dXJ v + e + f 5e _ 3e _ Viistetty puolikas (ei-reunaa koskettava) pinta

Alaosastot

Jakotoiminto jakaa alkuperäiset reunat n :ksi uudeksi reunaksi ja pintojen sisäpuoli täytetään kolmioilla tai muilla monikulmioilla.

Neliön alajako

Orto-operaattoria voidaan soveltaa kahden nelisivuisen alajaon potenssien sarjaan. Muut alajaot voidaan saada tekijöihin jaoteltujen alaryhmien tuloksena. Peräkkäin käytettynä potkurin operaattori johtaa 5-orth-alajakoon. Jos siemenellä on ei-nelipinnat, ne jäävät pieniksi kopioiksi parittomille orto-operaattoreille.

Kuutio esimerkkejä
Ortho o 2 = o o 3 o 4 = o 2 o 5
= prp		 o 6 = oo 3 o 7 o 8 = o 3 o 9 \ u003d o 3 2 o 10 = oo 5
= oprp
Esimerkki
Huiput v v + e + f v +4 e v + 7e + f v + 12e v + 17e + f v + 24e v + 31e + f v + 40e v + 63e + f
kylkiluut e 4e _ 9e _ 16e _ 25e _ 36e _ 49e _ 64e _ 81e _ 128e _
Fasetit f 2e _ f +4 e 8e _ f + 12e 18e _ f + 24e 32e _ f + 40e 64e _
Laajenna
(kaksi)		 e2 = e _ e 3 e4 = e2 _ _ e 5
= dprp		 e 6 = ee 3 e 7 e8 = e3 _ _ e 9 \ u003d e 3 2 e10 = ee5 = doprp _ _
Esimerkki
Kiraalinen kuusikulmainen alajako

Pyörreoperaattori luo Goldberg G(2,1) -polyhedrin , jossa on uudet kuusikulmiopinnat jokaisen alkuperäisen kärjen ympärille. Kaksi peräkkäistä pyörreoperaatiota luo G(3,5). Yleisesti ottaen pyörretoiminto voi muuttaa G( a , b ):n G( a + 3b , 2a - b ): ksi, kun a > b ja samassa kiraalisessa suunnassa. Jos kiraaliset suunnat käännetään, G( a , b ) muuttuu G(2 a +3 b , a -2 b ) kun a >=2 b ja G(3 a + b ,2 b - a ) kun a < 2 b .

Whirl- n -operaattorit muodostavat Goldberg-polytooppeja ( n , n -1) ja ne voidaan määritellä jakamalla paljaan polytoopin reunat 2 n -1 osareunaan.

Operaation whirl- n ja sen käänteistulos muodostaa (3 n 2 -3 n +1,0) Goldberg-polyhedron . wrw on (7,0), w 3 rw 3 on (19,0), w 4 rw 4 on (37,0), w 5 rw 5 on (61,0) ja w 6 rw 6 on (91, 0). Kahden whirl- n -operaation tulos on (( n -1)(3 n -1),2 n -1) tai (3 n 2 -4 n +1,2 n -1). w a :n tulo w b : llä antaa (3ab-2(a+b)+1,a+b-1), ja w a :n käänteisarvo w b antaa (3ab-a-2b+1,ab) ≥b.

Kahden identtisen operaattorin tulo pyörre n muodostaa Goldbergin polytoopin (( n -1)(3 n -1),2 n -1). K-pyörteen ja zipin tulo on (3k-2,1).

whirl- n - operaattorit
Nimi siemen pyörre Pyörre-3 Pyörre-4 Pyörre-5 Pyörre-6 Pyörre-7 Pyörre-8 Pyörre-9 Pyörre-10 Pyörre-11 Pyörre-12 Pyörre-13 Pyörre-14 Pyörre-15 Pyörre-16 Pyörre-17 Pyörre-18 Pyörre-19 Pyörre-20 Whirl- n
Operaattori
(yhdiste)		 - w=w2 w3 w4 w5
w6 wrw 3.1		 w7 w8
w3,1w3,1		 w9
ww5,1		 w10 w11 w12 w13
ww7.2		 w14 w15 w16
ww9.2		 w17
w3w6,1		 w18 w19
w3,1w7,3		 w20
ww11.3		 w n
Goldberg-polyhedron (1.0) (2.1) (3.2) (4.3) (5.4) (6.5) (7.6) (8.7) (9.8) (10.9) (11.10) (12.11) (13.12) (14.13) (15.14) (16.15) (17.16) (18.17) (19.18) (20.19) ( n , n - 1)
T
laajennus 		yksi 7 19 37 61 91
7×13		 127 169
13×13		 217
7×31		 271 331 397 469
7×67		 547 631 721
7×103		 817
19×43		 919 1027
13×79		 1141
7×163		 3n ( n -1 ) +1
Esimerkki
Vertex v v +4 e v + 12e v + 24e v + 40e v + 60e v +84 e v +112 e v +144 e v +180 e v + 220e v +264 e v +312 e v +364 e v +420 e v +480 e v +544 e v +612 e v +684 e v +760 e v + 2n ( n -1) e
kylkiluut e 7e _ 19e _ 37e _ 61e _ 91e _ 127e _ 169 e 217e _ 271e _ 331e _ 397 e 469 e 547 e 631 e 721e _ 817e _ 919e _ 1027 e 1141 e e + 3n ( n - 1) e
Fasetit f f + 2e f + 6e f + 12e f + 20e f + 30e f + 42e f + 56e f + 72e f +90 e f + 110e f +132 e f +156 e f + 182e f +210 e f + 240e f +272 e f +306 e f + 342e f +380 e f + n ( n - 1) e
w n w n (1.0) (5.3) (16.5) (33,7) (56,9) (85.11) (120.13) (161,15) (208.17) (261,19) (320.21) (385,23) (456,25) (533,27) (616.29) (705.31) (800.33) (901.35) (1008.37) (1121,39) (( n - 1)( 3n -1), 2n - 1)
w n r w n (1.0) (7.0) (19.0) (37,0) (61,0) (91,0) (127,0) (169,0) (217,0) (271,0) (331,0) (397,0) (469,0) (547,0) (631,0) (721,0) (817.0) (919.0) (1027,0) (1141,0) (1+ 3n ( n -1),0)
w n z (1.1) (4.1) (7.1) (10.1) (13.1) (16.1) (19.1) (22.1) (25.1) (28.1) (31.1) (34.1) (37.1) (40.1) (43.1) (46.1) (49,1) (52.1) (55.1) (58.1) ( 3n -2,1)
Kolmiomitettu alajako

Operaatio u n jakaa pinnat kolmioksi jakamalla jokainen reuna n osaan, jota kutsutaan Buckminster Fullerin geodeettisen monitahoisen n - taajuusjaokseksi 2] .

Polyhedrien Conway-operaattorit voivat rakentaa monia näistä alajaoista.

Jos kaikki alkuperäiset pinnat ovat kolmioita, uusien polyhedrien kaikki pinnat ovat myös kolmioita ja kolmiomaiset tessellaatiot luodaan alkuperäisten pintojen tilalle . Jos alkuperäisessä polyhedrassa on enemmän sivuja, kaikki uudet pinnat eivät välttämättä ole kolmioita. Tällaisissa tapauksissa monitahoinen voidaan ensin altistaa kis-operaatiolle uusilla pisteillä kunkin pinnan keskellä.

