Neliönmuotoinen parketti

neliön mosaiikki
Tyyppi	Oikea mosaiikki
Kasvojen konfigurointi	4.4.4.4 (tai 4 4 )|
Kasvojen konfigurointi	V4.4.4.4 (tai V4 4 )
Schläfli- symboli	{4,4}
Wythoff- symboli	4 | 24
Coxeter-Dynkin- kaaviot
Symmetria	p4m , [4,4], (*442)
Pyörimissymmetria _	], p4 , [4,4] + , (442)|
Kaksoislaatoitus _	itsekaksoittava
Ominaisuudet	vertex-transitive face-transitive edge-transitive

Neliömäinen parketti , neliöparketti [1] , neliömosaiikki tai neliömäinen ristikko  on laatoitus tasosta , jossa on yhtä suuret neliöt sivuttain, kun neljän vierekkäisen neliön kärjet ovat yhdessä pisteessä. Laatoituksen Schläfli-symboli on {4,4} eli jokaisen kärjen ympärillä on 4 ruutua .

Conway kutsui tätä mosaiikkikvadrilliksi ( quadrille ).

Neliön sisäkulma on 90 astetta, joten kärjessä olevat neljä neliötä antavat täydet 360 astetta. Laatoitus on yksi koneen kolmesta tavallisesta laatoituksesta . Kaksi muuta ovat kolmiolaatoitus ja kuusikulmainen laatoitus .

Tasaiset värit

Neliölaatoituksessa on 9 erilaista yhtenäistä väritystä . 4 neliön värit väriindekseillä kärjen ympärillä: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Kotelot, joissa on yksinkertainen peilisymmetria ja läpi ( ii) kotelot, joissa on liukuva peilisymmetria. Kolmea näistä muunnelmista voidaan pitää samalla perusalueella kuin pelkistetyt värit - 1112 i saadaan 1213:sta, 1123 i 1234:stä ja 1112 ii 1123 ii :stä .

Shakkiväritys (värit 1212) on monien pelien ja pulmapelien perusta, esimerkiksi shakkilaudan kenttä on neliömäinen parketti, myös moniin muihin ruudukkopeleihin , ristisanatehtäviin , polyominoihin , Life-malliin ja muihin kaksiulotteisiin soluautomaatit jne. P.

Yksiväristä lautaa (värit 1111) käytetään esimerkiksi Go -pelissä .

Aiheeseen liittyvät polyhedrat ja laatoitukset

Tämä laatoitus on topologisesti osa säännöllisten monitahojen ja laatoitusten sarjaa, joka jatkuu hyperbolisessa tasossa : {4,p}, p=3,4,5…

Symmetriavaihtoehdot * n 42 tavallista laatoitusta: {4, n }
Pallomainen	Euklidinen	Kompakti hyperbolinen				Parakompakti
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8} ...	{4,∞}

Neliömäiset laatoitukset ovat osa säännöllisten monitahoisten ja laatoitusten sarjaa, joissa on neljä pintaa kärkeä kohti. Sarja alkaa oktaedrilla , sekvenssin Schläfli-symbolit ovat {n,4} ja Coxeterin kaaviot ovat kuten n pyrkii äärettömään.

Wytoffin rakennus neliölaatoinnista

Tasaisten monitahoisten tapaan on kahdeksan yhtenäistä laatoitusta , jotka perustuvat tavalliseen neliölaattoihin.

Maalaamalla alkuperäiset pinnat punaisiksi, alkuperäiset kärjet keltaisiksi ja alkuperäiset reunat siniseksi, saadaan 8 erilaista laatoitusta. On kuitenkin olemassa vain kolme topologisesti erillistä laatoitusta - neliölaatoitus , katkaistu neliölaatoitus ja snub-neliölaatoitus .

Tasaiset laatoitukset, jotka perustuvat neliömäisen laatoituksen symmetriaan
Symmetria : [4,4], (*442)							[4,4] + , (442)	[4,4 + ], (4*2)
{4,4}	t{4,4}	r{4,4}	t{4,4}	{4,4}	rr{4,4}	tr{4,4}	sr{4,4}	s{4,4}
yhtenäiset kaksoiskappaleet
V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.4.4.4	V4.8.8	V3.3.4.3.4

Topologisesti vastaavat laatoitukset

Muut nelilaatat voivat olla topologisesti vastaavia neliölaattojen kanssa (4 neliötä kussakin kärjessä).

