Aleksandrovin pyyhkäisylause

Aleksandrovin avautumislause on lause suljetun kuperan monitahoisen olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta tietyllä avautumisella, jonka on todistanut Aleksandr Danilovitš Aleksandrov . [1] Tämän lauseen ainutlaatuisuus on Cauchyn polyhedra-lauseen yleistys ja sillä on samanlainen todiste.

Tämän lauseen yleistäminen mielivaltaisiksi mittareiksi alalla oli avainasemassa Alexanderin geometrian muodostumisessa ja kehittämisessä . Toisen todisteen, joka perustuu kolmiulotteisen monitahoisen avaruuden muodonmuutokseen , ehdotti Yu. A. Volkov vuoden 1955 väitöskirjassaan. [2]

Sanamuoto

Pallon monitahoinen metriikka on isometrinen kuperan monitahoisen pintaan nähden, jos ja vain jos kulmien summa missään sen kärjessä ei ylitä . Lisäksi monitahoinen määritellään sen pinnalla olevalla metriikalla kongruenssiin asti.

Oletetaan, että monikulmio degeneroituu litteäksi monikulmioksi, tässä tapauksessa monikulmion pinta määritellään monikulmion kaksinkertaistumiseksi sen rajalla, eli monikulmion kahdeksi kopioksi liimautuneena yhteen rajan vastaavissa pisteissä.

Muistiinpanot

• Alkuperäisessä muotoilussa Aleksandrov käyttää monitahoisen kehityksen käsitettä tasossa, eli sarjaa litteitä polygoneja ja sääntöjä näiden monikulmioiden liimaamiseksi monitahoiseen metriikkaan. Yksi tällainen kehitys voidaan saada monitahoisen kaikkien pintojen joukosta luonnollisella liimaussäännöllä. Yleensä litteät monikulmiot voivat kuitenkin mennä päällekkäin useiden pintojen kanssa; katso kuva.

Muunnelmia ja yleistyksiä

• (Aleksandrovin lause) Pallon sisäinen metriikka on isometrinen kuperan kappaleen pintaan nähden, jos ja vain jos sillä on ei-negatiivinen kaarevuus Aleksandrovin merkityksessä . Oletetaan, että keho rappeutuu litteäksi hahmoksi, tässä tapauksessa hahmon pinta määritellään sen kaksinkertaistumiseksi.
  • (Pogorelovin lause) Lisäksi kupera kappale määritellään yksiselitteisesti kongruenssiin asti.
  • (Olovjanišnikovin lause) Tason täydellinen metriikka on isometrinen kuperan joukon pintaan nähden vain, jos sillä on ei-negatiivinen kaarevuus Aleksandrovin merkityksessä. Lisäksi äärettömyydessä oleva kartio voidaan asettaa mielivaltaisesti, jos sen raja on isometrinen äärettömyyden kartioon nähden .

Katso myös

• Aleksandrovin monotonisuuslause

Muistiinpanot

1. ↑ A.D. Aleksandrov , kupera monitahoinen . M.; L.: GITTL, 1950.
2. ↑ Yu.A. Volkov. Tietyn kehityksen omaavan polyhedronin olemassaolo  // Zap. tieteellinen perhe POMI. - 2018. - T. 476 . - S. 50-78 .

Kirjallisuus

• N. Lebedeva ja A. Petrunin. Aleksandrovin lause polytooppien upottamisesta .