Ikosaedri
Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 21. heinäkuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .Ikosaedri ( muista kreikkalaisista sanoista εἴκοσι - kaksikymmentä ja ἕδρα - taso [1] ) on monitahoinen , jossa on 20 pintaa.
Erilaisia ikosaedrejä on äärettömän monta , joista toisilla on enemmän symmetriaa, toisilla vähemmän. Tunnetuin ( kupera , ei tähtikuvioinen ) säännöllinen ikosaedri on yksi säännöllisistä monitahoista , jonka pinnat ovat 20 säännöllistä kolmiota .
Säännöllinen ikosaedri
Kahden tyyppisiä tavallisia ikosaedrejaKupera säännöllinen ikosaedri |
Suuri ikosaedri |
On olemassa kaksi kiinteää ainetta, yksi kupera ja yksi ei-kupera, joita molempia kutsutaan säännöllisiksi ikosaedreiksi. Molemmilla on 30 reunaa ja 20 säännöllistä kolmion pintaa , jotka suppenevat 5 kulman 12 kärjessä. Molemmilla on ikosaedrinen symmetria . Termi "säännöllinen ikosaedri" viittaa yleensä kuperaan muotoon ja ei-kuperaa muotoa kutsutaan suureksi ikosaedriksi .
Kupera säännöllinen ikosaedri
Kupera säännöllinen ikosaedri ymmärretään yleensä tarkoittavan säännöllistä ikosaedria , joka on yksi viidestä säännöllisestä polyhedrasta , ja sitä edustaa Schläfli-symboli {3, 5}. Monitahoisessa on 20 kolmiopintaa, 5 pintaa kussakin kärjessä.
Sen kaksoispolyedri on säännöllinen dodekaedri {5, 3}, jolla on kolme säännöllistä viisikulmaista pintaa kunkin kärjen ympärillä.
Suuri ikosaedri
Suuri ikosaedri on yksi neljästä Kepler-Poinsot-stellatiosta . Sen Schläfli-symboli on . Kuten kuperassa muodossa, siinä on myös 20 säännöllisen kolmion muotoista pintaa, mutta sen kärkihahmo on pentagrammi , ei viisikulmio, joka johtaa geometrisesti leikkaaviin pintoihin. Kolmion leikkauspisteet eivät edusta uusia reunoja.
Sen kaksoispolyhedri on suuri tähtitetty dodekaedri , jolla on kolme säännöllistä viisikulmaista pintaa kunkin kärjen ympärillä.
Ikosaedrin tähtiä
Tähtien muodostus on prosessi, jossa monitahoisen pinnat tai reunat laajenevat, kunnes ne joutuvat kosketuksiin uuden polyhedronin muodostamiseksi. Tämä tehdään symmetrisesti siten, että tuloksena oleva kappale säilyttää kaikki emokappaleen symmetriat.
Coxeterin et al.:n kirjassa " Fifty-nine Icosahedra" (The Fifty-Nine Icosahedra) on lueteltu 58 tällaista säännöllisen ikosaedrin tähtiä.
Näistä monilla on erilliset kasvot kussakin 20 tasossa, ja siksi ne ovat myös ikosaedrejä. Suuri ikosaedri on yksi niistä.
Muilla tähtimuodoilla on enemmän kuin yksi pinta tasoa kohti tai ne on muodostettu yksinkertaisemman monitahoisen yhdistelmänä. Tarkkaan ottaen ne eivät ole ikosaedrejä, vaikka niihin usein viitataankin sellaisina.
| Ikosaedrin tähtimuodot | |
|---|---|
| |
Pyritoedraalinen symmetria
| Pyritoedri- ja tetraedrisymmetria | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Coxeterin kaaviot |     (pyramedaali)(tetraedrinen)
| ||||
| Schläfli-symboli | s{3,4} sr{3,3} tai | ||||
| Fasetit | 20 kolmiota: 8 säännöllistä 12 tasakylkistä | ||||
| kylkiluut | 30 (6 lyhyttä + 24 pitkää) | ||||
| Huiput | 12 | ||||
| Symmetria ryhmä | T h , [4,3 + ], (3*2), järjestys 24 | ||||
| Kiertoryhmät | T d , [3,3] + , (332), järjestys 12 | ||||
| Kaksoispolyhedron | pyriteedri | ||||
| Ominaisuudet | kupera | ||||
Skannata | |||||
| |||||
Säännöllinen ikosaedri voi olla kaareva tai merkitty siten, että sillä on pienempi pyroedrisymmetria [2] , ja sitä kutsutaan snub-oktaedriksi , snubtetraedriksi , snub- tetraedriksi ja pseudoikosaedriksi . Sitä voidaan pitää vuorottelevana katkaistuna oktaedrina . Jos kaikki kolmiot ovat säännöllisiä , symmetriat voidaan erottaa värittämällä 8 ja 12 kolmiosarjaa eri tavalla.
