Prisma (geometria)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Useita yhtenäisiä prismoja

Kuusikulmainen prisma

Tyyppi

Tasainen monitahoinen

Ominaisuudet

vertex-transitiivinen
kupera monitahoinen

Kombinatoriikka

Elementit

3 n reunaa
2 n kärkeä

Fasetit

Yhteensä - 2+ n
2 {n}
n {4}

4.4.n

Luokitus

{n}×{} tai t {2, n }

Symmetria ryhmä

D n h , [ n ,2], (* n 22), järjestys 4 n

Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Prisma ( lat. prisma toisesta kreikasta πρίσμα ”jotain irti sahattu”) on monitahoinen , jonka kaksi pintaa ovat yhteneväisiä (samansuuntaisia) monikulmioita , jotka sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa, ja loput pinnat ovat suunnikkaita , joilla on yhteiset sivut näiden monikulmioiden kanssa. Näitä suunnikkapiirroksia kutsutaan prisman sivupinnoiksi , ja jäljellä olevia kahta monikulmiota kutsutaan sen kantaksi .

Pohjalla oleva monikulmio määrittää prisman nimen: kolmio - kolmioprisma , nelikulmio - nelikulmainen; viisikulmio - viisikulmainen ( pentaprisma ) jne.

Prisma on sylinterin erikoistapaus yleisessä merkityksessä (ei-pyöreä).

Prismaelementit

Nimi	Määritelmä	Merkinnät piirustuksessa	Piirustus
Säätiöt	Kaksi pintaa, jotka ovat yhteneviä monikulmioita, jotka sijaitsevat toistensa kanssa yhdensuuntaisissa tasoissa.	$ABCDE$ , $KLMNP$
Sivukasvot	Kaikki kasvot paitsi pohjat. Jokainen sivupinta on väistämättä suunnikas.	$ABLK$ , , , , $BCML$ $CDNM$ $DEPN$ $EAKP$
Sivupinta	Yhdistyvät sivupinnat.
Koko pinta	Pohjien ja sivupinnan liitos.
Lateraaliset kylkiluut	Sivupintojen yhteiset puolet.	$AK$ , , , , $BL$ $CM$ $DN$ $EP$
Korkeus	Jana, joka yhdistää ne tasot, joissa prisman kantat ovat, ja kohtisuorassa näihin tasoihin nähden.	$KR$
Diagonaalinen	Jana, joka yhdistää kaksi prisman kärkeä, jotka eivät kuulu samaan pintaan.	$BP$
Diagonaalinen taso	Taso , joka kulkee prisman sivureunan ja kannan diagonaalin läpi.	$EBP$
Diagonaalinen leikkaus	Prisman ja diagonaalitason leikkauspiste. Leikkaukseen muodostetaan suunnikas, mukaan lukien sen erikoistapaukset - rombi, suorakulmio, neliö.	$EBLP$
Kohtisuora (ortogonaalinen) leikkaus	Prisman ja sen sivureunaan nähden kohtisuorassa olevan tason leikkauspiste.

Prism Properties

Prisman kantat ovat yhtä suuret monikulmiot.
Prisman sivupinnat ovat suuntakuvia.
Prisman sivureunat ovat yhdensuuntaiset ja tasaiset.
Prisman tilavuus on yhtä suuri kuin sen korkeuden ja pohjan pinta-alan tulo:

V=S\cdot h

Säännöllisen n -kulmaisen kantavan prisman tilavuus on

V={\frac {n}{4}}hs^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}

(tässä s on polygonin sivun pituus).

Prisman kokonaispinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivupinta-alan ja kaksinkertaisen peruspinta-alan summa.
Mielivaltaisen prisman sivupinnan pinta-ala , jossa on kohtisuoran leikkauksen ympärysmitta , on sivureunan pituus. $S=P\cdot l$ $P$ $l$
Suoran prisman sivupinnan pinta-ala , jossa on prisman pohjan ympärysmitta, on prisman korkeus. $S=P\cdot h$ $P$ $h$
Suoran prisman, jolla on säännöllinen n -kulmainen kanta, sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri

A={\frac {n}{2}}s^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}+nsh.