Esimerkkejä kuution alaosastoista
Operaattori u 1 u 2
=u		 u3 =
x		 u 4
=uu		 u 5 u 6
=ux		 u 7
\u003d vrv		 u 8
= uuu		 u9 = xx
Esimerkki

Conway -merkintä		 C Arkistoitu 2. helmikuuta 2017 Wayback Machineen uC Arkistoitu 15. maaliskuuta 2017 Wayback Machinessa xC Arkistoitu 16. maaliskuuta 2017 Wayback Machineen uuC Arkistoitu 15. maaliskuuta 2017 Wayback Machinessa u 5 C uxC Arkistoitu 15. maaliskuuta 2017 Wayback Machineen vrvC Arkistoitu 15. maaliskuuta 2017 Wayback Machinessa uuuC Arkistoitu 15. maaliskuuta 2017 Wayback Machinessa xxC Arkistoitu 15. maaliskuuta 2017 Wayback Machineen
Huiput v v+e v+e+f v+4e v+8e v+11e+f v+16e v+21e v+26e+f
kylkiluut e 4e 9e 16e 25e 36e 49e 64e 81e
Fasetit f f+2e 7e f+8e f+16e 24e f+32e f+42e 54e
Täysi kolmio
Operaattori u 1 k u 2 k
= uk		 u 3 k
= xk		 u 4 k
=uuk		 u 5 k u 6 k
=uxk		 u 7 k
\u003d vrvk		 u 8 k
=uuuk		 u 9 k
=xxk
Esimerkki
Conway kC Arkistoitu 5. helmikuuta 2017 Wayback Machinessa ukC Arkistoitu 15. maaliskuuta 2017 Wayback Machinessa xkC Arkistoitu 15. maaliskuuta 2017 Wayback Machinessa uukC Arkistoitu 16. maaliskuuta 2017 Wayback Machinessa u 5 kC uxkC Arkistoitu 15. maaliskuuta 2017 Wayback Machinessa vrvkC Arkistoitu 15. maaliskuuta 2017 Wayback Machinessa uuukC Arkistoitu 16. maaliskuuta 2017 Wayback Machinessa xxkC Arkistoitu 15. maaliskuuta 2017 Wayback Machineen
Kaksois
Goldberg		 {3,n+} 1,1 {3,n+} 2,2 {3,n+} 3,3 {3,n+} 4.4 {3,n+} 5.5 {3,n+} 6.6 {3,n+} 7.7 {3,n+} 8.8 {3,n+} 9.9
Geodeettinen polyhedra

Conwayn toiminnot voivat kopioida joitakin Goldberg-polyhedra ja kaksois-geodeettinen polyhedra. Goldberg-polyhedronin G ( m , n ) kärkien, reunojen ja pintojen lukumäärä voidaan laskea m :stä ja n :stä ja uusien kolmioiden lukumäärä kussakin alkuperäisessä kolmiossa lasketaan kaavalla T  =  m 2  +  mn  +  n 2  = ( m  +  n ) 2  −  mn . Konstruktiot ( m ,0) ja ( m , m ) on lueteltu Conway-toimintojen merkinnän alla.

Luokka I

Kaksois-Goldberg-polytooppeille operaattori u k määritellään tässä pintojen jakamiseksi, jossa reunat on jaettu k osaan. Tässä tapauksessa Conway-operaattori u = u 2 ja sen oheisoperaattori dud on operaattori viiste , c . Tätä operaattoria käytetään tietokonegrafiikassa Loop - alajakokaaviossa . Operaattorin u 3 antaa Conway-operaattori kt = x ja sen adjungoi- nen operaattori y = dxd = tk . Kahden kiraalisuuden käänteisen pyörreoperaattorin tulo wrw tai w w antaa 7-alajaon Goldbergin polytoopin G(7,0) muodossa, joten u 7 = vrv . Pienemmät alajaot ja pyörreoperaatiot kiraalisilla pareilla voivat muodostaa lisämuotoja luokan I. Operaatio w(3,1)rw(3,1) tuottaa Goldbergin polytoopin G(13,0). Operaatio w(3,2)rw(3,2) antaa G(19,0).

