Yhteysnumero

Yhteysnumero (joskus Newtonin numero [1] [2] , kemiassa vastaa koordinaationumeroa [2] ) - yksikkösäteen pallojen enimmäismäärä, joka voi samanaikaisesti koskettaa yhtä palloa n - ulotteisessa euklidisessa avaruudessa (se oletetaan, että pallot eivät tunkeudu toisiinsa, eli minkä tahansa kahden pallon leikkaustilavuus on nolla).

On tarpeen erottaa kontaktinumero hilassa olevasta kontaktinumerosta [3]  - samanlainen parametri pallojen tiheimmälle säännölliselle pakkaukselle . Yhteysnumeron laskenta yleisessä tapauksessa on edelleen ratkaisematon matemaattinen ongelma .

Historia

Yksiulotteisessa tapauksessa enintään kaksi yksikköpituuden segmenttiä voi koskettaa samaa segmenttiä:

Kaksiulotteisessa tapauksessa ongelma voidaan tulkita siten, että löydetään maksimimäärä kolikoita koskettaa keskimmäistä. Kuva osoittaa, että voit asettaa enintään 6 kolikkoa:

Tämä tarkoittaa, että . Toisaalta jokainen tangenttiympyrä katkaisee 60° kaaren keskiympyrästä, eivätkä nämä kaaret leikkaa toisiaan, joten . Voidaan nähdä, että tässä tapauksessa arviot ylhäältä ja alhaalta ovat samat ja .

Kolmiulotteisessa tapauksessa puhumme palloista. Tässä on myös helppo rakentaa esimerkki, jossa 12 palloa koskettaa keskimmäistä palloa - ne sijaitsevat ikosaedrin huipuissa  - siis . Tämä alaraja oli jo Newtonin tiedossa .

Tämä järjestely on löysä, pallojen väliin jää melko huomattavia rakoja. Ylhäältä tulleesta arviosta tuli syynä tunnettuun kiistaan ​​Newtonin ja D. Gregoryn välillä vuonna 1694. Newton väitti, että , ja Gregory vastusti, että voisi olla mahdollista järjestää 13 palloa. Hän suoritti laskelmia ja havaitsi, että keskipallon pinta-ala on yli 14 kertaa kunkin koskettavan pallon projektion pinta-ala, joten . Jos annat muuttaa pallojen säteitä 2%, on mahdollista nojata jopa 14 palloa.

Vasta vuonna 1953 Schütten ja van der Waerdenin artikkelissa [4] todettiin lopulta, että Newton oli oikeassa, vaikka tiukat todisteet puuttuivat.

Neliulotteisessa tapauksessa palloja on melko vaikea kuvitella. 24 neliulotteisen pallon sijoittaminen keskuspallon ympärille on ollut tiedossa jo pitkään , se on yhtä säännöllinen kuin kaksiulotteisessa tapauksessa ja ratkaisee samanaikaisesti hilan yhteysnumeroongelman. Tämä on sama sijoitus kuin kokonaislukuyksikön kvaternionit .

Gosset totesi tämän järjestelyn nimenomaisesti vuonna 1900 [5] . Jo aikaisemmin sen löysivät (vastaavassa ongelmassa) vuonna 1872 venäläiset matemaatikot Korkin ja Zolotarev [6] [7] . Tämä sijainti antoi arvion alta .

Yritykset arvioida tämä luku ylhäältä johtivat hienovaraisten funktioteorian menetelmien kehittämiseen, mutta eivät antaneet tarkkaa tulosta. Ensin onnistuimme todistamaan sen , sitten onnistuimme pienentämään ylärajan arvoon . Lopulta vuonna 2003 venäläinen matemaatikko Oleg Musin onnistui todistamaan tämän [8] .

Mitoista 8 ja 24 saatiin tarkka arvio 1970-luvulla [9] [10] . Todistus perustuu kontaktinumeron ja hilassa olevan kontaktinumeron yhtäläisyyteen näissä mitoissa: E8-hila (mitta 8) ja Leach-hila (mitta 24).

Tunnetut arvot ja arviot

Tällä hetkellä yhteysnumeroiden tarkat arvot tunnetaan vain , mutta myös ja . Joillekin muille arvoille tunnetaan ylä- ja alarajat.

