Katkaisu (geometria)

Katkaistu neliö on säännöllinen kahdeksankulmio: t{4} = {8} =

Katkaistu kuutio t{4,3} tai

Katkaistu kuutiokenno t{4,3,4} tai

Katkaisu  on operaatio minkä tahansa ulottuvuuden avaruudessa, joka katkaisee monitahoisen kärjet ja jossa muodostetaan uudet pinnat niiden tilalle. Termi on peräisin Keplerin antamista arkhimedealaisten kiinteiden aineiden nimistä .

Yhtenäinen leikkaus

Yleisesti ottaen mikä tahansa polytooppi voidaan katkaista jossain määrin vapaasti katkaisun syvyyden valinnassa, kuten artikkelissa Conway's Notation for Polytopes näkyy .

Yleisesti käytetty katkaisutyyppi on tasainen katkaisu , jossa katkaisuoperaatiota sovelletaan säännölliseen monitahoiseen ja tuloksena on tasainen monitahoinen , jolla on yhtä pitkät reunat. Tässä tapauksessa valinnanvapautta ei ole, ja tuloksena saadaan hyvin määritellyt geometriset kappaleet, jotka ovat samanlaisia ​​​​kuin säännöllinen polyhedra.

Yleisessä tapauksessa kaikilla yhtenäisillä polyhedrillä, joissa on yksi ääriviivattu solmu (Coxeter-Dynkin-kaaviossa), on tasainen katkaisu. Esimerkiksi ikosidodekaedri , jota edustavat Schläfli-symbolit r{5,3} tai ja jolla on Coxeter-Dynkin-kaaviot tai, on tasainen katkaisu – rombinen katkaistu ikosidodekaedri , jonka merkinnät ovat tr{5,3} tai ,. Coxeter - Dynkin-kaaviossa katkaisuvaikutus ilmenee siinä, että ympyrät näkyvät kaikissa ympyröidyn vieressä olevissa solmuissa.

Monikulmioiden katkaisu

Katkaistulla n-sivuisella polygonilla on 2n sivua. Tasaisesti katkaistu säännöllinen monikulmio muuttuu toiseksi säännölliseksi monikulmioksi: t{n} = {2n}. Täysi katkaisu , r{3}, on toinen säännöllinen monikulmio, joka on kaksinkertainen alkuperäiseen monikulmioon.

Säännölliset polygonit voidaan esittää myös Coxeter-Dynkin-kaaviolla ,, ja sen yhtenäisellä katkaisulla on kaavio, ja sen täydellinen katkaisu on kaavio. Kaavioedustaa Coxeter-ryhmää I 2 (n), jossa jokainen solmu on peili ja jokainen reuna edustaa peilien välistä kulmaa π/ n , kun taas yhden tai kahden peilin ympärillä olevat ympyrät osoittavat, kumpi niistä on aktiivinen.

{3}

t{3} = {6}

r{3} = {3}

Tähtipolygonit voidaan myös katkaista. Katkaistu viisikulmio {5/2} näyttää viisikulmiolta , mutta itse asiassa se on kaksinkertaisesti peitetty (degeneroitunut) kymmenkulmio ({10/2}), jossa on kaksi sarjaa päällekkäisiä pisteitä ja sivuja. Katkaistu suuri heptagrammi (seitsenkulmainen tähti) {7/3} antaa neljätoistasakaraisen tähden {14/3}.

Säännöllisten polytooppien ja tessellaatioiden yhtenäinen katkaisu

Kun on kyse säännöllisten monikulmioiden katkaisusta tai säännöllisten polygonien laatoituksista , käytetään yleensä "yhtenäistä katkaisua", mikä tarkoittaa katkaisua siihen pisteeseen, jossa alkuperäiset pinnat muuttuvat säännöllisiksi monikulmioiksi, joissa on kaksi kertaa enemmän sivuja.

Kuvan sekvenssi esittää esimerkin kuution katkaisemisesta, joka näyttää neljä vaihetta jatkuvasta katkaisuprosessista täydestä kuutiosta täyteen katkaisukuutioon . Lopullinen kappale on kuutioktaedri .

Keskimmäinen kuva on yhtenäinen katkaistu kuutio . Sitä edustaa Schläfli-symboli t { p , q ,…}.

Syvä katkaisu  on voimakkaampi katkaisu, joka poistaa kaikki alkuperäiset reunat, mutta jättää alkuperäisten pintojen sisäpuolelle. Esimerkiksikatkaistu oktaedrion syvästi katkaistu kuutio: 2t{4,3}.

Täysin syvää katkaisua kutsutaan birektifikaatioksi ja se vähentää alkuperäiset pinnat pisteisiin. Tässä tapauksessa polyhedron muuttuu kaksoispolyhedroniksi . Esimerkiksi oktaedri on kuution täydellinen syvä typistys : {3,4} = 2r{4,3}.

Toinen katkaisutyyppi on monipuolinen katkaisu , joka katkaisee reunat ja kärjet, jolloin tuloksena on suorakulmiot reunojen sijaan.

