Venytys (geometria)
Venyttely on operaatio monitahoisella (missä tahansa ulottuvuudessa, ei vain kolmiulotteisessa avaruudessa), jossa fasetit erotetaan ja siirretään säteittäisesti keskeltä, muodostetaan uusia fasetteja erotetuille elementeille (pisteet, reunat jne. .). Nämä samat toiminnot voidaan ymmärtää operaatioiksi, jotka pitävät fasetit paikoillaan, mutta pienentävät niiden kokoa.
Polytooppi ymmärretään moniulotteiseksi monitahoiseksi, ja artikkelissa näitä käsitteitä käytetään edelleen synonyymeinä (sana "moniulotteinen" voidaan jättää pois, jos se oletetaan merkityksen perusteella) [1] .
Säännöllisen moniulotteisen polytoopin venyttäminen tuottaa yhtenäisen polytoopin , mutta operaatiota voidaan soveltaa mihin tahansa kuperaan polytooppiin , kuten artikkelissa " Conway's Notation for Polytopes " on osoitettu polytooppien osalta. 3D-polytooppien tapauksessa venytetyssä polytooppissa on kaikki alkuperäisen polytoopin pinnat, kaikki kaksoispolytoopin pinnat ja neliön lisäpinnat alkuperäisten reunojen tilalla.
Tavallisten polytooppien venyttäminen
Coxeterin mukaan Alicia Buhl Stott [2] määritteli tämän termin suuriulotteisille kiintoaineille luodakseen uusia korkeaulotteisia monitahoja. Tarkemmin sanottuna yhtenäisten moniulotteisten polyhedrien luominen säännöllisistä moniulotteisista monitahoista .
Venytysoperaatio on symmetrinen tavallisille polytoopeille ja niiden kaksoispolyhedraille . Tuloksena oleva kappale sisältää sekä säännöllisen polyhedronin että sen kaksoispolyhedronin fasetit sekä lisäprismaattisia puolia, jotka täyttävät alemman ulottuvuuden elementtien välisen tilan .
Stretchillä on jossain määrin eri merkitys eri mitoille . Wytoffin rakenteessa venytys syntyy heijastuksen avulla ensimmäisestä ja viimeisestä peilistä. Korkeammissa ulottuvuuksissa venytys voidaan kirjoittaa (ala)indeksillä, joten e 2 on sama kuin t 0,2 missä tahansa ulottuvuudessa.
Huomautus : Venäjänkielisessä kirjallisuudessa polyhedra-operaatioiden nimet eivät ole vakiintuneet, joten englanninkieliset nimet käännöksineen on annettu alla .
Mittojen mukaan:
- Säännöllinen polygoni {p} laajenee säännölliseksi 2p-kulmioksi.
- Monikulmioiden kohdalla operaatio on identtinen katkaisuoperaation kanssa, e{p} = e 1 {p} = t 0,1 {p} = t{p} ja siinä on Coxeter-Dynkin-kaavio
.
- Monikulmioiden kohdalla operaatio on identtinen katkaisuoperaation kanssa, e{p} = e 1 {p} = t 0,1 {p} = t{p} ja siinä on Coxeter-Dynkin-kaavio
- Säännöllinen {p,q} polytooppi (3-ulotteinen polytooppi) laajenee polytooppiksi, jonka kärkikuvio on p.4.q.4 .
- Monitahoille tätä operaatiota kutsutaan "kantellaation" , e{p,q} = e 2 {p,q} = t 0.2 {p,q} = rr{p,q}, ja operaatiolla on Coxeterin kaavio.
.
Esimerkiksi rombikubotaedria voidaan kutsua laajentuneeksi kuutioksi , laajentuneeksi oktaedriksi sekä vinokuutioksi tai vinooktaedriksi .
- Monitahoille tätä operaatiota kutsutaan "kantellaation" , e{p,q} = e 2 {p,q} = t 0.2 {p,q} = rr{p,q}, ja operaatiolla on Coxeterin kaavio.
- Säännöllinen {p,q,r} 4D-polytooppi (4-polytooppi) venytetään uudeksi 4D-polytooppiksi samoilla {p,q} soluilla, uudet solut {r,q} muodostetaan vanhojen kärkien tilalle, p -kulmaprismat muodostetaan vanhojen (2-ulotteisten) pintojen tilalle ja r-gonaaliset prismat vanhojen reunojen tilalle.
- 4-ulotteisten polyhedrien kohdalla tätä operaatiota kutsutaan "ajoksi" (höyläys), e{p,q,r} = e 3 {p,q,r} = t 0,3 {p,q,r} ja operaatiossa on Coxeter-kaavio
.
- 4-ulotteisten polyhedrien kohdalla tätä operaatiota kutsutaan "ajoksi" (höyläys), e{p,q,r} = e 3 {p,q,r} = t 0,3 {p,q,r} ja operaatiossa on Coxeter-kaavio
- Samalla tavalla säännöllinen {p,q,r,s} 5D -polytooppi laajennetaan uudeksi 5D-polytooppiksi, jossa on fasetit {p,q,r}, {s,r,q}, prismat {p,q}× { }, prismat {s,r}×{ } ja duoprismat {p} × {s}.
- Operaatiota kutsutaan "steroimiseksi" (leikkaus), e{p,q,r,s} = e 4 {p,q,r,s} = t 0.4 {p,q,r,s} = 2r2r {p,q,r,s} ja operaatiolla on Coxeter-kaavio
.
- Operaatiota kutsutaan "steroimiseksi" (leikkaus), e{p,q,r,s} = e 4 {p,q,r,s} = t 0.4 {p,q,r,s} = 2r2r {p,q,r,s} ja operaatiolla on Coxeter-kaavio
Säännöllisen n-ulotteisen monitahoisen venytyksen yleinen operaatio on t 0,n-1 {p,q,r,...}. Uudet säännölliset fasetit lisätään jokaisen kärjen tilalle, ja uusia prismaattisia polytooppeja lisätään jokaiselle jaetulle reunalle, (2D) pinnalle jne.
Katso myös
Muistiinpanot
- ↑ Venäjänkielisessä kirjallisuudessa säännölliset polytoopit (dimensio > 3 polytoopit) ja polyhedrat ymmärretään yleensä kuperiksi kappaleiksi, englanninkielisessä kirjallisuudessa stellatut säännölliset polyhedrat ovat myös säännöllisiä polytooppeja (polytooppeja)
- ↑ Coxeter, 1973 , s. 123.210.
Kirjallisuus
- HSM Coxeter . Tavallisia polytooppeja. - kolmas painos. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 ..Ensimmäinen painos: Methuen & Co. Ltd., Lontoo, 1948
- Weisstein, Eric W. Expansion (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
- Norman Johnson. Yhtenäiset polytoopit. - 1991. - (käsikirjoitus).
- NW Johnson. Yhdenmukaisten polytooppien ja hunajakennojen teoria. — Ph.D. Toronton yliopisto, 1966. - (Ph.D. Dissertation).
| Säätiö | katkaisu | täysi katkaisu | Syvä katkaisu | Kaksinaisuus _ |
venyttely | Katkaisu | Vaihtoehto | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
    
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| t 0 {p, q} {p, q} |
t 01 {p,q} t{p, q} |
t 1 {p, q} r{p, q} |
t 12 {p,q} 2t{p, q} |
t 2 {p, q} 2r{p, q} |
t 02 {p,q} rr{p, q} |
t 012 {p,q} tr{p, q} |
ht 0 {p,q} h{q, p} |
ht 12 {p,q} s{q, p} |
ht 012 {p,q} sr{p, q} |