Isoedrisillä laatoinneilla on samat pinnat (pintatransitiivisuus ) ja ne ovat vertex-transitiivisia . Vaihtoehtoja on 18, joista 6:lla on kolmiopinnat, jotka eivät liity reunasta reunaan, ja toisessa 6 koostuu nelikulmioista, joissa on kaksi yhdensuuntaista reunaa (suunnikkaan). Annettu symmetria olettaa, että kaikki kasvot on maalattu samalla värillä [2] .

Pakkaavat ympyrät

Neliömäistä laatoitusta voidaan käyttää ympyröiden pakkaamiseen sijoittamalla halkaisijaltaan samankokoiset ympyrät neliöiden kärkipisteiden keskelle. Jokainen ympyrä on kosketuksessa neljän muun pakkausympyrän kanssa ( yhteysnumero ) [3] . Pakkaustiheys on . Ympyräpakkauksessa on 4 yhtenäistä väritystä.

Liittyvät säännölliset kompleksiset äärettömät

On 3 säännöllistä kompleksista apeirogonia , joilla on samat kärjet kuin neliölaatoituksessa. Säännöllisillä kompleksisilla apeirogoneilla on kärjet ja reunat, kun taas reunat voivat sisältää 2 tai useampia pisteitä. Säännöllisiä apeirogoneja p{q}r rajoittaa lauseke 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Tässä oletetaan, että reunat sisältävät p pistettä ja kärkikuvio on r -gonaalinen [4] .

Itsenäinen kaksinkertainen	Kaksinkertainen
4{4}4 tai	2{8}4 tai	4{8}2 tai

Katso myös

• Solu (piirustus)
• Luettelo säännöllisistä moniulotteisista monitahoista ja yhdisteistä
• Luettelo yhtenäisistä laatoista
• Neliön muotoinen ristikko
• Mosaiikit kuperista säännöllisistä monikulmioista euklidisella tasolla

Muistiinpanot

1. ↑ Golomb, 1975 , s. 147.
2. ↑ Grünbaum ja Shephard 1987 , s. 473-481.
3. ↑ Critchlow, 1987 , s. 74-75.
4. ↑ Coxeter, 1973 , s. 111-112, 136.

Kirjallisuus

• Golomb S. V. Polyomino = Polyominoes / Per. englannista. V. Firsova. Esipuhe ja toim. I. Yagloma. - M .: Mir, 1975. - 207 s.
• Coxeter HCM Taulukko II: Tavalliset hunajakennot //Tavalliset polytoopit (kirja) . — Kolmas painos. - Dover Edition, 1973. - S.  296 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• Klitzing, Richard 2D Euklidiset laatat o4o4x - squat - O1 Arkistoitu 9. joulukuuta 2017 Wayback Machinessa
• Williams, R. Luonnonrakenteen geometrinen perusta: Suunnittelun lähdekirja . - New York: Dover Publications , 1979. - s  . 36 . — ISBN 0-486-23729-X .
• Branko Grünbaum , GC Shephard. Laatat ja kuviot . - W.H. Freeman, 1987. - P. 58-65 (Luku 2.1: Säännölliset ja tasaiset laatoitukset). - ISBN 0-7167-1193-1 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Asioiden symmetriat . - Wellesley, MA: A.K. Peters, Ltd., 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . Arkistoitu19. syyskuuta 2010Wayback Machinessa
• Keith Critchlow. Tilaa avaruudessa: Suunnittelun lähdekirja. - New York: Thames & Hudson, 1987. - S. 77-76, malli 8. - ISBN 0-500-34033-1 .

Linkit

• Weisstein, Eric W. Square Grid  (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
• Weisstein , Eric W. Säännöllinen tessellaatio  Wolfram MathWorldissä .
• Weisstein, Eric W. Uniform tessellation  (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Fundamentaaliset kuperat säännölliset ja yhtenäiset kennot mitoiltaan 2–10

Perhe // _ Homogeeninen mosaiikki {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Kuusikulmainen Homogeeniset kuperat hunajakennot {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4 yhtenäinen viisiulotteinen hunajakenno {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 24 solun hunajakenno yhtenäinen kuusiulotteinen hunajakenno {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6 yhtenäinen seitsemänulotteinen hunajakenno {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _ yhtenäinen kahdeksanulotteinen hunajakenno {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31 yhtenäinen yhdeksänulotteinen hunajakenno {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21 Tasaiset n -ulotteiset hunajakennot {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21