Korkeammissa mitoissa polyhedrailla on muita katkaisutasoja - ranking , joissa pinnat, reunat ja kärjet leikataan pois. Yli 5-mitoissa on sterilointi , joka leikkaa pois pinnat, reunat ja kärjet sekä kolmiulotteiset pinnat.

Reunan katkaisu

Reunojen katkaisu  on monitahoisen katkaisua , kuten monitahoisen katkaisun tapauksessa, mutta kärjet säilyvät ja reunat korvataan kuusikulmioilla. 4-ulotteisessa monitahoisessa reunat korvataan pitkänomaisilla bipyramideilla .

Vuorottelut tai osittaiset katkaisut

Vuorottelu tai osittainen katkaisu poistaa vain osan alkuperäisistä pisteistä.

Osittaisella katkaisulla tai vuorottelulla puolet kärkeistä ja reunoista poistetaan kokonaan. Operaatio soveltuu monitahoisille, joiden pinnoilla on parillinen määrä sivuja. Kasvot leikkaavat sivujen lukumäärän puoliksi, ja neliömäiset pinnat menevät reunojen yli. Esimerkiksi tetraedri on muunnelma kuutiosta h{4,3}.

Poikkeus  - yleisempi termi, jota käytetään termille Johnson polyhedra , sisältää yhden tai useamman kärjen, reunan tai pinnan poistamisen vaikuttamatta muihin pisteisiin. Esimerkiksi kolminkertainen ikosaedri saadaan tavallisesta ikosaedrista poistamalla kolme kärkeä.

Muut osittaiset katkaisut perustuvat symmetriaan. Esimerkiksi tetraedrisesti pelkistetty dodekaedri .

Yleistetyt katkaisut

Lineaarinen katkaisuprosessi voidaan yleistää antamalla katkaisuparametrin olla negatiivinen tai sallimalla sen kulkea reunan keskipisteen läpi, mikä johtaa itsensä leikkaaviin tähtipolytooppeihin. Tällaisia ​​monitahoja voidaan yhdistää joihinkin säännöllisiin tähtipolygoneihin ja yhtenäiseen tähtipolyedriin .

• Pieni katkaisu  - reunojen koko pienenee, pinnat kaksinkertaistuvat sivujen lukumäärään, uudet pinnat muodostetaan entisten kärkien tilalle.
• Tasainen katkaisu  on erikoistapaus, jossa kaikki tuloksena olevat reunat ovat saman pituisia. Katkaistussa kuutiossa t{4,3} neliön pinnat muutetaan kahdeksankulmioiksi ja muodostuu kolmioita kärkien sijasta.
• Antitruncation on matalan katkaisun vastakohta . Tuloksena on monitahoinen, joka on samanlainen kuin alkuperäinen, mutta jonka kulmissa roikkuu osat kulmien leikkaamisen sijaan.
• Täysi katkaisu  - rajoittaa matalaa katkaisua, jossa reunat leikataan pisteisiin. Esimerkki on Cuboctahedron , r{4,3}.
• Hypertruncation on eräänlainen katkaisu, joka ylittää täyden katkaisun kääntämällä alkuperäiset reunat päinvastaiseksi, mikä johtaa itseleikkauksiin.
• Kvasi -typistäminen on eräänlainen katkaisu, joka ylittää hypertruncationin, jolloin käänteiset reunat ovat pidempiä kuin alkuperäiset. Tämä katkaisu voidaan saada alkuperäisestä monitahoisesta vetäytymällä reunoista, eli liikkumalla vastakkaiseen suuntaan kärjestä. Esimerkiksi neliön näennäistypistäminen antaa säännöllisen oktagrammin (t{4,3}={8/3}), ja kuution kvasitypistäminen antaa tasaisen tähtituneen katkaistun heksaedrin , t{4/3 ,3}.

Katso myös

• Tasainen monitahoinen
• Tasainen neliulotteinen monitahoinen
• Kaksinkertainen katkaisu (geometria)
• täysi katkaisu
• Vuorottelu (geometria)
• Conway-merkintä polyhedralle

Muistiinpanot

Kirjallisuus

• HS M Coxeter . Luku 8: Transkaatio //Tavalliset polytoopit . – 3. painos. - New York: Dover Publications Inc, 1973. - P.  145-154 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• Norman Johnson . Yhtenäiset polytoopit. Käsikirjoitus, 1991.
• Norman Johnson . Yhdenmukaisten polytooppien ja hunajakennojen teoria. — Toronton yliopisto: Ph.D. Väitöskirja, 1966.

Linkit

• Weisstein, Eric W. Truncation  (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
• Hyperavaruuden sanasto
• Polyhedra Nimet, katkaisu

Säätiö	katkaisu	täysi katkaisu	Syvä katkaisu	Kaksinaisuus _	venyttely	Katkaisu	Vaihtoehto
t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p, q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p,q} rr{p, q}	t 012 {p,q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}