Luokka I: Jakooperaatiot ikosaedrilla geodeettisina monitahoina
( m ,0) (1.0) (2.0) (3.0) (4.0) (5.0) (6.0) (7.0) (8.0) (9,0) (10.0) (11.0) (12.0) (13.0) (14.0) (15.0) (16.0)
T yksi neljä 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256
Käyttökomposiitti
_ 		u 1 u 2 = u
= dcd 		u 3 \ u003d x
\ u003d kt 		u 4
= u 2 2
= dccd 		u 5 u 6 = u 2 u 3
= dctkd 		u 7
= v v
= dwrwd 		u 8 = u 2 3
= dccd 		u 9 = u 3 2
= ktkt 		u 10 = u 2 u 5 u 11 u 12 = u 2 2 u 3
= dccdkt 		u 13
v 3.1 v 3.1 		u 14 = u 2 u 7
= uv v
= dcwrwd 		u 15 = u 3 u 5
= u 5 x 		u 16 = u 2 4
= dccccd
kolmion muotoiset
kasvot
Icosahedron
Conway
Geodesic
I Arkistoitu 30. joulukuuta 2016 Wayback Machinessa { 3.5+ } 1.0
uI = k5aI Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa
{3.5+} 2.0
xI = ktI Arkistoitu 30. joulukuuta 2016 Wayback Machinessa
{3.5+} 3.0
u 2 I Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa { 3.5+ } 4.0
 
{3.5+} 5.0
uxI Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinelle
{3.5+} 6.0
vrvI Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa
{3.5+} 7.0
u 3 I Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa { 3.5+ } 8.0
x 2 I Arkistoitu 8. tammikuuta 2018 Wayback Machinessa { 3.5+ } 9.0
 
{3.5+} 10.0
 
{3.5+} 11.0
u 2 x I Arkistoitu 10. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa { 3.5+ } 12.0
 
{3.5+} 13.0
uvrvI Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa
{3.5+} 14.0
 
{3.5+} 15.0
u 4 I Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa { 3.5+ } 16.0
Kaksoisoperaattori c y
= tk		 cc alkaen 5 cy
= ctk		 ww
= wrw_ _		 ccc y 2
= tktk		 cc5_ _ alkaen 11 ccy
= cctk		 w 3,1 w 3,1 cw w
= cwrw		 c 5 v cccc
Dodecahedron
Conway
Goldberg
D Arkistoitu 30. joulukuuta 2016 Wayback Machinessa
{5+,3} 1.0
cD arkistoitu 21. lokakuuta 2016 Wayback Machinessa
{5+,3} 2.0
yD Arkistoitu 21. lokakuuta 2016 Wayback Machinessa
{5+,3} 3.0
ccD arkistoitu 21. lokakuuta 2016 Wayback Machinessa
{5+,3} 4.0
c 3 D
{5+,3} 5.0
cyD Arkistoitu 21. lokakuuta 2016 Wayback Machinessa
{5+,3} 6.0
wrwD Arkistoitu 21. lokakuuta 2016 Wayback Machinessa
{5+,3} 7.0
cccD Arkistoitu 21. lokakuuta 2016 Wayback Machinessa
{5+,3} 8.0
y 2 D Arkistoitu 30. joulukuuta 2016 Wayback Machinessa
{5+,3} 9.0
cc 5 D
{5+,3} 10.0
c 11 D
{5+,3} 11.0
ccyD Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback
Machineen {5+,3} 12.0
w3,1rw3,1D
{5+,3} 13.0
cwrwD Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa
{5+,3} 14.0
c 5 yD
{5+,3} 15.0
ccccD Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machine
G{5+,3} 16.0 :ssa
Luokka II

Ortogonaalinen jako voidaan määrittää myös käyttämällä operaattoria n = kd . Operaattori muuttaa geodeettisen polytoopin ( a , b ) muotoon ( a +2 b , a - b ) kun a > b . Se muuntaa ( a ,0) muotoon ( a , a ) ja ( a , a ) muotoon (3 a ,0). Operaattori z = dk tekee saman Goldberg-polyhedralle.