Pystysuora leikkaus on kohtisuorassa kaikkiin prisman sivureunoihin nähden.
Pystysuoran leikkauksen kulmat ovat dihedraalisten kulmien lineaariset kulmat vastaavissa sivureunoissa.
Pystysuora leikkaus on kohtisuorassa kaikkiin sivupintoihin nähden.
Suoran prisman kaksoispolyhedri on bipyramidi .

Prismatyypit

Prismaa, jonka kanta on suuntaissärmiö , kutsutaan suuntaissärmiöksi .

Suora prisma on prisma, jonka sivureunat ovat kohtisuorassa kannan tasoon nähden, mikä tarkoittaa, että kaikki sivupinnat ovat suorakulmioita [1] .

Suorakaiteen muotoista prismaa kutsutaan myös kuutioiksi . Tällaisen prisman Schläfli-symboli on { }×{ }×{ }.

Säännöllinen prisma on suora prisma, jonka kanta on säännöllinen monikulmio . Säännöllisen prisman sivupinnat ovat yhtä suuret suorakulmiot .

Säännöllinen prisma, jonka sivupinnat ovat neliöitä (jonka korkeus on yhtä suuri kuin pohjan sivu), on puolisäännöllinen monitahoinen . Tällaisen prisman Schläfli-symboli on t{2,p}. Suorat prismat, joilla on säännöllinen kanta ja samat reunanpituudet, muodostavat toisen kahdesta äärettömästä puolisäännöllisten monitahojen sekvenssistä ( antiprismat muodostavat toisen sekvenssin ).

Kaltevia prismoja kutsutaan prismoiksi, joiden reunat eivät ole kohtisuorassa pohjan tasoon nähden.

Katkaistu prisma on monitahoinen, jonka prismasta katkaisee taso, joka ei ole yhdensuuntainen kannan kanssa [2] . Katkaistu prisma ei ole itse prisma.

Schlegel-kaaviot

kolmion muotoinen prisma	4-kulmainen prisma	5-kulmainen prisma	kuusikulmainen prisma	7-kulmainen prisma	kahdeksankulmainen prisma

Symmetria

Suorakulmaisen n -kulmaisen prisman, jolla on säännöllinen kanta, symmetriaryhmä on luokkaa 4 n oleva ryhmä D n h lukuun ottamatta kuutiota , jonka symmetriaryhmä O h on kertaluokkaa 48 ja sisältää kolme versiota D 4h :sta. alaryhminä . _ Kiertoryhmä on D n luokkaa 2 n , paitsi jos kyseessä on kuutio, jonka rotaatioryhmä on O luokkaa 24, jossa on kolme versiota D 4 :stä alaryhminä.

Symmetriaryhmä D n h sisältää keskussymmetrian silloin ja vain, jos n on parillinen.

Yleistykset

Prismaattinen polyhedra

Prismaattinen monitahoinen on prisman yleistys 4-ulottuvuuden ja sitä suuremmissa tiloissa. N - ulotteinen prismaattinen monitahoinen rakennetaan kahdesta ( n − 1 ) -ulotteisesta monitahoisesta, joka on siirretty seuraavaan ulottuvuuteen.

Prismaattisen n -ulotteisen polytoopin elementit kaksinkertaistetaan ( n − 1 ) -ulotteisen polytoopin alkioista, minkä jälkeen luodaan uusia seuraavan tason elementtejä.

Otetaan n - ulotteinen monitahoinen elementtejä ( i -dimensional face , i = 0, …, n ). Prismaattisessa ( )-ulotteisessa polyhedronissa on dimensio i elementtejä (for , ). $f_{i}$ $n+1$ ${\displaystyle 2f_{i}+f_{-1))$ $f_{-1}=0$ $f_{n}=1$

Mittojen mukaan:

Otetaan monikulmio , jossa on n kärkeä ja n sivua. Saamme prisman, jossa on 2 n kärkeä, 3 n reunaa ja pintaa. $2+n$
Otetaan monitahoinen v - pisteet, e - reunat ja f - pinnat. Saamme (4-ulotteisen) prisman, jossa on 2 v :n kärkipisteet, reunat, pinnat ja solut. $2e+v$ $2f+e$ $2+f$
Otetaan 4-ulotteinen monitahoinen v - pisteet, e - reunat, f - pinnat ja c - solut. Saamme (5-ulotteisen) prisman, jossa on 2 v pistettä, reunat, (2-ulotteiset) pinnat, solut ja hypersolut. $2e+v$ $2f+e$ $2c+f$ $2+c$

Tasainen prismaattinen polyhedra

Säännöllinen n - polytooppi, jota edustaa Schläfli-symboli { p , q , ..., t }, voi muodostaa yhtenäisen prismaattisen polytoopin, jonka ulottuvuus ( n +1 ) on kahden Schläfli-symbolin suora tulo : { p , q ,. .., t } ×{}.