Ulottuvuus Bottom line Yläraja
yksi 2
2 6
3 12
neljä 24 [8]
5 40 44 [11]
6 72 78 [11]
7 126 134 [11]
kahdeksan 240
9 306 364 [11]
kymmenen 500 554
yksitoista 582 870
12 840 1 357
13 1154 [12] 2069
neljätoista 1606 [12] 3 183
viisitoista 2564 4 866
16 4 320 7 355
17 5 346 11 072
kahdeksantoista 7 398 16 572 [11]
19 10 688 24 812 [11]
kaksikymmentä 17 400 36 764 [11]
21 27 720 54 584 [11]
22 49 896 82 340
23 93 150 124 416
24 196 560

Sovellukset

Ongelmalla on käytännön sovellus koodausteoriassa. Vuonna 1948 Claude Shannon julkaisi informaatioteoriapaperin, joka osoitti mahdollisuuden virheettömään tiedonsiirtoon meluisissa viestintäkanavissa käyttämällä yksikköpallojen pakkauskoordinaatteja n-ulotteisessa avaruudessa. Katso myös Hamming-etäisyys .

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Yaglom, I. M. Kolmetoista pallon ongelma . - Kiova: Vishcha-koulu, 1975. - 84 s.
  2. ↑ 1 2 J. Conway, N. Sloan. Pallien, ristikoiden ja ryhmien pakkaukset . - M . : Mir, 1990. - T. 1. - 415 s. — ISBN 5-03-002368-2 . Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 29. toukokuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 6. lokakuuta 2014. 
  3. ↑ Verkon yhteystiedot: OEIS - sekvenssi A001116
  4. ↑ Schütte, K. ja van der Waerden, BL Das Problem der dreizehn Kugeln  (määrätön)  // Math. Ann. . - 1953. - T. 125 , nro 1 . - S. 325-334 . - doi : 10.1007/BF01343127 .
  5. ↑ Gosset, Thorold. Säännöllisistä ja puolisäännöllisistä hahmoista n-ulotteisessa avaruudessa  // Matematiikan  lähettiläs : päiväkirja. - 1900. - Voi. 29 . - s. 43-48 .
  6. ↑ Korkine A., Zolotareff G. Sur les formesatiques positives quaternaires  (neopr.)  // Math. Ann. . - 1872. - V. 5 , nro 4 . - S. 581-583 . - doi : 10.1007/BF01442912 . Rus. käännös: Zolotarev E. I. Full. coll. op. - L . : Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1931. - S. 66-68.
  7. ↑ N. N. Andreev, V. A. Judin. Toisen muodon ja pallomaisten koodien arfimeettinen minimi  // Matemaattinen koulutus . - 1998. - Nro 2 . - S. 133-140 .
  8. ↑ 1 2 Musin O. R. Kahdenkymmenenviiden sfäärin ongelma  // Matemaattisten tieteiden edistysaskeleet . - Venäjän tiedeakatemia , 2003. - T. 58 , nro 4 (352) . - S. 153-154 .
  9. ↑ Levenshtein V. I. Pakkausten rajoista n - ulotteisessa euklidisessa avaruudessa // DAN SSSR. - 1979. - T. 245 . - S. 1299-1303 .
  10. ↑ A.M. Odlyzko, NJA Sloane. Uudet rajat niiden yksikköpallojen lukumäärälle, jotka voivat koskettaa yksikköpalloa n - mitoissa  //  J. Yhdistä. Teoria Ser. A  : päiväkirja. - 1979. - Voi. 26 . - s. 210-214 . - doi : 10.1016/0097-3165(79)90074-8 .
  11. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Hans D. Mittelmann ja Frank Vallentin. [ http://arxiv.org/abs/0902.1105 High-Accuracy Semidefinite Programming Bounds for Kissing Numbers] // Experimental Mathematics. - 2010. - T. 19 , nro 2 . - S. 174-178 .
  12. ↑ 1 2 V. A. Zinovjev, T. Erickson. Uudet alarajat yhteysnumerolle pienille  mitoille // Probl. tiedon siirto .. - 1999. - T. 35 , nro 4 . - S. 3-11 .

Linkit