Luokka II: Ortogonaaliset osaoperaatiot
( m , m ) (1.1) (2.2) (3.3) (4.4) (5.5) (6.6) (7.7) (8.8) (9.9) (10.10) (11.11) (12.12) (13.13) (14.14) (15.15) (16.16)
T =
m2 × 3		 3
1×3		 12
4×3		 27
3×3		 48
24×3		 75
25×3		 108
36 × 3		 147
49 × 3		 192
64 × 3		 243
81 × 3		 300
100 × 3		 363
121 × 3		 432
144 × 3		 507
169 × 3		 588
196 × 3		 675
225 × 3		 768
256 × 3
Operaatio u 1 n
n
= kd 		u 2 n
= un
= dct 		u 3 n
= xn
= ktkd 		u 4 n
= u 2 2 n
= dcct 		u 5 n u 6 n
= u 2 = u 3 n
= dctkt 		u 7 n
= v v n
= dwrwt 		u 8 n
= u 2 3 n
= dccct 		u 9 n
= u 3 2 n
= ktktkd 		u 10 n
= u 2 u 5 n 		u 11 n u 12 n
= u 2 2 u 3 n
= dcctkt 		u 13 n u 14 n
= u 2 u 7 n
= dcwrwt 		u 15 n
= u 3 u 5 n 		u 16 n
= u 2 4 n
= dcccct
kolmion muotoiset
kasvot
Icosahedron
Conway
Geodesic
nI Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa
{3.5+} 1.1
unI Arkistoitu 30. joulukuuta 2016 Wayback Machinessa
{3.5+} 2.2
xnI Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa
{3.5+} 3.3
u 2 nI Arkistoitu 30. joulukuuta 2016 Wayback Machinessa
{3.5+} 4.4
 
{3.5+} 5.5
uxnI Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa
{3.5+} 6.6
vrvnI Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa
{3.5+} 7.7
u 3 nI Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa
{3.5+} 8.8
x 2 nI Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa
{3.5+} 9.9
{3.5+} 10.10
{3.5+} 11.11
u 2 xnI Arkistoitu 10. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa
{3.5+} 12.12 .
{3.5+} 13.13
dcwrwdnI Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa
{3.5+} 14.14 .
{3.5+} 15.15
u 4 nI
{3,5+} 16.16
Kaksoisoperaattori z
= dk		 cz
= cdk		 yz
= tkdk		 c 2 z
= ccdk		 c5z cyz
= ctkdk		 w w z
= wrwdk		 c3 z = cccdk _
 y 2 z
= tktkdk		 cc5z c11z c 2 yz
= c 2 tkdk		 c13z cwwz
= cwrwdk _ _		 c3c5z c 4 z
= ccccdk
Dodecahedron
Conway
Goldberg
zD Arkistoitu 21. lokakuuta 2016 Wayback Machinessa
{5+,3} 1.1
czD Arkistoitu 7. huhtikuuta 2016 Wayback Machinessa
{5+,3} 2.2
yzD Arkistoitu 30. joulukuuta 2016 Wayback Machinessa
{5+,3} 3.3
cczD Arkistoitu 7. huhtikuuta 2016 Wayback Machinessa
{5+,3} 4.4
 
{5+,3} 5.5
cyzD Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa
{5+,3} 6.6
wrwzD Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa
{5+,3} 7.7
c 3 zD Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa
{5+,3} 8.8
y 2 zD Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machinessa
{5+,3} 9.9
{5+,3} 10.10
G{5+,3} 11.11
ccyzD Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback
Machineen {5+,3} 12.12 .
{5+,3} 13.13
cwrwzD Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machine
G{5+,3} 14.14 .
{5+,3} 15.15
cccczD Arkistoitu 9. tammikuuta 2017 Wayback Machineen {5+,3} 16.16
Luokka III

Useimpia geodeettisia polytooppeja ja Goldberg-polyhedran G(n,m) duaaleja ei voida rakentaa käyttämällä Conway-operaattoreista johdettuja operaattoreita. Pyörreoperaatio luo Goldberg-polyhedrin G(2,1), jossa on uudet kuusikulmiopinnat jokaisen alkuperäisen kärjen ympärille, ja n -pyörre tuottaa G( n , n -1). Lomakkeissa, joissa on ikosaedrinen symmetria , t5g vastaa tässä tapauksessa pyörrettä. Operaatio v (= v olute = turn) edustaa kolmion osajakoa dual to whirl . Ikosaedrisillä muodoilla operaatio voidaan suorittaa derivaattaoperaattorilla k5s , pentakis snub .