Mittojen mukaan:

Prisma 0-ulotteisesta monitahoisesta on jana , jota edustaa tyhjä Schläfli-symboli {}.
Yksiulotteisen monitahoisen prisma on suorakulmio , joka on saatu kahdesta segmentistä. Tämä prisma esitetään Schläfli-symbolien tulona {}×{}. Jos prisma on neliö , merkintä voidaan lyhentää: {}×{} = {4}.
- Esimerkki: Neliö, {}×{}, kaksi rinnakkaista segmenttiä, jotka on yhdistetty kahdella muulla segmentillä, sivut .
Monikulmioprisma on kolmiulotteinen prisma, joka koostuu kahdesta monikulmiosta (toinen saadaan toisen rinnakkaisella siirrolla), jotka on yhdistetty suorakulmioilla. Säännöllisestä monikulmiosta { p } saadaan homogeeninen n -kulmainen prisma, jota edustaa tulo { p }×{}. Jos p = 4 , prismasta tulee kuutio : {4}×{} = {4, 3}.
- Esimerkki: Viisikulmainen prisma , {5}×{}, kaksi yhdensuuntaista viisikulmiota , jotka on yhdistetty viidellä suorakulmaisella sivulla .
4-ulotteinen prisma, joka on saatu kahdesta polyhedrasta (toinen on saatu toisen rinnakkaisella translaatiolla), jossa yhdistyvät 3-ulotteiset prismaattiset solut. Säännöllisestä monitahoisesta { p , q } voidaan saada homogeeninen 4-ulotteinen prisma, jota edustaa tulo { p , q }×{}. Jos monitahoinen on kuutio ja prisman sivut ovat myös kuutioita, prismasta tulee tesserakti : {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
- Esimerkki: dodekaedriprisma , {5, 3}×{}, kaksi yhdensuuntaista dodekaedria , joita yhdistää 12 viisikulmaista prismaa ( sivut ).
…

Korkeampiulotteiset prismaattiset polyhedrat ovat olemassa myös minkä tahansa kahden polyhedran suorina tuloina. Prismaattisen monitahoisen mitta on yhtä suuri kuin tuotteen elementtien mittojen tulo. Ensimmäinen esimerkki tällaisesta tuotteesta on olemassa 4-ulotteisessa avaruudessa ja sitä kutsutaan duoprismoiksi , jotka saadaan kertomalla kaksi monikulmiota. Säännölliset duoprismat esitetään symbolilla { p } × { q }.

Tavallisten prismien perhe

Kokoonpano	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	17.4.4	∞.4.4
Monikulmio
Mosaiikki

Kierretty prisma ja antiprisma

Kierretty prisma on ei-kupera prismaattinen monitahoinen, joka saadaan tasaisesta q -gonaalista jakamalla sivupinnat diagonaalilla ja kiertämällä yläpohjaa, yleensä radiaanien ( asteen) kulmassa, suuntaan, jossa sivut kovertuvat [3] [4] . ${\frac {\pi }{q}}$ ${\frac {180}{q))$

Kierrettyä prismaa ei voi hajottaa tetraedriksi ilman uusia pisteitä. Yksinkertaisin esimerkki kolmiomaisista kannaksista on nimeltään Schoenhardt-polyhedron .