Pyritoedrisellä symmetrialla on symboli (3*2), [3 + ,4] ja järjestys 24. Tetraedrisessä symmetriassa on symboli (332), [3,3] + ja kertaluokka 12. Nämä matalat symmetriat mahdollistavat 20 tasasivuisen kolmiopinnan vääntymisen, jolloin tuloksena on 8 säännöllisessä kolmiossa ja 12 yhteneväisessä tasakylkisessä kolmiossa .
Nämä symmetriat antavat Coxeterin kaavioita :javastaavasti, ja molemmilla on pienempi symmetria kuin symmetrioilla 
, (*532), [5,3] säännöllisen ikosaedrin kertaluku 120 .
Suorakulmaiset koordinaatit
12 kärkikoordinaattia voidaan antaa vektoreilla, jotka määrittävät kaikki muodon (2, 1, 0) positiiviset sykliset permutaatiot ja etumerkkimuutokset. Nämä koordinaatit edustavat katkaistua oktaedria , jossa on vuorotellen -poistopisteitä.
Tätä rakennetta kutsutaan snub-tetraedriksi , jos se muodostetaan vektorista ( ϕ , 1, 0), jossa ϕ on kultainen suhde [2] .
Jessenin ikosaedri
Jessenin ikosaedrissa, jota joskus kutsutaan myös kohtisuoraksi Jessenin ikosaedriksi , 12 tasakylkistä pintaa on järjestetty eri tavalla muodostamaan ei-kuperan kappaleen. Siinä on suorat kaksikulmaiset kulmat .
Se on yhtä kaukana kuutiosta, mikä tarkoittaa, että se voidaan leikata pienemmiksi monitahoiksi, jotka voivat muodostaa kokonaisen kuution.
Muut ikosaedrit
Rombicosahedron
Rombisaedri on vyöhykeedri , joka koostuu 20 yhtä suuresta rombista. Se voidaan saada rombisesta triakontaedrista poistamalla 10 keskipintaa. Vaikka kaikki kasvot ovat yhteneväisiä, rombikosaedri ei ole fasettitransitiivinen.
Pyramidin ja prisman symmetria
Ikosaedrin yleiset symmetriat pyramidien ja prismojen kanssa:
- 19-sivuinen pyramidi (plus 1 kanta = 20).
- 18-kulmainen prisma (plus 2 kantaa = 20).
- 9-puolinen antiprisma (2 sarjaa 9 sivua + 2 kantaa = 20).
- 10-sivuinen bipyramidi (2 sarjaa 10 sivua = 20).
- 10-sivuinen trapetsoedri (2 sarjaa 10 sivua = 20).
Säännöllinen kasvot polyhedra
Jotkut säännöllispintaiset polyhedrat ovat ikosaedrejä [3] : Johnsonin ja Zalgallerin merkintä annettu
| J 22 (M 4 + A 6 ) | J 35 (M 4 + P 6 + M 4 ) | J 36 (M 4 + P 6 + M 4 ) | J 59 (M 3 + M 15 + M 3 ) | J 60 (M 15 + 2M 3 ) | J 92 (M 20 ) |
|---|---|---|---|---|---|
Kierretty pitkänomainen kolmiokupoli |
Pitkänomainen kolmikulmainen suora kaksikupu |
Pitkänomainen kolmikulmainen pyörivä kaksikupu |
Dodekaedri kaksinkertaisesti laajennettu |
Dodekaedri kaksinkertaisesti laajennettu |
Litistetty kolmiomainen klinorothondi |
| 16 kolmiota 3 neliötä 1 kuusikulmio |
8 kolmiota 12 ruutua |
8 kolmiota 12 ruutua |
10 kolmiota 10 viisikulmiota |
10 kolmiota 10 viisikulmiota |
13 kolmiota 3 neliötä 3 viisikulmiota 1 kuusikulmio |
Katso myös
Muistiinpanot
- ↑ Jones, 2003 .
- ↑ 12 John Baez . Fool's Gold (11. syyskuuta 2011). Haettu 5. elokuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 19. toukokuuta 2018.
- ↑ Icosahedron arkistoitu 8. joulukuuta 2020 Wayback Machinessa Mathworldissä.
Kirjallisuus
- Daniel Jones. Englannin ääntämissanakirja / Peter Roach, James Hartmann, Jane Setter. - Cambridge: Cambridge University Press, 2003. - ISBN 3-12-539683-2 .