Kaksi peräkkäistä pyörreoperaatiota luo G(3,5). Yleisesti ottaen pyörretoiminto voi muuttaa G( a , b ):n G( a + 3b , 2a - b ):ksi a > b :lle samalla kiraalisella suunnalla. Jos kiraalinen suunta käännetään, G( a , b ) muuttuu G(2 a +3 b , a -2 b ) kun a >=2 b , ja G(3 a + b ,2 b - a ) kun a < 2 b .

Luokka III: Epätasaisiin osiin jakaminen
Käyttökomposiitti
_		 v 2,1
= v		 v 3.1 v 3,2 = v 3 v4,1 = vn _
 v 4,2
= vu		 v 5.1 v 4,3 = v 4 v 5.2
= v 3 n		 v 6.1 v 6.2
= v 3.1 u		 v 5,3
= vv		 v 7.1
= v 3 n		 v 5,4 = v 5 v 6.3
= vx		 v 7.2
T 7 13 19 21
7×3		 28
7×4		 31 37 39
13×3		 43 52
13×4		 49
7×7		 57
19 × 3		 61 63
9×7		 67
kolmion muotoiset
kasvot
Icosahedron
Conway
Geodesic
vI
{3.5+} 2.1
v 3.1 I
{3.5+} 3.1
v 3 I
{3.5+} 3.2
vnI Arkistoitu 3. helmikuuta 2017 Wayback Machinessa
{3.5+} 4.1
vui
{3.5+} 4.2
{3.5+} 5.1
v 4 I
{3.5+} 4.3
v 3 nI
{3.5+} 5.2
{3.5+} 6.1
v 3.1uI { 3.5+
} 6.2
vvl
{3.5+} 5.3
v 3 nI
{3.5+} 7.1
v 5 I
{3.5+} 5.4
vxI Arkistoitu 8. tammikuuta 2018 Wayback Machinelle
{3.5+} 6.3
v 7.2 I
{3.5+} 7.2
Operaattori w w 3.1 w 3 wz WC w 5.1 w 4 w 3,1 z w 6.1 w 3,1 s www w 3 z w 5 wy w 7.2

Conway dodekaedri
wD Arkistoitu 21. lokakuuta 2016 Wayback Machinessa
{5+,3} 2.1
w 3,1 D
{5+,3} 3.1
w 3 D
{5+,3} 3,2
wzD Arkistoitu 21. lokakuuta 2016 Wayback Machinessa
{5+,3} 4.1
wcD Arkistoitu 21. lokakuuta 2016 Wayback Machinessa
{5+,3} 4.2
w 5,1 D
{5+,3} 5.1
w 4 D
{5+,3} 4.3
w 3 zD
{5+,3} 5.2
{5+,3} 6.1
w 3,1 cD
{5+,3} 6.2
wwD Arkistoitu 21. lokakuuta 2016 Wayback Machinessa
{5+,3} 5.3
w 3 zD
{5+,3} 7.1
w 5 D
{5+,3} 5.4
wyD Arkistoitu 8. tammikuuta 2018 Wayback
Machineen {5+,3} 6.3
w 7,2 D
{5+,3} 7.2
Muut luokan III toiminnot: Epätasaisiin osiin jakaminen
Käyttökomposiitti
_ 		v 8.1 v 6.4
= v 3 u 		v 7.3 v 8.2
= wcz 		v 6.5 = v 6
= vrv 3.1 		vv 9.1
= vv 3.1 		v 7.4 v 8.3 v 9.2 v 7.5 v 10.1
= v 4 n 		v 8,4
= vuu 		v 9.3
= v 3.1 x 		v 7.6 = v 7 v 8.6
v 4 u
T 73 76
19×4		 79 84
7×4×3		 91
13×7		 93 97 103 109 111
37 × 3		 112
7×4×4		 117
13×9		 127 148
37 × 4
kolmion muotoiset
kasvot
Icosahedron
Conway
Geodesic
v 8.1 I
{3.5+} 8.1
v 3 ui { 3.5+
} 6.4
v 7.3 I
{3.5+} 7.3
vunI
{3.5+} 8.2
vv3.1I
{3.5+} 6.5
vrv3.1I
{3.5+} 9.1
v 7.4 I
{3.5+} 7.4
v 8.3 I
{3.5+} 8.3
v 9.2 I
{3.5+} 9.2
v 7.5 I
{3.5+} 7.5
v 4 nI
{3.5+} 10.1
vuui
{3.5+} 8.4
v 3.1xI { 3.5+
} 9.3
v 7 I
{3.5+} 7.6
v 4 ui { 3.5+
} 8.6
Operaattori w 8.1 wrw 3.1 w 7.3 w3,1c wcz w 3,1 w w 7.4 w 8.3 w 9.2 w 7,5 w 4 z wcc w 3,1 v w 7 w 4 c

