Chasar-polyhedron

Chasar-polyhedron  on ei-kupera monitahoinen , topologisesti vastaava kuin toru , ja jossa on 14 kolmion muotoista pintaa.

Tällä monitahoisella ei ole diagonaaleja  - mikä tahansa kärkipari on yhdistetty reunalla. Chasarin polytoopin seitsemän kärkeä ja 21 reunaa muodostavat täydellisen graafin upotuksen topologiseen torukseen . Monitahoisen kärkien muodostamasta 35 mahdollisesta kolmiosta vain 14 on kasvoja. Jos seitsemän kärkeä on numeroitu 1 - 7, torus voidaan leikata lehdeksi, joka vastaa topologisesti seuraavaa:

Tätä kuviota voidaan käyttää koneen tessellointiin . Yllä olevassa kuvassa pinnat ovat seuraavat (piste 1 kuvan yläosassa):

• Sininen:

(1, 2, 3) (1, 3, 4) (1, 4, 5) (1, 5, 6) (1, 6, 7) (1, 7, 2)

• Punainen

(2, 3, 6) (6, 3, 5)

• keltainen

(3, 5, 7) (7, 5, 2)

• Vihreä

(6, 2, 4) (4, 2, 5)

• Sininen

(4, 6, 7) (4, 7, 3)

Tällä numeroinnilla kärkien sijainti videoleikkeen lopussa (myötäpäivään, alkaen 1:stä) on seuraava: 1, 2, 5, 4, 3, 7, 6, 5, 2, 7, 3, 4 , 5, 6, 7.

Piikkien järjestelyssä on jonkin verran vapautta, mutta jotkut järjestelyt johtavat pintojen leikkauspisteeseen, jolloin reikää ei muodostu.

Kaikki kärjet ovat topologisesti ekvivalentteja, kuten näkyy yllä olevan kuvan tason laatoituksesta .

Tetraedri ja Császár-polyedri ovat ainoat kaksi monitahoa (joilla on rajamoniskio ), joissa ei ole lävistäjiä, vaikka on muitakin monitahoja, kuten Schoenhardt-polyedri , joilla ei ole sisälävistäjät (eli kaikki monitahojen lävistäjät ovat monitahoisen ulkopuolella) , sekä pinnat ilman diagonaaleja, jotka eivät ole jakoputkia [1] [2] . Jos v -pisteinen polyhedri upotetaan pintaan, jossa on h -reikiä siten, että mikä tahansa kärkipari on yhdistetty reunalla, Eulerin ominaisuus tarkoittaa, että

Tämä yhtäläisyys pätee tetraedrille, jonka h = 0 ja v = 4, ja Chasar-polyhedrille, jonka h = 1 ja v = 7. Seuraava mahdollinen ratkaisu, h = 6 ja v = 12, voisi vastata monitahoa, jossa on 44 pintaa ja 66 reunaa, mutta sitä ei voida toteuttaa. Ei tiedetä, onko olemassa suurempia suvuja sisältäviä polyhedraja [3] . Yleensä tämä yhtäläisyys voidaan toteuttaa vain, kun v on 0, 3, 4 tai 7 modulo 12 [4] .

Csasar-polyhedron on nimetty unkarilaisen topologin Akos Csasarin mukaanjoka löysi monitahoisen vuonna 1949. Lajos Silashi löysi vuonna 1977 Silashi- polytoopin , joka on kaksinkertainen Chasar - polytoopin kanssa.. Siinä on 14 kärkeä, 21 reunaa ja seitsemän kuusikulmaista pintaa, ja jokaisella kahdella pinnalla on yhteinen reuna. Kuten Chasar-polytooppi, myös Silashi-polytooppi on toruksen topologia.

Muistiinpanot

1. ↑ Szabó, 1984 .
2. ↑ Szabó, 2009 .
3. ↑ Ziegler, 2008 .
4. ↑ Lutz, 2001 .

Kirjallisuus

• A. Csaszar. Monitahoinen ilman diagonaaleja // Acta Sci. Matematiikka. Szeged. - 1949. - T. 13 . - s. 140-142.
• Martin Gardner. Aikamatkailu ja muut matemaattiset hämmennykset . - W. H. Freeman and Company, 1988. - S.  139-152 . — ISBN 0-7167-1924-X .
  • Martin Gardner. Luku 11 "Chasar Polyhedron" // Aikamatkailu. - Moskova: "Mir", 1990. - S. 165-178. — ISBN 5-03-001166-8 .
• Martin Gardner. Fraktaalimusiikkia, hyperkortteja ja muuta: Scientific Americanin matemaattisia harrastuksia . - W. H. Freeman and Company, 1992. - S.  118-120 . — ISBN 0-7167-2188-0 .
• Frank H. Lutz. Császár's Torus  // Electronic Geometry Models. – 2001.
• Sandor Szabo. Polyhedra ilman diagonaaleja // Periodica Mathematica Hungarica. - 1984. - T. 15 , no. 1 . - S. 41-49 . - doi : 10.1007/BF02109370 .
• Sandor Szabo. Polyhedra ilman diagonaaleja II // Periodica Mathematica Hungarica. - 2009. - T. 58 , no. 2 . - S. 181-187 . - doi : 10.1007/s10998-009-10181-x .
• Günter M. Ziegler. Diskreetti differentiaaligeometria / AI Bobenko, P. Schröder, JM Sullivan, GM Ziegler. - Springer-Verlag, 2008. - T. 38. - S. 191-213. — (Oberwolfach-seminaarit). - ISBN 978-3-7643-8620-7 . - doi : 10.1007/978-3-7643-8621-4_10 .

Linkit

• Weisstein, Eric W. Csaszar Polyhedron  (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .