Wythoffin rakentaminen

Wytoffin konstruktio , tai Wythofin konstruktio [1]  on menetelmä yhtenäisten monitahojen tai laatoitusten rakentamiseksi tasoon. Menetelmä on nimetty matemaatikon W. A. ​​​​Wiethoffin . Wytoffin rakennusmenetelmää kutsutaan usein kaleidoskooppirakentamiseksi .

Rakentaminen

Rakenne perustuu ajatukseen laatoittaa pallo pallomaisilla kolmioilla -  katso Schwartzin kolmiot . Tämä rakenne käyttää heijastuksia kolmion sivuilta, kuten kaleidoskooppi . Toisin kuin kaleidoskooppi, heijastukset eivät kuitenkaan ole yhdensuuntaisia, vaan leikkaavat yhdessä pisteessä. Useat heijastukset muodostavat useita kopioita kolmiosta. Jos pallomaisen kolmion kulmat on valittu oikein, kolmiot laatoittavat pallon yhden tai useamman kerran.

Asettamalla piste sopivaan paikkaan peilien ympäröimän pallomaisen kolmion sisään, voidaan saavuttaa, että tämän pisteen heijastukset muodostavat yhtenäisen monitahoisen. Pallomaisessa kolmiossa ABC on neljä paikkaa, jotka antavat yhtenäisen monitahoisen:

1. Piste sijaitsee kärjessä A. Se antaa monitahoisen Wythoff-symbolin a | b  c , jossa a on yhtä kuin π jaettuna kolmion kulmalla kärjessä A . Vastaavasti b :lle ja c :lle .
2. Piste sijaitsee janalla AB kulman puolittajan pohjalla kärjessä C . Se antaa monitahoisen Wythoff-symbolin a  b | c .
3. Piste sijaitsee kolmion ABC keskipisteessä . Se antaa monitahoisen Wythoff-symbolin a  b  c |.
4. Piste sijoittuu siten, että kun se pyörii kolmion kärkipisteiden ympäri näissä pisteissä kaksinkertaisen kulman verran, se liikkuu saman matkan. Vain tasaisia ​​heijastuksia käytetään. Monitahoisessa on Wythoff-symboli | a  b  c .

Prosessi soveltuu yleisesti säännöllisten polytooppien saamiseksi suurempien tiloihin, mukaan lukien 4-ulotteiset homogeeniset polytoopit .

Ei-Wiethoff-rakennus

Tasaisia ​​polyhedraja , joita ei voida rakentaa Wytoffin peilirakenteella, kutsutaan ei-Wythoff-polyhediksi. Ne voidaan yleensä saada Wythoff-konstruktioista joko vuorottelemalla (poistamalla kärjet yhden kautta) tai lisäämällä vuorottelevia rivejä joitain kuvioita. Molemmilla tällaisilla hahmoilla on pyörimissymmetria. Leikkauksia pidetään joskus ilman, vaikka ne voidaan saada vuorotellen katkaisulukuja kaikilta puolilta.

Katso myös

• Wythoff-symboli  on symboli Wytoffin yhtenäisten polyhedrien ja yhtenäisten tessellaatioiden rakenteelle .
• Coxeter-Dynkin-kaaviot  ovat yleinen symboli Wytoffin rakenteelle yhtenäisistä polyhedraista ja hunajakennoista.

Muistiinpanot

1. ↑ Vesnin, 2017 .

Kirjallisuus

• HSM Coxeter. Luku 5: Kaleidoskooppi, Osio: 5.7 Wythofin rakennus // Tavalliset polytoopit . - Dover-painos, 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• Coxeter . Luku 3: Wytoffin rakentaminen yhtenäisille polytoopeille // Geometrian kauneus: Kaksitoista esseetä . - Dover Publications, 1999. - ISBN 978-0-486-40919-1 .
• Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra  // Geometriae Dedicata . - 1993. - Nro 47 . - S. 57-110 . Arkistoitu alkuperäisestä 15. heinäkuuta 2009. Osa 4: Kaleidoskooppi.
• W. A. ​​Wythoff Suhde C600-perheen polytooppien välillä // Tiedeosaston julkaisuja. - Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, 1918. -Nro 20. -S. 966-970.
• A. Yu. Vesnin . Suorakulmaiset polytoopit ja kolmiulotteiset hyperboliset jakoputket // Uspekhi Mat. - 2017. - T. 72. - S. 147-190. doi :/ rm9762 .

Linkit

• Weisstein, Eric W. Wythoff Construction  (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
• Olshevsky, George Wythoff rakentaminen Glossary for Hyperspacessa
• Tasaiset polygonit, jotka on saatu Wythoff-konstruktiolla
• Kuvaus Wytoffin rakenteesta
• "Jenn" , ohjelmisto (pallo)polygonien ja 4D-polytooppien katseluun niiden symmetriaryhmistä