Conway dodekaedri
w 8.1 D
{5+,3} 8.1
w 3 cD
{5+,3} 6.4
w 7,3 D
{5+,3} 7.3
wczD
{5+,3} 8.2
ww3,1D
{5+,3} 6.5
wrw3,1D
{5+,3} 9,1
w 7,4 D
{5+,3} 7,4
w 8,3 D
{5+,3} 8,3
w 9,2 D
{5+,3} 9,2
w 7,5 S
{5+,3} 7,5
w4zD { 5
+,3} 10.1
wccD
{5+,3} 8.4
w 3,1 yD
{5+,3} 9.3
w 7 D
{5+,3} 7.6
w 4 cD
{5+,3} 8.6

Symmetriaesimerkkejä polyhedraista

Toimintojen toistaminen, alkaen yksinkertaisesta muodosta, voi antaa monitahoja, joissa on suuri määrä kasvoja, jotka säilyttävät siemenen symmetrian.

Tetrahedraalinen symmetria

  • t6dtT

  • atT

  • tatT

  • stT

  • XT (10e)

  • dxt (10e)

  • m3T

  • b3T

  • dHccC

  • dFtO

  • Fto

Oktaedrin symmetria

Kiraalinen

Isoedrinen symmetria

Kiraalinen

  • dsD (5e)

  • SD (5e)

  • wD(7e)

  • k5sD (7e)

  • sAD (10e)

  • sAD (10e)

  • g3D (11e)

  • s3D (11e)

  • g3I (11e)

  • s3I (11e)

  • stI (15e)

  • stD(15e)

  • wtI(21e)

  • k5k6stI (21e)

Dihedral symmetria

  • t4daA4=cA4

  • t4daA4=cA4 (sivu)

  • t4daA4=cA4 (ylä)

  • tA4

  • tA5

  • htA2

  • htA3=I

  • htA4

  • htA5

  • eP3 = aaP3

  • eA4 = aaA4

Toroidaalinen symmetria

Toroidilaatoituksia on litteässä toruksessa, duosylinterin pinnalla 4D-avaruudessa, mutta ne voidaan projisoida 3D-avaruuteen kuin tavallinen toru . Nämä laatoitukset ovat topologisesti samanlaisia ​​kuin laatoitusten osajoukko euklidisessa tasossa.

  • 1x1 säännöllinen neliötorus, {4,4} 1.0

  • Tavallinen 4x4 neliötorus, {4,4} 4.0

  • tQ24×12 projektio torukselle

  • taQ24×12 torusprojektio

  • actQ24×8 projektio torukselle

  • tH24×12 torusprojektio

  • taH24×8 torusprojektio

  • kH24×12 toruksen projektio

Euklidinen neliösymmetria

  • tQ

  • cQ

  • akQ

  • HDXQ

  • dHdXQ

Euklidinen kolmiosymmetria

  • tH

  • cΔ

  • CH

  • ctH

  • dakH

  • aaaH

  • aaaH, tasasivuinen

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Kumulaatio - Wolfram MathWorldistä . Haettu 25. lokakuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 24. marraskuuta 2017.
  2. ↑ Pugh, 1976 , s. 63.

Kirjallisuus

Linkit