Deltahedra

Deltaedri on monitahoinen , jonka kaikki pinnat ovat säännöllisiä kolmioita . Nimi on peräisin kreikkalaisesta isosta kirjaimesta delta ( ), joka on tasasivuisen kolmion muotoinen. Deltaedrejä on äärettömän monta, mutta vain kahdeksan niistä on kuperia ja niillä on 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 ja 20 pintaa [1] .

Pintojen , reunojen ja kärkien lukumäärä on lueteltu alla jokaiselle kahdeksalle deltahedralle.

Kupera deltahedra

Yhteensä on 8 kuperia deltaedria [2] , joista 3 on platonisia kiinteitä aineita ja 5 on Johnson-polyhedraa .

Deltaedrissä, jossa on 6 pintaa, jotkut kärjet ovat astetta 3 ja jotkut ovat astetta 4. Deltaedreissä, joissa on 10, 12, 14 ja 16 pintaa, jotkut kärjet ovat astetta 4 ja jotkut astetta 5. Nämä viisi epäsäännöllistä deltaedria kuuluvat säännöllispintaisten monikulmioiden luokkaan - kupera polyhedra, jossa on säännölliset monikulmiot pinnoina.

Ei ole olemassa kuperaa deltaedria, jossa olisi 18 pintaa [3] . Kuitenkin ikosaedri, jonka reuna on supistunut , antaa esimerkin oktaedrista , joka voidaan joko tehdä kuperaksi 18 epäsäännöllisellä pinnalla tai kahdella kolmen tasasivuisen kolmion sarjalla, jotka sijaitsevat samassa tasossa.

Säännöllinen deltahedra
Nimi Kuva
Huippupisteiden lukumäärä
Kylkiluiden lukumäärä
Kasvojen lukumäärä
Vertex- kokoonpano 		Symmetria ryhmä
säännöllinen tetraedri neljä 6 neljä 4 x 3 3 T d , [3,3]
Säännöllinen oktaedri (nelikulmainen bipyramidi) 6 12 kahdeksan 6× 34 Oi , [ 4,3 ]
Säännöllinen ikosaedri 12 kolmekymmentä kaksikymmentä 12× 35 I h , [5,3]
Johnsonin deltahedra
kolmion muotoinen bipyramidi 5 9 6 2 x 3 3
3 x 3 4 		D 3h , [3,2]
Viisikulmainen bipyramidi 7 viisitoista kymmenen 5 x 3 4
2 x 3 5 		D 5h , [5,2]
squamous biclinoid kahdeksan kahdeksantoista 12 4 x 3 4
4 x 3 5 		D2d , [2,2 ]
Kolminkertainen laajennettu kolmioprisma 9 21 neljätoista 3 x 3 4
6 x 3 5 		D 3h , [3,2]
Kierretty pitkänomainen nelikulmainen bipyramidi kymmenen 24 16 2 x 3 4
8 x 3 5 		D4d , [4,2 ]

Ei-tiukasti kuperat tapaukset

On äärettömän monta deltahedraa, joissa on samantasoiset (samassa tasossa) kolmiot. Jos samantasoisten kolmioiden joukot katsotaan yhdeksi pinnaksi, voidaan laskea vähemmän kasvoja, reunoja ja pisteitä. Samantasoiset kolmiopinnat voidaan yhdistää rombisiin, puolisuunnikkaan, kuusikulmaisiin tai muihin tasasivuisiin monikulmioihin. Jokaisen pinnan on oltava kupera polymondi , kuten , , , , , , ja , ... [4]

Muutamia pieniä esimerkkejä

Samantasoinen deltahedra
Kuva Nimi kasvot kylkiluut Huiput Vertex-kokoonpanot Symmetria ryhmä
Extended octahedron
Jatke
1 tetra. + 1.10 		kymmenen viisitoista 7 1 x 3 3
3 x 3 4
3 x 3 5
0 x 3 6 		C 3v , [3]
4 3
 12
Kolmion muotoinen trapetsohedron
Jatke
2 tetra. + 1. lokakuuta 		12 kahdeksantoista kahdeksan 2 x 3 3
0 x 3 4
6 x 3 5
0 x 3 6 		C 3v , [3]
6 12
Jatke
2 tetra. + 1.10 		12 kahdeksantoista kahdeksan 2 x 3 3
1 x 3 4
4 x 3 5
1 x 3 6 		C 2v , [2]
2 2 2

 yksitoista 7
Kolmion muotoinen katkaistu pyramidi
Jatke
3 tetra. + 1.10 		neljätoista 21 9 3 x 3 3
0 x 3 4
3 x 3 5
3 x 3 6 		C 3v , [3]
1 3 1