Kierretty prisma on topologisesti identtinen antiprisman kanssa, mutta sillä on puolet symmetrioista : D n , [ n ,2] + , luokkaa 2 n . Tätä prismaa voidaan pitää kuperana antiprismana, jossa tetraedrit on poistettu kolmiopparien välistä.

kolmion muotoinen	nelikulmainen		12-puolinen
Schoenhardtin monitaho	Kierretty neliömäinen antiprisma	Neliönmuotoinen antiprisma	Kierretty kaksikulmainen antiprisma

Aiheeseen liittyvät polyhedrat ja laatoitukset

Tavallisten prismien perhe

Kokoonpano	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	17.4.4	∞.4.4
Monikulmio
Mosaiikki

Kuperia kupoliperhe

n	2	3	neljä	5	6
Nimi	{2} \|\| t{2}	{3} \|\| t{3}	{4} \|\| t{4}	{5} \|\| t{5}	{6} \|\| t{6}
Kupoli	Diagonaalinen kupoli	Kolmikulmainen kupoli	Nelikulmainen kupoli	viiden rinteen kupoli	Kuusikulmainen kupoli (tasainen)
Aiheeseen liittyvä yhtenäinen polyhedra	Kolmisivuinen prisma	Cuboctahedron	Rombicubo- oktaedri	Rhombicos dodekaedri	Rombotry - kuusikulmainen mosaiikki

Symmetriat

Prismat ovat topologisesti osa yhtenäisten katkaistujen monitahojen sekvenssiä, jossa on kärkikonfiguraatiot ( 3.2n.2n ) ja [n,3].

Symmetriavaihtoehdot * n 32 katkaistua laatoitusta: 3,2 n .2 n
Symmetria * n 32 [n,3]	pallomainen				Euklidinen	Kompakti hyperbolinen.		Parakompakti _	Ei-kompakti hyperbolinen.
Symmetria * n 32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Katkaistut luvut
Kokoonpano	3.4.4	3.6.6	3.8.8	3.10.10	3.12.12	3.14.14	3.16.16	3.∞.∞	3.24i.24i	3.18i.18i	3.12i.12i
Jaetut luvut
Kokoonpano	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

Prismat ovat topologisesti osa vinojen monitahojen sarjaa, jossa on kärkikuvioita (3.4.n.4) ja laatoitus hyperbolisessa tasossa . Näillä vertex-transitiivisilla kuvioilla on (*n32) peilisymmetria [ .

Symmetriavaihtoehdot * n 42 laajennettua laatoitusta: 3.4. n.4 _
Symmetria * n 32 [n,3]	pallomainen				Euklidinen	Kompakti hyperbolinen		Parakompakti
Symmetria * n 32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Kuva
Kokoonpano	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

Yhdistelmäpolyhedra

Kolmiomaisia prismoja on 4 yhtenäistä yhdistettä:

Neljän kolmioprisman kytkentä , kahdeksan kolmioprisman kytkentä , kymmenen kolmioprisman kytkentä , kahdentoista kolmioprisman kytkentä . Honeycombs

On 9 yhtenäistä hunajakennoa , mukaan lukien solut kolmiomaisten prismien muodossa:

gyro-pidennetyt vuorottelevat kuutioiset kennot ,
pitkänomaiset vuorottelevat kuutioiset kennot ,
pyörivät kolmion muotoiset prismaattiset hunajakennot ,
snub square prismatic honeycomb ,
kolmion muotoiset prismaattiset hunajakennot ,
kolmio-kuusikulmaiset prismaattiset hunajakennot ,
katkaistut kuusikulmainen prismaattiset hunajakennot ,
rombotriheksagonaalinen prismaattinen hunajakenno ,
snub kuusikulmainen prismaattinen hunajakennoja ,
pitkänomaiset kolmionmuotoiset prismakennot .

Aiheeseen liittyvät polytoopit

Kolmioprisma on ensimmäinen monitahoinen puolisäännöllisten monitahojen sarjassa . Jokainen seuraava yhtenäinen monitahoinen sisältää edellisen monitahoisen kärkikuviona . Thorold Gosset tunnisti tämän sarjan vuonna 1900 sisältävän säännöllisen moniulotteisen monitahoisen kaikki puolet , kaikki yksinkertaisuudet ja ortopleksit ( säännölliset kolmiot ja neliöt kolmiomaisten prismien tapauksessa). Coxeterin merkinnöissä kolmioprisma annetaan symbolilla −1 21 .

k 21 avaruudessa, jonka ulottuvuus on n
Avaruus	lopullinen						Euklidinen	hyperbolinen
E n	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen
Coxeter- ryhmä	E3 = A2A1	E4 = A4	E5 = D5	E₆	E₇	E₈	E₉ = Ẽ₈ = E₈ +	E10 = T8 = E8 ++
Coxeterin kaavio
Symmetria	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Tilaus	12	120	192	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
Kaavio							-	-
Nimitys	−1 21	0 21	1 21	221 [ fi	3 21	4 21	5 21	6 21