 9 6
Pitkänomainen oktaedri
Jatke
2 tetra. + 2. lokakuuta 		16 24 kymmenen 0 x 3 3
4 x 3 4
4 x 3 5
2 x 3 6 		D 2h , [2,2]
4 4
 12 6
Tetrahedron
Extension
4 tetra. + 1.10 		16 24 kymmenen 4 x 3 3
0 x 3 4
0 x 3 5
6 x 3 6 		T d , [3,3]
neljä 6 neljä
Jatke
3 tetra. + 2. lokakuuta 		kahdeksantoista 27 yksitoista 1 x 3 3
2 x 3 4
5 x 3 5
3 x 3 6 		D 2h , [2,2]
2 1 2 2


 neljätoista 9
Ikosaedri supistuneella reunalla kahdeksantoista 27 yksitoista 0 x 3 3
2 x 3 4
8 x 3 5
1 x 3 6 		C 2v , [2]
12 2
 22 kymmenen
Bi-typistetty bipyramidi
Jatke
6 tetra. + 2. lokakuuta 		kaksikymmentä kolmekymmentä 12 0 x 3 3
3 x 3 4
6 x 3 5
3 x 3 6 		D 3h , [3,2]
26 _
 viisitoista 9
Kolmikulmainen kupu
Jatke
4 tetra. + 3.10 		22 33 13 0 x 3 3
3 x 3 4
6 x 3 5
4 x 3 6 		C 3v , [3]
3 3 1 1


 viisitoista 9
Kolmion muotoinen bipyramidi
jatke
8 tetra. + 2. lokakuuta 		24 36 neljätoista 2 x 3 3
3 x 3 4
0 x 3 5
9 x 3 6 		D 3h , [3]
6 9 5
Kuusikulmainen antiprisma 24 36 neljätoista 0 x 3 3
0 x 3 4
12 x 3 5
2 x 3 6 		D 6d , [12,2 + ]
12 2
 24 12
Katkaistu tetraedri
Jatke
6 tetraedri. + 4.10 		28 42 16 0 x 3 3
0 x 3 4
12 x 3 5
4 x 3 6 		T d , [3,3]
4 4
 kahdeksantoista 12
Tetrakiskuboctahedron
Octahedron
Extension
8 tetra. + 6. lokakuuta 		32 24 kahdeksantoista 0 x 3 3
12 x 3 4
0 x 3 5
6 x 3 6 		Oi , [ 4,3 ]
kahdeksan 12 6

Ei-kupera deltahedra

Ei -kupereita ja toroidisia deltaedrejä on äärettömän paljon.

Esimerkki deltahedristä, jossa on itsensä leikkaavat kasvot

Muita ei-kupereita deltaedrejä voidaan saada lisäämällä pyramideja kaikkien viiden säännöllisen monitahoisen pintaan:

Triakistetraedri Tetrakishexahedron Triakisoktaedri
( stella octangula ) 		Pentakisdodekaedri Triakisikosaedri
12 kolmiota 24 kolmiota 60 kolmiota

Muut tetraedrin laajennukset:

Esimerkkejä: Lisätty tetrahedra
8 kolmiota 10 kolmiota 12 kolmiota

Myös lisäämällä käänteisiä pyramideja kasvoille:


lovettu dodekaedri
toroidaalinen deltaedri
60 kolmiota 48 kolmiota

Muistiinpanot

  1. ↑ Freudenthal, van der Waerden, 1947 , s. 115-128.
  2. ↑ Kupera deltahedra . Haettu 6. kesäkuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 26. syyskuuta 2020.
  3. ↑ Trigg, 1978 , s. 55–57.
  4. ↑ Kupera deltahedra ja samantasoisten kasvojen salliminen . Haettu 13. lokakuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 19. lokakuuta 2015.

Kirjallisuus