Neliulotteinen avaruus

Kolmioprisma toimii soluna 4-ulotteisen yhtenäisen 4-ulotteisen monitahoisen joukossa , mukaan lukien:

tetraedrinen prisma	oktaedrinen prisma	cuboctahedral prisma	ikosaedrinen prisma	ikosidodekaedriprisma	katkaistu dodekaedrinen prisma

rombikosi- dodekaedrinen prisma	rombikuutio - oktaederinen prisma	katkaistu kuutioprisma	snub dodecahedral prism	n-kulmainen prismaattinen prisma

viistetty 5-kennoinen	viistosti katkaistu 5-soluinen	höylätty 5-kennoinen	aurattu 5-kennoinen	viisto tesserakti	viisto-typistetty tesserakti	höylätty tesserakti	plow-typistetty tesserakti

viisto 24-kennoinen	viistosti katkaistu 24-soluinen	höylätty 24-kennoinen	aurattu 24-kennoinen	viisto 120-kennoinen	viisto-katkaistu 120-soluinen	höylätty 120-kennoinen	aurattu 120-kennoinen

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Kern, Bland, 1938 , s. 28.
↑ Katkaistu prisma // Suuri Neuvostoliiton Encyclopedia : [30 nidettä] / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.
↑ Gorini, 2003 , s. 172.
↑ Piirustukset kierretyistä prismoista . Haettu 28. tammikuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 29. tammikuuta 2019. (määrätön)

Kirjallisuus

William F. Kern, James R. Bland. Kiinteä mittaus todisteilla . – 1938.
Catherine A. Gorini. Arkistossa olevat tiedot: Geometrian käsikirja. - New York: Infobase Publishing, 2003. - (Tiedostossa olevat tiedot). - ISBN 0-8160-4875-4 .
Anthony Pugh. Luku 2: Archimedean polyhedra, prisma ja antiprismat // Polyhedra: Visuaalinen lähestymistapa. - Kalifornia: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Prism (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
George Olshevsky . " Prismaattinen polytooppi ". Hyperavaruuden sanasto.
Ei-kuperat prismat ja antiprismat (downlink alkaen 12-03-2018 [1696 päivää])
Pinta-alan MATHopas
Volume MATHguide
Prismojen ja antiprismien paperimallit
Prismien ja antiprismien paperimallit Stella [ .
Stella: Polyhedron Navigator : Ohjelmat tällä sivulla esitettyjen 3D- ja 4D-kuvien luomiseen.

Polyhedra

oikea

Kolmiulotteinen (platoniset kiinteät aineet)	säännöllinen tetraedri Kuutio Oktaedri Dodekaedri ikosaedri
4D	Viisisoluinen tesserakti Heksadesimaalinen solu kaksikymmentäneljä solua 120 solua Kuusisataa solua
Suurempi koko (merkitty suluissa)	Tavallinen simpleksi Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaedri

Säännöllinen
ei-kupera

Kolmiulotteinen
kasvojen lukumäärän mukaan (merkitty suluissa)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraedri (4)
Pentaedri (5)
Heksaedri (6)
Heptahedron (7)
Oktaedri (8)
Enneaedri (9)
Dekaedri (10)
Endekaedri (11)
Dodekaedri (12)
Tridekaedri (13)
Tetradekaedri (14)
Pentadekaedri (15)
Heksadekaedri (16)
Heptadekaedri (17)
Oktadekaedri (18)
Enneadekaedri (19)
Ikosaedri (20)
Ikosotetraedri (24)
Triakontaedri (30)
Heksakontaedri (60)
Enneakontaedri (90)
Hektotriadioedri (132)
Apeiroedri (∞)

kupera

Archimedean kiinteät aineet

Katalonian ruumiit

Prismat
Kolmisivuinen prisma nelikulmainen prisma Viisikulmainen prisma Kuusikulmainen prisma Seitsenkulmainen prisma Kahdeksankulmainen prisma Yhdeksänkulmainen prisma Dekagonaalinen prisma 11-kulmainen prisma Kaksikulmainen prisma

Johnson polyhedra

Kaavat ,
lauseet ,
teoriat

muu